1、高考资源网（） 您身边的高考专家专题限时集训(六)利用导数研究函数的单调性、极值、最值(建议用时：45分钟)1设函数f(x)1(1a)xx2x3，其中a0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2)当x0,1时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值解(1)f(x)的定义域为(，)，f(x)1a2x3x2.1分令f(x)0，得x1，x2，x1x2， 2分所以f(x)3(xx1)(xx2). 3分当xx2时，f(x)0；当x1x0. 5分故f(x)在(，x1)和(x2，)内单调递减，在(x1，x2)内单调递增. 6分(2)因为a0，所以x10.7分当a4时，x21，由(1)知，f(x)在0,
2、1上单调递增，所以f(x)在x0和x1处分别取得最小值和最大值. 10分当0a4时，x21，由(1)知，f(x)在0，x2上单调递增，在x2,1上单调递减，所以f(x)在xx2处取得最大值. 12分又f(0)1，f(1)a，所以当0a1时，f(x)在x1处取得最小值；当a1时，f(x)在x0处和x1处同时取得最小值；当1a0)， 8分由题意可得方程ax23x20有两个不等的正实根，不妨设这两个根为x1，x2，并令h(x)ax23x2， 10分则也可以为13分解得0a. 14分3如图64，现要在边长为100 m的正方形ABCD内建一个交通“环岛”正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为x m(
3、x不小于9)的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为x2 m的圆形草地为了保证道路畅通，岛口宽不小于60 m，绕岛行驶的路宽均不小于10 m.图64(1)求x的取值范围；(运算中取1.4)(2)若中间草地的造价为a元/m2，四个花坛的造价为ax元/m2，其余区域的造价为元/m2，当x取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？解(1)由题意得， 2分解得 4分即9x15. 6分(2)记“环岛”的整体造价为y元，则由题意得ya2axx2， 8分令f(x)x4x312x2，则f(x)x34x224x4x， 10分由f(x)0，解得x10或x15，列表如下：x9(9,10)10(10,15)15f(x
4、)00f(x)极小值所以当x10，y取最小值即当x10m时，可使“环岛”的整体造价最低. 14分4设函数f(x)ln(x1)a(x2x)，其中aR.(1)讨论函数f(x)极值点的个数，并说明理由；(2)若x0，f(x)0成立，求a的取值范围解(1)由题意知，函数f(x)的定义域为(1，)，f(x)a(2x1). 1分令g(x)2ax2axa1，x(1，). 2分当a0时，g(x)1，此时f(x)0，函数f(x)在(1，)上单调递增，无极值点； 3分当a0时，a28a(1a)a(9a8)a当0a时，0，g(x)0，f(x)0，函数f(x)在(1，)上单调递增，无极值点； 4分b当a时，0，设方程
5、2ax2axa10的两根为x1，x2(x1x2)，因为x1x2，所以x1，x2. 5分由g(1)10，可得1x1.所以当x(1，x1)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递增；当x(x1，x2)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递减；当x(x2，)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递增， 6分因此，函数有两个极值点c当a0时，0，由g(1)10，可得x11.当x(1，x2)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递增；当x(x2，)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递减，所以函数有一个极值点. 7分综上所述，当a0时，函数f(x)有一个极值点；当0a时
6、，函数f(x)无极值点；当a时，函数f(x)有两个极值点. 8分(2)由(1)知，当0a时，函数f(x)在(0，)上单调递增，因为f(0)0，所以x(0，)时，f(x)0，符合题意.9分当a1时，由g(0)0，得x20，所以函数f(x)在(0，)上单调递增又f(0)0，所以x(0，)时，f(x)0，符合题意. 10分当a1时，由g(0)0，可得x20.所以x(0，x2)时，函数f(x)单调递减因为f(0)0，所以x(0，x2)时，f(x)0，不合题意. 11分当a0时，设h(x)xln(x1)因为x(0，)时，h(x)10，所以h(x)在(0，)上单调递增. 12分因此，当x(0，)时，h(x
7、)h(0)0，即ln(x1)x.可得f(x)xa(x2x)ax2(1a)x，当x1时，ax2(1a)x0，此时f(x)0，不符合题意综上所述，a的取值范围是0,1. 14分5(2016无锡期末)已知函数f(x)ln x(a0)(1)当a2时，求出函数f(x)的单调区间；(2)若不等式f(x)a对于x0的一切值恒成立，求实数a的取值范围解(1)当a2时，函数f(x)ln x， 1分所以f(x)， 2分所以当x(0，e)时，f(x)0，则函数f(x)在(0，e)上单调递减；3分当x(e，)时，f(x)0，则函数f(x)在(e，)上单调递增. 4分(2)由题意知ln xa恒成立， 5分原式等价于xl
8、n xae2ax0在(0，)上恒成立，令g(x)xln xae2ax， 6分因为g(x)ln x1a，令g(x)0，得xea1，x(0，ea1)ea1(ea1，)g(x)0g(x)极小所以g(x)的最小值为g(ea1)(a1)ea1ae2aea1ae2ea1， 8分令t(x)xe2ex1，因为t(x)1ex1，令t(x)0，得x1，且x(0,1)1(1，)t(x)0t(x)极大所以当a(0,1)时，g(x)的最小值t(a)t(0)e20， 12分当a1，)时，g(x)的最小值为t(a)ae2ea10t(2)，所以a1,2. 14分6(2016苏北三市三模)已知函数f(x)，g(x)ax2ln
9、xa(aR，e为自然对数的底数)(1)求f(x)的极值；(2)若在区间0，e上，对于任意的x0，总存在两个不同的x1，x2，使得g(x1)g(x2)f(x0)，求a的取值范围解(1)因为f(x)，所以f(x)，令f(x)0，得x1. 2分当x(，1)时，f(x)0，f(x)是增函数；当x(1，)时，f(x)0，f(x)是减函数所以f(x)在x1时取得极大值f(1)1，无极小值. 5分(2)由(1)知，当x(0,1)时，f(x)单调递增；当x(1，e时，f(x)单调递减又因为f(0)0，f(1)1，f(e)ee1e0，所以当x(0，e时，函数f(x)的值域为(0,1. 7分当a0时，g(x)2l
10、n x在(0，e上单调，不合题意；当a0时，g(x)a，x(0，e，故必须满足0e，所以a. 8分此时，当x变化时，g(x)，g(x)的变化情况如下：xg(x)0g(x)最小值所以x0，g(x)，g2a2ln，g(e)a(e1)2.所以对任意给定的x0(0，e，在区间(0，e上总存在两个不同的x1，x2， 10分使得g(x1)g(x2)f(x0)，当且仅当a满足下列条件即令m(a)2a2ln，a，m(a)，由m(a)0，得a2. 12分当a(2，)时，m(a)0，函数m(a)单调递减；当a时，m(a)0，函数m(a)单调递增所以，对任意a有m(a)m(2)0，即2a2ln0对任意a恒成立由a(e1)21，解得a. 13分综上所述，当a时，对于任意给定的x0(0，e，在区间(0，e上总存在两个不同的x1，x2，使得g(x1)g(x2)f(x0). 14分高考资源网版权所有，侵权必究！
