1、2022届高三开学摸底考试理科数学试卷（全国卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若集合，则( )A.B.C.D.2.若，则( )A.B.C.D.3.已知a，b为空间中两条不同的直线，为空间中两个不同的平面，则下列条件中使一定成立的是( )A.，B.，C.，D.，4.已知定义在R上的偶函数满足，且当时，则( )A.B.1C.0D.5.已知x，y满足约束条件，则的最大值是( )A.B.C.1D.26.“女排精神”是中国女子排球队顽强战斗、勇敢拼搏精神的总概括，她们在世界杯排球赛中，凭着顽强战斗、勇敢拼搏的精神，五次蝉联世界冠
2、军，为国争光.在2019年日本女排世界杯上，中国队以11战全胜的成绩成功卫冕世界杯冠军，为中华人民共和国70华诞献上最及时的贺礼.朱婷连续两届当选女排世界杯MVP，她和颜妮、丁霞、王梦洁共同入选最佳阵容，赛后4人和主教练郎平站一排合影留念，已知郎平站在最中间位置，则朱婷和王梦洁站在郎平同一侧的概率为( )A.B.C.D.7.已知函数的图象关于点对称，为了得到函数的图象，只需要将函数的图象( )A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度8.已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为( )A. B.C. D.9.如图，直三棱柱中，点P在棱上，且三棱锥
3、A-PBC的体积为4，则直线与平面PBC所成角的正弦值等于( )A.B.C.D.10.已知定义域为R的函数的导函数为，若，则下列结论一定成立的是( )A.B.C.D.11.已知椭圆的左、右焦点分别是，焦距，过点的直线与椭圆交于P、Q两点，若，且，则椭圆C的方程为( )A.B.C.D.12.已知函数的图象与函数的图象有唯一公共点，则实数a的值为( )A.1B.0C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知双曲线的左焦点为F，虚轴的端点为A，B，若为等边三角形，则C的离心率为_.14.已知向量，若，则_.15.在中，角的对边分别为为边AC上的高，若，则BD的最大值是_.16.
4、在四面体ABCD中，的外接圆圆心为，则四面体ABCD外接球的表面积为_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17.（12分）已知等比数列的前n项和为，且.（1）求与；（2）记，求数列的前n项和.18.（12分）某研究机构为了研究华为公司由于技术创新对订单产生的影响，调查了技术创新前后华为及其它公司在欧洲的订单情况，结果如下：华为在欧洲的订单数其他公司在欧洲的订单数技术创新前2060技术创新后3040（1）是否有95%的把握认为华为公司技术创新影响了华为在欧洲
5、的订单?（2）现从技术创新前的80个订单中，采用随机抽样的方法有放回地抽取4个作进一步分析，每次抽1个，被抽取的4个订单中，记华为公司的订单数为X，求X的分布列及数学期望.附：，其中.0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82819.（12分）在四棱锥中，底面ABCD是矩形，为BC的中点，.（1）证明：平面ABCD；（2）若PC与平面PAD所成的角为30，求二面角的余弦值.20.（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知定点，定直线，动点P到l的距离比到点F的距离大1.（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点的动圆M与曲线C相交，其中为它们的两个交点，且动圆
6、M与直线相交于另一点D，求的最小值.21.（12分）已知函数.（1）证明：；（2）若，不等式恒成立，求实数a的取值范围.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22.【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若点，曲线与曲线的交点为（异于点O）两点，求的值.23.【选修4-5：不等式选讲】（10分）已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若恒成立，求a的取值范围.答案以及解析1
7、.答案：C解析：由题意得，所以，所以.2.答案：A解析：因为，所以，所以解得所以.故选A.3.答案：A解析：对于选项A，一定成立；对于选项B，可能，也可能a与b异面；对于选项C，a，b平行或相交；对于选项D，a，b异面或相交.故选A.4.答案：D解析：由，得，所以函数的周期为3，得.又为偶函数，所以，而当时，所以.5.答案：C解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线并平移，结合图形可知，当平移后的直线过点A时，取得最大值.由，得，即，故.6.答案：B解析：4人和主教练郎平站一排，郎平站在最中间位置不同的排法有种，其中朱婷和王梦洁站在郎平同一侧不同的排法有种，则所求概率，故选
8、B.7.答案：B解析：由题意得，则，得，由于，故将的图象向右平移个单位长度后可得函数的图象.8.答案：B解析：由题图可知，函数具有奇偶性，且为偶函数，排除A，D选项；又，所以排除C选项，故选B.9.答案：C解析：解法一 由已知可得底面ABC，且，所以，解得.在平面内，过点作，垂足为H，如图.由底面ABC，可得，又，所以平面，所以，又，所以平面PBC，连接BH，故就是直线与平面PBC所成的角.在矩形中，故.在中，所以直线与平面PBC所成角的正弦值等于.故选C.解法二 由已知可得底面ABC，且，所以，解得.如图，以C为坐标原点，分别以的方向为 x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则，则.设平面
9、PBC的法向量为，则，可得，即，令，得，所以为平面PBC的一个法向量.设直线与平面PBC所成的角为，则.故选C.10.答案：B解析：令，则，所以在R上单调递增，又0，所以当时，即，所以，所以当时，由得，当时，即，所以，所以综上，.11.答案：A解析：如图，则，延长交椭圆C于点M，得，设，则，据椭圆的定义有，在中，得，又在中，得故，则椭圆C的方程为.12.答案：D解析：函数的图象与函数的图象有唯一公共点，则方程有唯一解，即方程有唯一解，即函数有唯一零点.因为，所以，则的图象关于直线对称.因为函数只有一个零点，所以函数的零点只能是，所以，解得，故选D.13.答案：解析：因为为等边三角形，所以，即，
10、则有.14.答案：解析：因为，所以，因为，所以，则.15.答案：1解析：因为，所以，由余弦定理及，得，由基本不等式，得，即(当且仅当时取等号)，所以，故当时，BD取得最大值为1.16.答案：解析：如图，设四面体ABCD的外接球为球O，容易求得.延长交球O的表面于点E，连接DE，O，E，D四点共面，由得，由余弦定理得，得，则，为球O的直径，四面体ABCD外接球的表面积为.17.答案：(1)由得，当时，得；当时，得所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列所以.所以(2)由(1)可得则，两式相减得所以.18.答案：(1)由题意知，所以有的把握认为华为公司技术创新影响了华为在欧洲的订单.(2)由题意知
11、，每次抽取到华为订单的概率为，因为随机变量X服从二项分布，所以，所以X的分布列为X01234P所以.19.答案：(1)证明：易知，所以，故，即，又，所以平面PAE，又平面PAE，所以又，所以平面ABCD.（2）由平面平面ABCD，得，又，所以平面PAD，所以为PC与平面PAD所成的角，则，在中，所以，又，所以.以A为原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面PDE的法向量为，则取，则，所以，易知平面PAE的一个法向量为，所以，由图可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.20.答案：（1）设动点，则由题意知，所以，即点P到定直线的距离与点P到点F的距离相
12、等，所以点P的轨迹是以O为顶点，F为焦点的抛物线，所以轨迹C的方程为.（2）由题意可知圆心M在x轴上，设，连接MH，MA，则，即，即，圆M的方程为.令，得或，所以，所以.因为，所以，当且仅当，即（舍去）时等号成立.所以的最小值为.21.答案：(1)，函数的定义域为，所以.记，所以，当时单调递减.又因为，所以存在，使得，所以当时，即，当时，即，所以.又因为，所以，即，原式得证.(2)不等式，即在上恒成立，即在上恒成立，也就是在上恒成立.构造函数，则，所以在上单调递增，所以，即.记，所以，当时，单调递减，当时，单调递增，所以，所以，故实数a的取值范围为.22.答案：（1）由（为参数）可得，所以曲线的普通方程为由，得，所以曲线的直角坐标方程为.（2）易知曲线的参数方程为（t为参数），代入曲线的普通方程中，得.设点A，B对应的参数分别为，所以，所以.23.答案：（1）由，得或或解得或-或，因此不等式的解集为.（2）恒成立，只需即可，由(1)可知在上为减函数，在上为增函数，故，所以，即，所以，即a的取值范围为.