1、24分专项练(三)20、21题1已知函数f(x)exax(e为自然对数的底数，a为常数)的图象在点(0，1)处的切线斜率为1.(1)求a的值及函数f(x)的极值；(2)证明：当x0时，x2b0)的离心率与双曲线x2y21的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4.(1)求椭圆M的方程；(2)若直线yxm交椭圆M于A，B两点，P(1，)为椭圆M上一点，求PAB面积的最大值3已知函数f(x)ln xbxc，f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为xy40.(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)的单调区间；(3)若在区间内，恒有f(x)x2ln xkx成立，求k的取值范围4设点F1(c，0)，F2(c
2、，0)分别是椭圆C：y21(a1)的左、右焦点，P为椭圆C上任意一点，且的最小值为0.(1)求椭圆C的方程；(2)如图，动直线l：ykxm与椭圆C有且仅有一个公共点，作F1Ml，F2Nl分别交直线l于M，N两点，求四边形F1MNF2面积S的最大值参考答案与解析1. (1)由f(x)exax，得f(x)exa.因为f(0)1a1，所以a2，所以f(x)ex2x，f(x)ex2，令f(x)0，得xln 2，当xln 2时，f(x)ln 2时，f(x)0，f(x)单调递增所以当xln 2时，f(x)取得极小值，且极小值为f(ln 2)eln 22ln 22ln 4，f(x)无极大值(2)证明：令g(
3、x)exx2，则g(x)ex2x.由(1)得g(x)f(x)f(ln 2)0，故g(x)在R上单调递增所以当x0时，g(x)g(0)10，即x20，得2m0，f(x)2.令f(x)0，得0x，令f(x)，故函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.(3)由在区间内f(x)x2ln xkx，得ln x2x3x2ln xkx，所以kx2.设g(x)x2，g(x)1，令g(x)0，得x(负值舍去)令g(x)0，得0x，令g(x)，故当x时，函数g(x)单调递增，当x(，5)时，函数g(x)单调递减，所以g(x)的最小值只能在区间的端点处取得，又g26，g(5)52，所以g(x)min.所以k，即
4、k的取值范围为.4. (1)设P(x，y)，则(cx，y)，(cx，y)，所以x2y2c2x21c2，xa，a，由题意得，1c20，c1，则a22，所以椭圆C的方程为y21.(2)将直线l的方程l：ykxm代入椭圆C的方程y21中，得(2k21)x24kmx2m220，由直线l与椭圆C有且仅有一个公共点知16k2m24(2k21)(2m22)0，代简得m22k21.设d1|F1M|，d2|F2N|.当k0时，设直线l的倾斜角为，则|d1d2|MN|tan |，所以|MN|d1d2|，所以S|d1d2|(d1d2)，因为m22k21，所以当k0时，|m|1，|m|2，即S2.当k0时，四边形F1MNF2是矩形，此时S2.所以四边形F1MNF2面积S的最大值为2.
