1、 导数与微分（一）网上教室 1本讲主要内容：2学习指导(1)判断函数的单调性的常用方法有哪些?判断函数的单调性常用的方法有：定义的方法,即设任x1x2,且x1、x2（a,b），若有f(x1)f(x2), 则函数f(x)在（a,b）上为单调减函数，应注（a,b）(：为函数的定义域).现在我们又多了一种判定函数单调性的方法，即求导法.即当x（a,b）时，若f(x)0, 则f(x)在（a,b）上为增函数，若 f(x)0) 的最小值. x0 , f(x)= 当且仅当x= , 即x=时 “=” 成立 故当x=时f(x)有最小值.下面我们把题目改动一下，求f(x)= (0x1)的最小值，显然这时就不能利用
2、上述的方法求解，因为此时x=(0,1 , 即函数f(x)在(0,1内取不到函数值，那么如何求f(x)在(0,1内的最小值呢？我们可利用单调性来研究此问题.f(x)=1- , 令1-0 解得 -,因此可得 f(x) 在(0,1上是单调减函数, 当x=1 时 =1+2=3.又如函数的最小值是2吗? 有的同学是这样解此题的：2 f(x)的最小值是 2但是我们注意到不成立, 因此2不是f(x)的最小值,那么这个函数有最小值吗? 若有怎样求呢? 答案是此题有最小值, 利用导数研究函数的单调性即可求解. (同学们可自己解一下, 答案 )3例题精讲例1: 已知数列和的通项公式分别为, (), 设有抛物线列C
3、1, C2,Cn, 抛物线Cn()的对称轴平行于y轴，顶点为(,), 且通过点Dn(0, n2+1), 过点Dn且与抛物线Cn相切的直线斜率为Kn, 求极限.分析及解: 从结论上考虑, 为了求得极限, 需先求出数列Kn的通项公式, 而Kn是过点Dn (0, n2+1)且与抛物线Cn相切的直线的斜率, 根据导数的几何意义, 只需求出抛物线Cn在Dn点的导数即可, 因此需先求出抛物线Cn的函数表达式, 而此问题就是特定系数法求二次函数表达式的问题.设抛物线Cn的方程为y=Dn( 0, n2+1 )在此抛物线上,得a=1Cn的方程为y=即 点Dn处切线斜率Kn =2n+3 =利用导数的几何意义求得曲
4、线在某一点处切线的斜率, 进而可求得切线方程例2. 建造一个容积为v米3的无盖长方体蓄水池, 若池深h米, 池底一边长为x米 (由于地理条件的限制, 该边长不能超过k米, 池底另一边长度不限),池壁造价a元/米2，池底造价2a元/米2，为使总造价y (元)最小, 池底边长应为多少米?分析及解: 这是一道应用题, 需先建立总造价y关于池底一边长x的函数表达式, 然后求函数的最值.由题意: ( 00当且仅当, 即时“=”成立故当时，总造价最小.这道题作到此作完了吗？这样作对吗？汉有作完！不对!错在哪里呢?这样作的同学忽略了定义域0k时，如何求函数的最小值呢？这里可利用求导的方法求解当x( 0,)
5、时，y为减函数，当x(,)时，y为增函数,此时x=k时，y有最小值，y小=故当k时，x=，y有最小值，即造价最低. 当k时，x=k，y有最小值，即造价最低.注：(1)此题可直接利用求导的方法求函数最值.(2)研究有关函数的问题，不可忽略对函数的定义域的讨论.例3设函数f(x)=，其中a0，求a的取值范围，使函数f(x)在区间0，)上是单调函数.分析及解：这是2000年高考试题第(19)题的第(2)问，解此题可有两种方法，利用函数单调性的定义或利用函数的导数研究其单调性.方法(一)：在区间0，)上任取x1, x2, 使x1 x2f(x1)f(x2)= = =(i)当a1时, 1 0又 x1x2
6、0即 f(x1) f(x2)所以，当a1时，函数f(x)在区间0，)上是单调递减函数.(ii)当0a1时，在区间0，)上存在两点x1=0, x2=, 满足f(x1)=1, f(x2)=1, 即f(x1)=f(x2), 所以，函数f(x)在区间0，)上不是单调函数.方法(二)：f(x)= a令f(x)0 则有 a设g(x)= , 当x0，)时 有0g(x)1a1，即当a1时f (x)0 , 则有 a若对x0，)上式恒成立，则应有a0，a0不成立，即当0a0, 利用函数的单调性证明: xln(1+x)(8)设f(x)=-x3+x2-x , x0, 2, 求函数F(x)=af(x)2+2af(x)
7、(其中a为非零常数) 的单调区间和最值. (9)设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间, 试确定a的取值范围, 并求出这三个单调区间.(10)将数8分为两数之和, 使其立方之和为最小. C研究性习题：用总长14.8m的钢条制做一个长方体容器的柜架, 如果所制做容器的底面的一边比另一边长0.5m , 那么高为多少时容器的容积最大? 并求出它的最大容积 (2000年高考试题)2. 能力训练题点拨与解答A:(1) D(2) D f(x)=cos2x2xln2(3) C f(x)=4x-2=4x- , 令f(x)0 , 即 4x-0 可求解 x0(4) D y=(-2x) |x= -1=2 , 又f(
8、-1)=1切线方程: y-1=2(x+1)(5) D y= -|x= 4= - 又 点(4, -)在第四象限, 直线的倾斜角为钝角(6) C函数在x= -1的两边的导数同号(7) y= =(8) y= = = =另解: y=4lnx-ln(x2+1) y= =(9)由 y= 得交点为(1,1) y=设两曲线在交点(1,1)处的切线的倾斜角分别为、,则tan=|x=1= -2 tan=|x=1= -1tan= =(10)设(x0, y0)是所求切线上的切点, 则y0=+x0 , y=3+1=4, 解得x0=1或x0= -1, 从而y0=2或y0= -2所求切线方程分别为4x-y-2=0, 4x-
9、y+2=0B：(1) 11 v(t)=1+2t v(5)= | t=5=11(2) -利用导数可知函数在x=0处取得最大值, a=2.又知函数在x=1处取得极小值f(1)=, 又f(-1)= - f(x)min= -(3) f(x)= -secx(4) （0，1） （1，2）(5) 1 2 3 18 (6)V= (6-2x)(4-2x)x =4x3-20x2+24x ( 0x0 , f(x)在(0,+) 当x0时 f(x)f(0) 而f(0)=0 f(x)0 , 即x-ln(1+x)0 xln(1+x)成立.(8)f(x)= -3x2+2x-1 F(x)=2a(3x2-2x+1)(x2+1)(
10、x-1) 3x2+2x+10 且 x2+10 xR 当a0时, F(x)在(1,2) 在(0,1) 当a0时, 当x=1时, F(x)小= -a, 当x=2时, F(x)大=24a 当a0, 则f(x)0, x(-,+), 此时f(x)只有一个单调区间, 矛盾若a=0, 则f(x)=x , 此时f(x)也只有一个单调区间, 矛盾.若a0, 则f(x)=3a(x+)(x-)综上可知a0时, f(x)恰有三个单调区间, 其中减区间为(-,-), (,+), 增区间为(-,)(10)设一数为x , 则另一数为8-x , 且设它们的立方之和为y , 则y=x3+(8-x)3 y=3x2-3(8-x)2
11、=48(x-4)当x4时, y4时, y0当x=4是y在(-,+)内的极小值点.当x=4时, y有最小值, 即把8分作4和4, 其立方和最小.C：设容器底面短边长为xm, 则另一边长为(x+0.5)m, 高为=3.2-2x由3.2-2x0和x0 , 得0x1.6设容器的容积为ym3, 则有 y=x(x+0.5)(3.2-2x) (0x1.6)整理, 得 y= -2x3+2.2x2+1.6x y= -6x2+4.4x+1.6 令y=0 , 有 -6x2+4.4x+1.6=0 即 15x2-11x-4=0 解得 x1=1, x2= - (舍去)从而在定义域 (0, 1.6)内只有在x=1处使y=0当 x(0,1) y 当x(1, 1.6) y 当x=1 时, y取得最大值ymax= -2+2.2+1.6=1.8这时, 高为3.2-21=1.2答: 容器的高为1.2m时, 容积最大, 最大容积为1.8m3.高考资源网w。w-w*k&s%5￥u高考资源网w。w-w*k&s%5￥u