1、高考资源网（） 您身边的高考专家攻略三应用题、最值与范围问题 一、应用题应用题是历年高考的常考题型，其特点在于用文字表述，具有一定的问题背景，考查形式灵活多变，是考查同学们的应用意识，以及用所学基础知识分析和解决问题的能力、逻辑推理能力、运算能力、数据处理能力等各个方面能力的有效载体1与函数、导数、不等式有关的应用问题对于实际生活中的一些优化问题，如成本最低、利润最大、用料最省等问题，常常需要将实际问题抽象为数学问题，然后化为函数的最值来解决，而求解函数最值最有效的方法是导数法因此，导数被广泛地应用于实际活动中的一些优化问题的求解过程，成为求解这些优化问题的首选【例1】某企业拟建造如图所示的容
2、器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为立方米，且l2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c3)千元设该容器的建造费用为y千元(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的r.【解】(1)设容器的容积为V，由题意知Vr2lr3，又V，故lr(r)由于l2r，因此0r2.所以建造费用y2rl34r2c2r(r)34r2c，因此y4(c2)r2，0r2.(2)由(1)得y8(c2)r(r3)，03，所以c20.当r30时，r .
3、令 m，则m0，所以y(rm)(r2rmm2)当0m时，当rm时，y0；当r(0，m)时，y0，所以rm是函数y的极小值点，也是最小值点当m2，即3c时，当r(0,2)时，y0，函数单调递减，所以r2是函数y的最小值点综上所述，当3时，建造费用最小时r .2与数列有关的应用题现实生活中涉及到银行利率、分期付款、企业股金、产品利润、人口增长、工作效率等实际问题，常常考虑用数列知识加以解决能够把实际问题转化成数列问题，并且能够明确是等差数列还是等比数列，确定首项，公差(比)，项数各是什么，能分清是某一项还是某些项的性质是解决问题的关键【例2】(2014福建厦门质检)在一次招聘会上，应聘者小李被甲、
4、乙两家公司同时意向录取甲公司给出的工资标准：第一年的年薪为4.2万元，以后每年的年薪比上一年增加6 000元；乙公司给出的工资标准：第一年的年薪为4.8万元，以后每年的年薪比上一年增加8%.(1)若小李在乙公司连续工作5年，则他在第5年的年薪是多少万元？(2)为了吸引小李的加盟，乙公司决定在原有工资的基础上每年固定增加交通补贴7 200元那么小李在甲公司至少要连续工作几年，他的工资总收入才不低于在乙公司工作10年的总收入？(参考数据：1.0841.4,1.0851.5,1.08102.2，1.08112.3)【解】(1)依题意设小李在乙公司工作第n年的年薪为bn万元则bn是等比数列，b54.8
5、(18%)46.72.答：小李在乙公司连续工作5年，他在第5年的年薪为6.72万元(2)小李在乙公司连续工作10年，总收入为(b1b2b10)7.2727.279.2(万元)设小李在甲公司工作第n年的年薪为an万元，则an是以4.2为首项，公差为0.6的等差数列若小李在甲公司连续工作n年，工资总收入为Sn4.2n0.3(n1)n0.3n23.9n，依题意得Sn79.2，即n213n264，(n11)(n24)0，n24(舍去)或n11.答：小李在甲公司至少要连续工作11年，他的工资总收入才不低于在乙公司工作10年的总收入(文)3.与统计、概率有关的应用题概率与统计以其独特的研究对象和研究方法在
6、高中数学中占有特殊地位，是高考中的重要内容，不论是思维方法还是解题技巧，与其他部分都有很大的不同，它们是进一步学习数理统计等高等数学的基础纵观多年考情可发现，概率与统计的解答题在历年的高考中常考常新命题体现知识交汇，注重能力立意，强调思维空间，是考查的亮点和生长点从考查知识点看，主要考查随机事件的概率、古典概型、几何概型、抽样方法、用样本估计总体、回归分析(以上为重点考查内容)，各省市每年必出一道解答题，属中档题【例3】(2014广东深圳调研)某网络营销部门随机抽查了某市200名网友在2013年11月11日的网购金额，所得数据如下图(1)：网购金额(单位：千元)频数频率0,1160.08(1,
7、2240.12(2,3xp(3,4yq(4,5160.08(5,6140.07合计2001.00图(1)图(2)已知网购金额不超过3千元与超过3千元的人数比恰好为32.(1)试确定x，y，p，q的值，并补全频率分布直方图(如图(2)；(2)营销部门为了了解该市网友的购物体验，在这200名网友中，用分层抽样方法从网购金额在(1,2和(4,5的两个群体中抽取5人进行问卷调查若需从这5人中随机选取2人继续访谈，则此2人来自不同群体的概率是多少？【解】(1)根据题意，有解得p0.4，q0.25.补全频率分布直方图如图所示(2)根据题意，“网购金额在(1,2”的群体中应抽取53人，记为a，b，c，“网购
8、金额在(4,5”的群体中应抽取52人，记为A，B.在此5人中随机选取2人，有以下可能情况：(a，b)，(a，c)，(a，A)，(a，B)，(b，c)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)，(A，B)，共10种情况：设“此2人来自不同群体”为事件M，包含了(a，A)，(a，B)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)，共6种可能，P(M)，即此2人来自不同群体的概率是.(理)3.与概率、分布列、期望有关的应用题概率与分布列、期望以其独特的研究对象和研究方法在高中数学中占有特殊地位，是高考中的重要内容，不论是思维方法还是解题技巧，与其他部分都有很大的不同，它们是进一步学习数理统计
9、等高等数学的基础纵观多年考情可发现，概率与分布列、期望的解答题在历年的高考中常考常新，命题体现知识交汇、注重能力立意，强调思维空间，是考查的亮点和生长点，从考查知识点看，主要考查古典与几何概型，互斥事件与相互独立事件、离散型随机变量的分布列、期望与方差、二项分布与独立重复试验等，各省市每年必出一道解答题，属中档题，考查数据处理能力和应用意识【例3】(2014福建高考)为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额()若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个
10、均为10元，求：()顾客所获的奖励额为60元的概率；()顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；()商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由【解】()设顾客所获的奖励额为X.()依题意，得P(X60)，即顾客所获的奖励额为60元的概率为.()依题意，得X的所有可能取值为20,60.P(X60)，P(X20)，即X的分布列为X2060P 所以顾客所获的奖励额的期望为E(X)2060
11、40(元)()根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元所以，先寻找期望为60元的可能方案对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10,10,10,50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50,50,50,10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10,10,50,50)，记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，记为方案2.以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10,10,5
12、0,50)，设顾客所获的奖励额为X1，则X1的分布列为X12060100PX1的期望为E(X1)206010060，X1的方差为D(X1)(2060)2(6060)2(10060)2.对于方案2，即方案(20,20,40,40)，设顾客所获的奖励额为X2，则X2的分布列为X2406080PX2的期望为E(X2)40608060，X2的方差为D(X2)(4060)2(6060)2(8060)2.由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.二、最值与范围问题最值与范围问题是高考命题的重点与热点，涉及到高中数学的所有主干知识，尤其是在函数与导数、解析几
13、何等中情有独钟，特别关爱命制试题，以此考查学生的数学思想与方法及分析问题解决问题的能力1与函数、导数有关的最值与范围问题在函数与导数中，不少问题需转化为最值与范围有关的问题，如恒成立问题、不等式问题、方程的根与函数的零点问题等，从而构成了各省市高考数学试题中的主流方向【例4】(2014山东德州一模)已知函数f(x)ln xax22x.(1)若函数f(x)在x2处取得极值，求实数a的值；(2)若函数f(x)在定义域内单调递增，求a的取值范围；(3)若a时，关于x的方程f(x)xb在1,4上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围【解】(1)f(x)(x0)x2时f(x)取得极值f(x)0，解得
14、a，经检验符合题意(2)依题意f(x)0在x0时恒成立，即ax22x10在x0时恒成立则a21在x0时恒成立，即amin(x0)当x1时，21取最小值1.a的取值范围是(，1(3)a，f(x)xbx2xln xb0.设g(x)x2xln xb(x0)则g(x).列表：x(0,1)1(1,2)2(2,4)g(x)00g(x)极大值极小值g(x)ming(2)ln 2b2，g(x)maxg(1)b，g(4)2ln 2b2.方程g(x)0在1,4上恰有两个不相等的实数根则得ln 22b0)，则A(a,0)，B(0，b)，F(c,0)(c)由已知可得e2，所以a24b2，即a2b，故cb.SAFB|A
15、F|OB|(ac)b1.把代入，得(2bb)b1，解得b1，故a2，c，所以椭圆C的方程为y21.(2)圆O的圆心为坐标原点，半径为2，因为l被圆O所截得的弦长为2，所以圆心O到直线l的距离为d1，即1，故有m21k2.由消去y得x22kmxm210.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由根与系数的关系可知x1x2，x1x2.所以|x1x2|2(x1x2)24x1x224，把代入，得|x1x2|2，故|x1x2|.|MN|x1x2|，故OMN的面积S|MN|d1.令t4k211，则k2，代入上式，得S2 .所以当t3，即4k213，解得k时，S取最得最大值，最大值为1. - 7 - 版权所有高考资源网
