1、第9讲直线与圆锥曲线的位置关系考纲要求考点分布考情风向标1.了 解 直线 与 圆 锥曲 线 的 位置关系2.理 解 数形 结 合 的思想3.了 解 圆锥 曲 线 的简单应用2012年新课标卷第20题考查直线、圆与抛物线的综合应用；2013年新课标卷第10题以椭圆的中点弦为背景，考查椭圆方程的求法(点差法)；2014年新课标卷第20题(2)考查直线与椭圆的综合应用；2015年新课标卷第20题(1)(2)考查抛物线的切线，及直线与抛物线位置关系等综合应用；2016年新课标卷第20题考查抛物线的几何意义及直线与抛物线的位置关系1本节复习时，应从“数”与“形”两个方面把握直线与圆锥曲线的位置关系本节内
2、容的特点是运算量比较大，应通过示例的剖析，掌握常规解题规律与方法，优化解题过程2重点掌握直线与曲线的位置关系(弦长、中点或交点个数)及有关最值、定值、定点、轨迹问题1直线与圆锥曲线的位置关系判断直线 l 与圆锥曲线 C 的位置关系时，通常将直线 l 的方程 AxByC0(A，B 不同时为 0)代入圆锥曲线 C 的方程F(x，y)0，消去 y(也可以消去 x)，得到一个关于变量 x(或变量 y)的一元方程(1)当 a0 时，设一元二次方程 ax2bxc0 的判别式为，则0直线 l 与圆锥曲线 C 相交；0直线 l 与圆锥曲线 C_；相切0直线 l 与圆锥曲线 C 无公共点(2)当 a0，b0 时
3、，即得到一个一次方程，则直线 l 与圆锥曲线 C 相交，且只有一个交点，此时，若 C 为双曲线，则直线 l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若 C 为抛物线，则直线 l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行2圆锥曲线的弦长(1)圆锥曲线的弦长：直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长3直线与圆锥曲线的位置关系口诀“联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”1(2014 年湖南)平面上以机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线 x1 的距离相等若机器人接触不到
4、过点P(1,0)且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是_.(，1)(1，)答案：D考点1弦长公式的应用图 7-9-1思维点拨：利用点到直线的距离求解|CD|后；再将直线方程与圆锥曲线方程联立，消元后得到一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后再利用弦长公式进行整体代入求出|AB|.【互动探究】考点2点差法的应用思维点拨：用点差法求出割线的斜率，再结合已知条件求解【规律方法】(1)本题的三个小题都设了端点的坐标，但最终没有求点的坐标，这种“设而不求”的思想方法是解析几何的一种非常重要的思想方法(2)本例这种方法叫“点差法”，“点差法”主要解决四类题型：求平行弦的中点的
5、轨迹方程；求过定点的割线的弦的中点的轨迹方程；过定点且被该点平分的弦所在的直线的方程；有关对称的问题(3)本题中“设而不求”的思想方法和“点差法”还适用于双曲线和抛物线【互动探究】D考点3直线与圆锥曲线的位置关系思想与方法圆锥曲线中的函数与方程思想和数形结合思想【规律方法】解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整
6、体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型1直线与圆锥曲线的综合，是高考最常见的一种题型，涉及求弦长、中点弦方程、轨迹问题、切线问题、最值问题、参数的取值范围问题等分析问题时需借助于数形结合、设而不求、弦长公式及韦达定理等来综合考虑2在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时，我们经常用到如下解法：设弦的两个端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，代入圆锥曲线得两方程后相减，得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系，然后加以求解，这即为“点差法”3研究直线与圆锥曲线的位置关系，经常用到一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、弦长公式等，要重视设而不求及数形结合思想的运用，切忌一味呆板地去求方程的根；在解题时应注意讨论二次项系数为 0 的情况，否则会漏解要强调根的判别式，这是直线与圆锥曲线有没有交点的前提，也是求参数范围的基本方法