1、第七节抛物线A组基础题组1.设抛物线y2=2px的焦点在直线2x+3y-8=0上,则该抛物线的准线方程为() A.x=-1B.x=-2C.x=-3D.x=-4答案D因为抛物线y2=2px的焦点p2,0在2x+3y-8=0上,所以p=8,所以抛物线的准线方程为x=-4,故选D.2.过点F(0,3)且和直线y+3=0相切的动圆圆心的轨迹方程为()A.y2=12xB.y2=-12xC.x2=-12yD.x2=12y答案D由抛物线的定义知,过点F(0,3)且和直线y+3=0相切的动圆圆心的轨迹是以点F(0,3)为焦点,直线y=-3为准线的抛物线,故其方程为x2=12y.3.已知抛物线C1:x2=2py
2、(p0)的准线与抛物线C2:x2=-2py(p0)交于A,B两点,C1的焦点为F,若FAB的面积等于1,则C1的方程是()A.x2=2yB.x2=2yC.x2=yD.x2=22y答案A由题意得F0,p2,不妨设Ap,-p2,B-p,-p2,SFAB=122pp=1,则p=1,即抛物线C1的方程是x2=2y,故选A.4.(2018四川成都检测)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,点A(0,-3).若线段FA与抛物线C相交于点M,则|MF|=()A.43B.53C.23D.33答案A如图.由题意得F(1,0),|AF|=2,设|MF|=d,则M到准线的距离为d,M的横坐标为d-1,由AMNAFO,
3、可得d-11=2-d2,所以d=43,故选A.5.已知点A(0,2),抛物线C1:y2=ax(a0)的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线方程交于点N.若|FM|MN|=15,则a的值为()A.14B.12C.1D.4答案D依题意,点F的坐标为a4,0,设点M在准线上的射影为K,由抛物线的定义知|MF|=|MK|,|KM|MN|=15,则|KN|KM|=21.kFN=0-2a4-0=-8a,kFN=-|KN|KM|=-2,8a=2,解得a=4.6.抛物线的顶点在坐标原点,开口向上,其准线经过双曲线y24-x29=1的一个顶点,则此抛物线的标准方程为.答案x2=8y解析由题意可设抛物
4、线的标准方程为x2=2py(p0),因为双曲线的下顶点为(0,-2),所以-p2=-2,p=4,抛物线的标准方程为x2=8y.7.(2018沈阳质量检测)已知正三角形AOB(O为坐标原点)的顶点A,B在抛物线y2=3x上,则AOB的边长是.答案63解析如图,设AOB的边长为a,则A32a,12a,点A在抛物线y2=3x上,14a2=332a,a=63.8.(2018河南新乡二模)已知A(1,y1),B(9,y2)是抛物线y2=2px(p0)上的两点,y2y10,点F是抛物线的焦点,若|BF|=5|AF|,则y12+y2的值为.答案10解析由抛物线的定义可知,9+p2=51+p2,解得p=2,抛
5、物线的方程为y2=4x,又A,B两点在抛物线上,y1=2,y2=6,y12+y2=22+6=10.9.已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,A是抛物线上一点,横坐标为4,且位于x轴上方,A到抛物线准线的距离等于5,过A作AB垂直于y轴,垂足为B,OB的中点为M.(1)求抛物线的方程;(2)若过M作MNFA,垂足为N,求点N的坐标.解析(1)抛物线y2=2px的准线为x=-p2,于是4+p2=5,p=2,抛物线的方程为y2=4x.(2)由(1)知点A的坐标是(4,4).由题意得B(0,4),M(0,2).又F(1,0),kFA=43.MNFA,kMN=-34,直线FA的方程为y=43(x-1
6、),直线MN的方程为y=-34x+2,由联立得x=85,y=45,N的坐标为85,45.10.已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,抛物线C与直线l1:y=-x的一个交点的横坐标为8.(1)求抛物线C的方程;(2)不过原点的直线l2与l1垂直,且与抛物线交于不同的两点A,B,若线段AB的中点为P,且|OP|=|PB|,求FAB的面积.解析(1)易知直线与抛物线的一个交点的坐标为(8,-8),(-8)2=2p8,2p=8,抛物线C的方程为y2=8x.(2)直线l2与l1垂直,故可设直线l2:x=y+m(m0),A(x1,y1),B(x2,y2),且直线l2与x轴的交点为M.由y2=8x,
7、x=y+m,得y2-8y-8m=0,=64+32m0,m-2.y1+y2=8,y1y2=-8m,x1x2=y12y2264=m2,由题意可知OAOB,x1x2+y1y2=m2-8m=0,m=8或m=0(舍),直线l2:x=y+8,M(8,0).故SFAB=SFMB+SFMA=12|FM|y1-y2|=3(y1+y2)2-4y1y2=245.B组提升题组1.(2018湖北武汉调研,6)已知不过原点O的直线交抛物线y2=2px(p0)于A,B两点,若OA,AB的斜率分别为2,6,则OB的斜率为() A.3 B.2C.-2D.-3答案D由题意可知,直线OA的方程为y=2x,与抛物线方程y2=2px联
8、立得y=2x,y2=2px,得x=p2,y=p,即Ap2,p,则直线AB的方程为y-p=6x-p2,即y=6x-2p,由y=6x-2p,y2=2px,得x=2p9,y=-2p3或x=p2,y=p,所以B2p9,-2p3,所以直线OB的斜率kOB=-2p32p9=-3.故选D.2.(2018福州质量检测)过抛物线C:y2=2px(p0)的焦点F的直线交C于A,B两点,若|AF|=3|BF|=3,则p=()A.3 B.2C.32 D.1答案C解法一:如图,分别过点A,B作准线l的垂线AA1,BB1,垂足分别为A1,B1,过点B作BDAA1于D,BD交x轴于E.由已知条件及抛物线定义得,|BB1|=
9、|BF|=1,|AA1|=|AF|=3,所以|AD|=3-1=2.在RtABD中,因为|AB|=4,|AD|=2,所以ABD=30,所以|EF|=12|BF|=12,所以焦点F到准线的距离为12+1=32,即p=32.故选C.解法二:依题意,直线AB不与x轴垂直,设直线AB的方程为y=kx-p2,将其代入抛物线C的方程y2=2px得k2x2-p(k2+2)x+k2p24=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=p24.因为|AF|=3|BF|=3,所以x1+p2=3x2+p2=3,即x1=3-p2,x2=1-p2,所以3-p21-p2=p24,解得p=32.故选C.3.在平面直角
10、坐标系xOy中,抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,点A(4,m)在抛物线上,且|AF|=5.(1)求抛物线的标准方程;(2)是否存在直线l,使l过点(0,1),并与抛物线交于B,C两点,且满足OBOC=0?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.解析(1)点A(4,m)在抛物线上,且|AF|=5,4+p2=5,p=2,抛物线的标准方程为y2=4x.(2)存在.理由:由题意可设直线l的方程为x=k(y-1)(k0),代入抛物线方程,整理得y2-4ky+4k=0,则=16k2-16k0k1,设B(x1,y1),C(x2,y2),则y1+y2=4k,y1y2=4k,由OBOC=0,得x1x
11、2+y1y2=0,所以(k2+1)y1y2-k2(y1+y2)+k2=0,则有(k2+1)4k-k24k+k2=0,解得k=-4或k=0(舍去),直线l存在,其方程为x+4y-4=0.4.过抛物线C:y2=4x的焦点F且斜率为k的直线l交抛物线C于A,B两点,且|AB|=8.(1)求直线l的方程;(2)若A关于x轴的对称点为D,抛物线的准线与x轴的交点为E,求证:B,D,E三点共线.解析(1)F的坐标为(1,0),则l的方程为y=k(x-1),代入抛物线方程y2=4x得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,由题意知k0,且-(2k2+4)2-4k2k2=16(k2+1)0.设A(x1,y1),
12、B(x2,y2),x1+x2=2k2+4k2,x1x2=1,由抛物线的定义知|AB|=x1+x2+2=8,2k2+4k2=6,k2=1,即k=1,直线l的方程为y=(x-1).(2)证明:由抛物线的对称性知,D点的坐标为(x1,-y1),又E(-1,0),kEB-kED=y2x2+1-y1x1+1=y2(x1+1)+y1(x2+1)(x1+1)(x2+1),y2(x1+1)+y1(x2+1)=y2y124+1+y1y224+1=y1y24(y1+y2)+(y1+y2)=(y1+y2)y1y24+1.由(1)知x1x2=1,(y1y2)2=16x1x2=16,又y1与y2异号,y1y2=-4,即y1y24+1=0,kEB=kED,又ED与EB有公共点E,B,D,E三点共线.