1、加强练导数一、选择题1.函数f(x)aln xx在x1处取到极值，则a的值为()A.1 B. C.0 D.解析因为f(x)aln xx，所以f(x)1.又因为f(x)在x1处取到极植，所以f(1)a10a1.经检验符合题意.故选A.答案A2.函数yx2ex的单调递减区间是()A.(1，2) B.(，1)与(1，)C.(，2)与(0，) D.(2，0)解析y(x2ex)2xexx2exxex(x2).因为ex0，所以由xex(x2)0，得2x0时，f(x)xln x，f(x)ln x1，令ln x10，则x；令ln x10，则0x0，则a的取值范围是()A.(2，) B.(1，)C.(，2) D
2、.(，1)解析a0时，不符合题意，a0时，f(x)3ax26x.令f(x)0，得x0或x.若a0，则由图象知f(x)有负数零点，不符合题意.则a0知，此时必有f0，即a310，化简得a24.又a0，所以a0，1x2)的最大值为3，最小值为5，则a_，b_.解析令f(x)4ax38ax4ax(x22)0，解得x10(舍去)，x2，x3(舍去).又f(1)a4abb3a，f(2)16a16abb，f()b4a，所以所以a2，b3.答案2311.定义域为R的可导函数yf(x)的导函数为f(x)，满足f(x)f(x)，且f(0)1，则不等式1的解集为_.解析令g(x)，则g(x).由题意得g(x)0恒
3、成立，所以函数g(x)在R上单调递减.又g(0)1，所以1，即g(x)0，所以不等式的解集为x|x0.答案x|x012.已知函数f(x)ex，g(x)ln的图象分别与直线ym交于A，B两点，则|AB|的最小值为_，此时m的值为_.解析由题意A(ln m，m)，B(2em，m)其中2emln m且m0，|AB|2emln m.设y2exln x(x0)，则y2ex，令y0，解得x，当x时，y0，当x时，|AB|最小2ln 2，此时m.答案2ln 213.已知x(0，2)，若关于x的不等式0.即kx22x对任意x(0，2)恒成立，从而k0，因此由原不等式，得k0，函数f(x)在(1，2)上单调递增
4、，当x(0，1)时，f(x)0，函数f(x)在(0，1)上单调递减，所以kf(x)minf(1)e1，故实数k的取值范围是0，e1).答案0，e1)14.若函数f(x)1(a0)没有零点，则实数a的取值范围为_.解析f(x)(a0).当x2时，f(x)2时，f(x)0，当x2时，f(x)有极小值f(2)1.若使函数f(x)没有零点，当且仅当f(2)10，解之得ae2，因此e2a0)，其中无理数e2.718 28.(1)求证：f(x)ln x；(2)若f(x)a2x恒成立，求实数a的取值范围.(1)证明要证明f(x)ln x，只需证明exxln x，即证明exxln x0.当x(0，1)时，ex
5、1，xln x0；当x1，)时，令g(x)exxln x，则g(x)ex1ln x.证法一：因为exx1，ln xx1，所以g(x)x11(x1)10，则g(x)在1，)上是增函数，所以g(x)g(1)e0.证法二：令m(x)g(x)ex1ln x，m(x)exe10，则g(x)在1，)上是增函数，g(x)g(1)e10，所以g(x)在1，)上是增函数，g(x)g(1)e0.综上可知exxln x0，所以f(x)ln x成立.(2)解不等式f(x)a2x恒成立，即为a2x恒成立，又x0，则a2恒成立，记h(x)，则a2h(x)min.令h(x)0，得x2，当x(0，2)时，h(x)0，所以h(
6、x)minh(2)，于是a2，解得a，所以实数a的取值范围为.17.(2019学军中学模拟)已知函数f(x)ln xax，其中x0，aR.(1)若函数f(x)在1，)上不单调，求a的取值范围；(2)若函数f(x)在1，)上有极大值，求a的值.解(1)f(x)ln xax，f(x)a，则f(x)a0在(1，)上有解，且0，分离参数得a，a0.(2)由(1)知当a0时，函数f(x)在1，)上单调递增，f(x)在1，)上无极值；当a时，函数f(x)在1，)上单调递减，f(x)在1，)上无极值；当a0得ax2x10，则x1，2.函数f(x)在1，上单调递减，在，上单调递增，在，)上单调递减，由极大值f
7、()，得ln a，(*)又a210，a1，代入(*)得ln 1，设函数h(x)ln x1(x2)，则h(x)0，函数h(x)在(2，)上单调递增，而h(e)0，e，a，当a时，函数f(x)在1，)上有极大值.18.(2019北京石景山区期末)已知函数f(x)x3x22x(aR).(1)当a3时，求函数f(x)的单调区间；(2)若对于任意x(1，)都有f(x)a2成立，求实数a的取值范围；(3)若过点可作函数yf(x)图象的三条不同切线，求实数a的取值范围.解(1)当a3时，f(x)x3x22x，得f(x)x23x2.因为f(x)x23x2(x2)(x1)，所以当1x0，函数f(x)单调递增；当
8、x2时，f(x)0，函数f(x)单调递减.所以函数f(x)的单调递增区间为(1，2)，单调递减区间为(，1)和(2，).(2)由f(x)x3x22x，得f(x)x2ax2.因为对于任意x(1，)都有f(x)a2成立，即对于任意x(1，)都有x2ax2a2成立，即对于任意x(1，)都有a成立.设g(x)，x(1，)，则g(x)2x14，当且仅当x1，即x2时，等号成立.所以实数a的取值范围为(，4).(3)设点P是函数yf(x)图象上的切点，则过点P的切线的斜率为kf(t)t2at2，所以过点P的切线方程为yt3t22t(t2at2)(xt).因为点在切线上，所以，t3t22t(t2at2)(0t)，即t3at20.若过点可作函数yf(x)图象的三条不同切线，则方程t3at20有三个不同的实数解.令h(t)t3at2，则函数yh(t)与t轴有三个不同的交点.令h(t)2t2at0，解得t0或t.因为h(0)，ha3，所以必须ha32.所以实数a的取值范围为(2，).
