1、24分专项练24分专项练(一)20、21题1已知离心率为的椭圆1(ab0)的一个焦点为F，过F且与x轴垂直的直线与椭圆交于A、B两点，|AB|.(1)求此椭圆的方程；(2)已知直线ykx2与椭圆交于C、D两点，若以线段CD为直径的圆过点E(1，0)，求k的值2已知函数f(x)(x1)ln xx1.(1)若0，求f(x)的最大值；(2)若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与直线xy10垂直，证明：0.3设椭圆C1：1(ab0)的离心率为，F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上任意一点，且PF1F2的周长是42.(1)求椭圆C1的方程；(2)设椭圆C1的左、右顶点分别为A，B，过椭圆C1上的
2、一点D作x轴的垂线交x轴于点E，若C点满足，连接AC交DE于点P，求证：|PD|PE|.4已知函数f(x)aln x(aR)(1)若h(x)f(x)2x，当a3时，求h(x)的单调递减区间；(2)若函数f(x)有唯一的零点，求实数a的取值范围参考答案与解析1. (1)设焦距为2c，因为e，a2b2c2，所以，因为，所以b1，a，所以椭圆方程为y21.(2)将ykx2代入椭圆方程，得(13k2)x212kx90，又直线与椭圆有两个交点，所以(12k)236(13k2)0，解得k21.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1x2，x1x2，若以线段CD为直径的圆过E点，则0，即(x11)(x2
3、1)y1y20，而y1y2(kx12)(kx22)k2x1x22k(x1x2)4，则(x11)(x21)y1y2(k21)x1x2(2k1)(x1x2)550，解得k，满足k21.2. (1)f(x)的定义域为(0，)当0时，f(x)ln xx1.则f(x)1，令f (x)0，解得x1.当0x0，所以f(x)在(0，1)上是增函数；当x1时，f(x)0，所以f(x)在(1，)上是减函数故f(x)在x1处取得最大值f(1)0.(2)证明：由题意可得，f(x)ln x1.由题设条件，得f(1)1，即1.所以f(x)(x1)ln xx1.由(1)知，ln xx10，且x1)当0x1时，f(x)(x1
4、)ln xx1xln x(ln xx1)0.当x1时，f(x)ln x(xln xx1)ln xx0，所以0.综上可知，0.3导学号：30812288 (1)由e，知，所以ca，因为PF1F2的周长是42，所以2a2c42，所以a2，c，所以b2a2c21，所以椭圆C1的方程为y21.(2)证明：由(1)得A(2，0)，B(2，0)，设D(x0，y0)，所以E(x0，0)，因为，所以可设C(2，y1)，所以(x02，y0)，(2，y1)，由可得(x02)y12y0，即y1.所以直线AC的方程为.整理得y(x2)又点P在AC上，将xx0代入直线AC的方程可得y，即点P的坐标为，所以P为DE的中点，所以|PD|PE|.4. (1)因为h(x)的定义域为(0，)，h(x)2，所以h(x)的单调递减区间是和(1，)(2)问题等价于aln x有唯一的实根，显然a0，则关于x的方程xln x有唯一的实根，构造函数(x)xln x，则(x)1ln x，由(x)1ln x0，得xe1，当0xe1时，(x)e1时，(x)0，(x)单调递增，所以(x)的极小值为(e1)e1.如图，作出函数(x)的大致图象，则要使方程xln x有唯一的实根，只需直线y与曲线y(x)有唯一的交点，则e1或0，解得ae或a0，故实数a的取值范围是e(0，)
