1、第一章DIYIZHANG坐标系1平面直角坐标系1.1平面直角坐标系与曲线方程课后篇巩固探究A组1.已知平行四边形ABCD的三个顶点A,B,C的坐标分别为(-1,2),(3,0),(5,1),则点D的坐标是()A.(9,-1)B.(-3,1)C.(1,3)D.(2,2)解析:设点D的坐标为(x,y).则-1+5=3+x,2+1=0+y,解得x=1,y=3.故点D的坐标为(1,3).答案:C2.已知ABC中,A(4,-3),B(5,-2),重心G(2,-1),则点C的坐标为()A.(-3,2)B.(3,-2)C.(2,-3)D.(-2,3)解析:设点C(x,y),线段AB的中点D92,-52.依题
2、意得GC=2DG,即(x-2,y+1)=22-92,-1+52.得x-2=-5,y+1=3,解得x=-3,y=2,故C(-3,2)为所求.答案:A3.方程(x2-4)2+(y2-4)2=0表示的图形是()A.两条直线B.四条直线C.两个点D.四个点解析:由方程得x2-4=0,y2-4=0,解得x=2,y=2或x=-2,y=-2或x=-2,y=2或x=2,y=-2,故选D.答案:D4.将圆x2+y2-2x-4y+1=0平分的直线是()A.x+y-1=0B.x+y+3=0C.x-y+1=0D.x-y+3=0解析:因为(x-1)2+(y-2)2=4,所以圆心是(1,2),将圆心坐标代入各选项验证知选
3、C.答案:C5.平面上有三个点A(-2,y),B0,y2,C(x,y),若ABBC,则动点C的轨迹方程是.解析: AB=0,y2-(-2,y)=2,-y2,BC=(x,y)-0,y2=x,y2,ABBC,ABBC=0.2,-y2x,y2=0,即y2=8x.动点C的轨迹方程为y2=8x.答案:y2=8x6.在平面直角坐标系中,已知点A为平面内的一个动点,点B的坐标为(2,0).若OABA=|OB|(O为坐标原点),则动点A的轨迹为.解析:设动点A的坐标为(x,y),则OA=(x,y),BA=(x-2,y),|OB|=22+0=2.代入已知条件得x(x-2)+y2=2,即(x-1)2+y2=3,它
4、表示一个圆.答案:圆7.已知真命题:若点A为O内一定点,点B为O上一动点,线段AB的垂直平分线交直线OB于点P,则点P的轨迹是以点O,A为焦点,OB长为长轴长的椭圆.类比此命题,写出另一个真命题:若点A为O外一定点,点B为O上一动点,线段AB的垂直平分线交直线OB于点P,则点P的轨迹是.解析:如图,连接AP,因为P是线段AB的垂直平分线上一点,所以|PA|=|PB|.因此|PA|-|PO|=|PB|-|PO|=|OB|=R=定值,其中R为O的半径.由于点A在圆外,故|PA|-|PO|=|OB|=R3)D.x216-y29=1(x4)解析:如图,|AD|=|AE|=8,|BF|=|BE|=2,|
5、CD|=|CF|,所以|CA|-|CB|=|AD|-|BF|=8-2=6.根据双曲线定义,所求轨迹是以点A,B为焦点,实轴长为6的双曲线的右支,方程为x29-y216=1(x3).答案:C2.已知椭圆的焦点是F1,F2,点P是椭圆上的一个动点.若点M是线段F1P的中点,则动点M的轨迹是()A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线解析:如图,设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(ab0).则|PF1|+|PF2|=2a,连接MO,由三角形的中位线可得,|F1M|+|MO|=a(a|F1O|),则动点M的轨迹是以点F1,O为焦点的椭圆.故选B.答案:B3.设圆(x+1)2+y2=25的圆心为C,点
6、A(1,0)是圆内一定点,Q为圆周上任一点.线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M,则点M的轨迹方程为()A.4x221-4y225=1B.4x221+4y225=1C.4x225-4y221=1D.4x225+4y221=1解析:点M为AQ垂直平分线上一点,|AM|=|MQ|,|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|=5|CA|=2,故点M的轨迹为椭圆.a=52,c=1,则b2=a2-c2=214,椭圆的标准方程为4x225+4y221=1.答案:D4.已知两条直线l1为2x-3y+2=0,l2为3x-2y+3=0,有一动圆(圆心和半径都动)与l1,l2都相交,且l1,l2被圆截得
7、的弦长分别是定值26和24,则动圆圆心的轨迹方程是.解析:设动圆的圆心为M(x,y),半径为r,点M到直线l1,l2的距离分别为d1和d2.由弦心距、半径、半弦长间的关系得,2r2-d12=26,2r2-d22=24,即r2-d12=169,r2-d22=144,消去r得动点M满足的几何关系为d22-d12=25,即(3x-2y+3)213-(2x-3y+2)213=25.化简得(x+1)2-y2=65,此即为所求的动圆圆心的轨迹方程.答案:(x+1)2-y2=655.已知双曲线x22-y2=1的左、右顶点分别为A1,A2,点P(x1,y1),Q(x1,-y1)是双曲线上不同的两个动点.(1)
8、求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程;(2)若过点H(0,h)(h1)的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点,且l1l2,求h的值.解(1)由题设知|x1|2,A1(-2,0),A2(2,0),则直线A1P的方程为y=y1x1+2(x+2),直线A2Q的方程为y=-y1x1-2(x-2).联立解得交点坐标为x=2x1,y=2y1x1,即x1=2x,y1=2yx,则x0,|x|1),联立x22+y2=1与y=kx+h(h1),得(1+2k2)x2+4khx+2h2-2=0.令=16k2h2-4(1+2k2)(2h2-2)=0,得h2-1-2k2=0,解得k1=h2-12,k2=-h2-12
9、.由于l1l2,则k1k2=-h2-12=-1,故h=3.过点A1,A2分别引直线l1,l2通过y轴上的点H(0,h),且使l1l2,因此A1HA2H,由h2-h2=-1,得h=2.此时,l1,l2的方程分别为y=x+2与y=-x+2,它们与轨迹E分别仅有一个交点-23,223与23,223.所以,符合条件的h的值为3或2.6.学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验.设计方案如图:航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为x2100+y225=1,变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y轴为对称轴、M0,647为顶点的抛物线的实线部分,降落点为D(8,0).观测点A(4,0
10、),B(6,0)同时跟踪航天器.(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程.(2)试问:当航天器在x轴上方时,观测点A,B测得离航天器的距离分别为多少时,应向航天器发出变轨指令?解(1)由题意,可设曲线方程为y=ax2+647,将点D(8,0)的坐标代入,得0=a64+647,解得a=-17.故所求曲线方程为y=-17x2+647.(2)设变轨点为C(x,y).根据题意可知x2100+y225=1,y=-17x2+647,消去x得4y2-7y-36=0,解得y=4或y=-94(舍去),于是x=6或x=-6(舍去),故点C的坐标为(6,4).应用两点间距离公式计算,得|AC|=25,|BC|=
11、4.故当观测点A,B测得离航天器的距离分别为25,4时,应向航天器发出变轨指令.7.导学号73144003设椭圆方程为x2+y24=1,过点M(0,1)的直线l交椭圆于A,B两点,O为坐标原点,点P满足OP=12(OA+OB),点N的坐标为12,12,当直线l绕点M旋转时,求:(1)动点P的轨迹方程;(2)|NP|的最大值和最小值.解(1)直线l过定点M(0,1),设其斜率为k,则l的方程为y=kx+1.设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知,A,B的坐标满足方程组y=kx+1,x2+y24=1.消去y得(4+k2)x2+2kx-3=0.则=4k2+12(4+k2)0,x1+x2=-2k4+k2,x1x2=-34+k2.由OP=12(OA+OB),得点P是AB的中点.设P(x,y),则x=12(x1+x2)=-k4+k2,y=12(y1+y2)=12(kx1+1+kx2+1)=44+k2,消去k得4x2+y2-y=0.当斜率k不存在时,AB的中点是坐标原点,也满足这个方程,故点P的轨迹方程为4x2+y2-y=0.(2)由(1)知4x2+y-122=14,得-14x14.而|NP|2=x-122+y-122=x-122+1-16x24=-3x+162+712,故当x=-16时,|NP|取得最大值216,当x=14时,|NP|取得最小值14.
