1、典例设aR,若x0时均有(a-1)x-1(x2-ax-1)0,则实数a=.【思维引导】方法一:方法二:方法三:方法四:【规范解答】令y1=(a-1)x-1,y2=x2-ax-1.(典例)方法一:当a=1时,y1=(a-1)x-1=-1,y2不恒小于0,所以不合题意,故a1.因为一次函数y1=(a-1)x-1和二次函数y2=x2-ax-1的图象均过定点(0,-1),如图,当x0时均有(a-1)x-1(x2-ax-1)0,所以这两个函数的图象在y轴的右边且同时在x轴的上方或同时在x轴的下方.因为点M在函数y1=(a-1)x-1的图象上,所以函数y2=x2-ax-1的图象一定也过点M,代入得-1=0
2、,解得a=或a=0(舍去).方法二:设f(x)=(a-1)x-1(x2-ax-1)(x0),由f(1)0且f(2)0,得解得a=.检验,当a=,x0时,f(x)=(x-2)20成立.方法三:由题知f(x)=(a-1)x-1(x2-ax-1)=(a-1)(x-x1)(x-x2)0.其中x1,x2是方程x2-ax-1=0的两个根.由x1x2=-1,令x10,由于x0时不等式恒成立,因此a-10,x2=.将x=代入方程x2-ax-1=0,得-1=0,解得a=或a=0(舍去),故a=.方法四:将原不等式写成关于a的二次不等式形式ax-(x+1)(ax-x2+1)0,由于x0,故当00时不等式恒成立,因
3、此令x=2,则a,故a=.变式(2014苏中三市、宿迁调研(一)若不等式(mx-1)3m2-(x + 1)m-10对任意m(0,+)恒成立,则实数x的值为.【答案】1【解析】方法一:显然x0,若x0,则mx-10,与题设矛盾.而当x0时,要使(mx-1)3m2-(x+1)m-10对m(0,+)恒成立,则关于m的方程mx-1=0与3m2-(x+1)m-1=0在(0,+)内有相同的根,所以3-(x+1)-1=0,解得x=1或x=-(舍去).(变式)方法二:(图象法)设函数y1=mx-1,y2=3m2-(x+1)m-1,要使不等式(mx-1)3m2-(x+1)m-10对任意m(0,+)恒成立,则必有x0,作出两个函数图象,则有两个函数图象交于点,即m=是方程3m2-(x+1)m-1=0的根,所以3-(x+1)-1=0,解得x=1或x=-(舍去).温馨提示:趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成配套检测与评估中的练习第1516页.
