1、第五节椭圆A组基础题组1.已知椭圆的焦点在x轴上,离心率为35,直线x+y-4=0与y轴的交点为椭圆的一个顶点,则椭圆的方程为() A.x225+y29=1B.x29+y225=1C.x225+y216=1D.x216+y225=1答案C设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(ab0),由题意知ca=35,b=4,a2=b2+c2,解得a=5,b=4,c=3,所以椭圆的方程为x225+y216=1.2.已知方程x2|m|-1+y22-m=1表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围为()A.-,32B.(1,2)C.(-,0)(1,2)D.(-,-1)1,32答案D依题意得不等式组|m|-10,2-
2、m0,2-m|m|-1,解得m-1或1mb0)的短轴长等于焦距,则椭圆的离心率为.答案22解析由题意可得b=c,则b2=a2-c2=c2,a=2c,故椭圆的离心率e=ca=22.7.(2018贵州贵阳模拟)若椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为32,短轴长为4,则椭圆的标准方程为.答案x216+y24=1解析由题意可知e=ca=32,2b=4,则b=2,由ca=32,a2=b2+c2=4+c2,解得a=4,c=23,所以椭圆的标准方程为x216+y24=1.8.已知ABC的顶点A(-3,0)和顶点B(3,0),顶点C在椭圆x225+y216=1上,则5sinCsinA+sinB=.答
3、案3解析由椭圆方程知a=5,b=4,c=a2-b2=3,A,B为椭圆的焦点.点C在椭圆上,|AC|+|BC|=2a=10,|AB|=2c=6.5sinCsinA+sinB=5|AB|BC|+|AC|=5610=3.9.分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程.(1)与椭圆x24+y23=1有相同的离心率且经过点(2,-3);(2)已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上,且P到两焦点的距离分别为5,3,过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点.解析(1)由题意可设所求椭圆的方程为x24+y23=t1或y24+x23=t2(t1,t20),因为椭圆过点(2,-3),所以t1=224+(-3)23=2,或t
4、2=(-3)24+223=2512.故所求椭圆的标准方程为x28+y26=1或y2253+x2254=1.(2)由于焦点的位置不确定,所以设所求的椭圆方程为x2a2+y2b2=1(ab0)或y2a2+x2b2=1(ab0),由已知条件得2a=5+3,(2c)2=52-32,解得a=4,c=2,所以b2=12.故椭圆的标准方程为x216+y212=1或y216+x212=1.10.如图,焦点在x轴上的椭圆x24+y2b2=1的离心率e=12,F,A分别是椭圆的左焦点和右顶点,P是椭圆上任意一点,求PFPA的最大值和最小值.解析设P点坐标为(x0,y0).由题意知a=2,e=ca=12,c=1,b
5、2=a2-c2=3.所求椭圆方程为x24+y23=1.-2x02,-3y03.又F(-1,0),A(2,0),PF=(-1-x0,-y0),PA=(2-x0,-y0),PFPA=x02-x0-2+y02=14x02-x0+1=14(x0-2)2.当x0=2时,PFPA取得最小值0,当x0=-2时,PFPA取得最大值4.B组提升题组1.设e是椭圆x24+y2k=1的离心率,且e12,1,则实数k的取值范围是()A.(0,3)B.3,163C.(0,3)163,+D.(0,2)答案C当4k时,e=ca=4-k212,1,即124-k2114-k4,即0k3.当4k时,e=ca=k-4k12,1,即
6、14k-4k1141-4k4k0k163.2.(2018课标全国,12,5分)已知F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为36的直线上,PF1F2为等腰三角形,F1F2P=120,则C的离心率为()A.23B.12C.13D.14答案D本题考查直线方程和椭圆的几何性质.由题意易知直线AP的方程为y=36(x+a),直线PF2的方程为y=3(x-c).联立得y=35(a+c),如图,过P向x轴引垂线,垂足为H,则PH=35(a+c).因为PF2H=60,PF2=F1F2=2c,PH=35(a+c),所以sin 60=PHPF2=35(a
7、+c)2c=32,即a+c=5c,即a=4c,所以e=ca=14.故选D.3.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0),F1,F2分别为椭圆的左,右焦点,A为椭圆的上顶点,直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若F1AB=90,求椭圆的离心率;(2)若AF2=2F2B,AF1AB=32,求椭圆的方程.解析(1)由F1AB=90,得AOF2为等腰直角三角形,所以有OA=OF2,即b=c,所以a=2c,所以e=ca=22.(2)由题意可知A(0,b),F1(-c,0),F2(c,0),其中c=a2-b2,设B(x,y).由AF2=2F2B,得(c,-b)=2(x-c,y),解得x=3c2,y=-b2,
8、即B3c2,-b2.将B点坐标代入x2a2+y2b2=1,得94c2a2+b24b2=1,即9c24a2+14=1,解得a2=3c2.又由AF1AB=(-c,-b)3c2,-3b2=32,得b2-c2=1,即a2-2c2=1.由解得c2=1,a2=3,从而有b2=2.所以椭圆的方程为x23+y22=1.4.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为32,点M(2,1)在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程;(2)直线l平行于OM,且与椭圆C交于A,B两个不同的点.若AOB为钝角,求直线l在y轴上的截距m的取值范围.解析(1)依题意有a2-b2a=32,4a2+1b2=1,解得a2=8,b
9、2=2.故椭圆C的方程为x28+y22=1.(2)由直线l平行于OM,得直线l的斜率k=kOM=12,又l在y轴上的截距为m,所以l的方程为y=12x+m.由y=12x+m,x28+y22=1得x2+2mx+2m2-4=0.因为直线l与椭圆C交于A,B两个不同的点,所以=(2m)2-4(2m2-4)0,解得-2m2.设A(x1,y1),B(x2,y2).AOB为钝角等价于OAOB0且m0,所以OAOB=x1x2+y1y2=x1x2+12x1+m12x2+m=54x1x2+m2(x1+x2)+m20,将x1+x2=-2m,x1x2=2m2-4代入上式,化简整理得m22,即-2m2,故m的取值范围为(-2,0)(0,2).