1、第二章 DIERZHANG参数方程1 参数方程的概念 课后篇巩固探究A 组1.参数方程 -(t 为参数)的曲线与坐标轴的交点坐标为()A.(1,0),(0,-2)B.(0,1),(-1,0)C.(0,-1),(1,0)D.(0,3),(-3,0)解析:当 x=t-1=0 时,t=1,y=t+2=3;当 y=t+2=0 时,t=-2,x=t-1=-3.曲线与坐标轴的交点坐标为(0,3),(-3,0).答案:D2.下列各点在方程 (为参数)所表示的曲线上的是()A.(2,-7)B.()C.()D.(1,0)解析:由题意得 x=sin-1,1,y=cos 2-1,1,故排除 A.由 y=cos 2=
2、1-2sin2=1-2x2,验证知 C 项正确.答案:C3.若 t0,则下列参数方程的曲线不过第二象限的是()A.-B.C.-D.-解析:由 (t0),得该参数方程表示射线,且只在第一象限内,其余方程的曲线都过第二象限.答案:B4.已知点 O 为原点,当=-时,参数方程 (为参数)上的点为 A,则直线 OA 的倾斜角为()A.B.C.D.解析:当=-时,参数方程 (为参数)上的点 A 的坐标为(-),kOA=tan=-,0,故直线 OA 的倾斜角=.答案:C5.在方程 (为参数)所表示的曲线上的一点的坐标是()A.(1,)B.(2,)C.(-)D.(-)解析:由题意知 x=sin 2-1,1,
3、y=sin+cos=sin()-,故排除 A,B,C.令 y=sin+cos=,两边平方得 1+2sin cos=,故 x=sin 2=-.答案:D6.若点(-3,-3)在参数方程 (为参数)的曲线上,则=.解析:将点(-3,-3)的坐标代入参数方程 (为参数),得 -解得=+2k,kZ.答案:+2k,kZ7.已知曲线 C 的参数方程为 -(t 为参数),判断点 A(3,0),B(-2,2)是否在曲线 C 上?若在曲线上,求出点 A,B 对应的参数的值.解将点 A(3,0)的坐标代入 -得 -解得 t=2,所以点 A(3,0)在曲线 C 上,对应参数 t=2.将点 B(-2,2)的坐标代入 -
4、得 -即 -此方程组无解,所以点 B(-2,2)不在曲线 C 上.8.已知曲线 C 的参数方程为 (为参数,02),判断点 A(2,0),B(-)是否在曲线 C 上?若在曲线上,求出点 A,B 对应的参数的值.解将点 A(2,0)的坐标代入 得 因为 02,所以=0,所以点 A(2,0)在曲线 C 上,对应=0.将点 B(-)的坐标代入 得-即 -因为 00)的弦,求这些弦的中点的轨迹的参数方程.解如图,设 OQ 是经过原点的任意一条弦,OQ 的中点是 M(x,y),设弦 OQ 和 x 轴的夹角为,取 作为参数,已知圆的圆心是 O(a,0),连接 OM,则 OMOQ,过点 M 作 MMOO,则
5、|OM|=acos.所以 (为参数,-).这就是所求轨迹的参数方程.10.导学号 73144022 求椭圆 =1 中斜率是 m 的平行弦的中点的轨迹的参数方程.解如图,设 P1P2是斜率为 m 的平行弦中的任意一条弦,它所在直线的方程是 y=mx+k,这里 k 是参数,把上式代入椭圆方程,得 b2x2+a2(mx+k)2=a2b2,整理得,(a2m2+b2)x2+2a2mkx+a2k2-a2b2=0,这个方程的两个根就是 P1和 P2的横坐标 x1和 x2,设 P1P2的中点是点 P(x,y),则 x=.由得 x1+x2=-,x=-.点 P在 P1P2上,y=mx+k,即 y=.方程是用参数
6、k 表示所求轨迹上任意一点 P的坐标 x和 y,把(x,y)换成(x,y),就得到所求轨迹的参数方程:-(k 为参数).B 组1.参数方程 (为参数)表示的曲线是()A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线解析:x2+y2=4cos2+4sin2=4.故表示的曲线是圆.答案:B2.在参数方程 -(为参数)所表示的曲线上的点是()A.()B.()C.()D.()答案:D3.动点 M 做匀速直线运动,它在 x 轴和 y 轴方向的分速度分别为 3 m/s 和 4 m/s,直角坐标系的长度单位是 1 m,点 M 的起始位置在点 M0(2,1)处,则点 M 的轨迹的参数方程是()A.(t 为参数,t0)B.(t
7、 为参数,t0)C.(t 为参数,t0)D.(t 为参数,t0)解析:设在时刻 t 时,点 M 的坐标为 M(x,y),则 (t 为参数,t0).答案:B4.导学号 73144023 若点 E(x,y)在曲线 (为参数)上,则 x2+y2的最大值与最小值分别为 .解析:x2+y2=(1+5cos)2+(2+5sin)2=30+(10cos+20sin)=30+10 sin(+),其中 tan=,为锐角,故 x2+y2的最大值与最小值分别为 30+10,30-10.答案:30+10,30-10 5.设飞机以匀速 v=150 m/s 做水平飞行,若在飞行高度 h=588 m 处投弹(设炸弹的初速度
8、等于飞机的速度).(1)求炸弹离开飞机后的轨迹方程.(2)试问飞机在离目标多远(水平距离)处投弹才能命中目标?分析这是物理学中的平抛运动,选择合适的参变量将炸弹(看作质点)的水平方向和竖直方向的运动表示出来.解(1)如图,A 为投弹点,坐标为(0,588),B 为目标,坐标为(x0,0).记炸弹飞行的时间为 t,在 A 点 t=0.设 M(x,y)为飞行曲线上的任一点,它对应时刻 t,炸弹初速度 v0=150 m/s,用物理学知识,分别计算水平、竖直方向上的路程,得 -即 -这是炸弹飞行曲线的参数方程.(2)炸弹飞行到地面目标 B 处的时间 t0满足方程 y=0,即 588-4.9t2=0,解
9、得 t0=2 .由此得 x0=1502 =300 1 643(m).即飞机在离目标 1 643 m(水平距离)处投弹才能击中目标.6.已知动点 P,Q 都在曲线 C:(t 为参数)上,对应参数分别为 t=与 t=2(02),点 M 为PQ 的中点.(1)求点 M 的轨迹的参数方程;(2)将点 M 到坐标原点的距离 d 表示为 的函数,并判断点 M 的轨迹是否过坐标原点.解(1)依题意有 P(2cos,2sin),Q(2cos 2,2sin 2),因此 M(cos+cos 2,sin+sin 2).M 的轨迹的参数方程为 (为参数,02).(2)点 M 到坐标原点的距离d=(02).当=时,d=0,故点 M 的轨迹过坐标原点.7.边长为 a 的等边三角形 ABC 的两个端点 A,B 分别在 x 轴、y 轴两正半轴上移动,顶点 C 和原点 O分别在 AB 两侧,记CAx=,求顶点 C 的轨迹的参数方程.解如图,过点 C 作 CDx 轴于点 D,设点 C 的坐标为(x,y).则由 得 (-)(为参数),即为顶点 C 的轨迹方程.
