1、A级基础巩固1.顶点在原点,焦点是F(0,3)的抛物线的标准方程是 ()A.y2=21x B.x2=12yC.y2=112x D.x2=112y解析:由焦点是F(0,3),可设标准方程为x2=2py(p0),由题意,得p2=3,即p=6,所以抛物线标准方程为x2=12y.答案:B2.若抛物线y=x2a的焦点坐标为(0,-1),则a的值等于 ()A.4 B.-4C.14 D.-14解析:抛物线y=x2a的标准方程为x2=ay,其焦点坐标为0,a4.由题意可知a4=-1,解得a=-4.答案:B3.(全国卷)已知A为抛物线C:y2=2px(p0)上一点,点A到抛物线C的焦点的距离为12,到y轴的距离
2、为9,则p= ()A.2 B.3C.6 D.9解析:因为A为抛物线C:y2=2px(p0)上一点,点A到抛物线C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,且抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等,所以9+p2=12,解得p=6.故选C.答案:C4.以双曲线x216-y29=1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为()A.y2=16x B.y2=-16xC.y2=8x D.y2=-8x解析:由双曲线的方程x216-y29=1可得,其右顶点坐标为(4,0),所以可设所求抛物线的标准方程为y2=2px(p0),因为(4,0)为抛物线的焦点,所以p2=4,因此p=8,故抛物线的标准方程为y2=16x.答案
3、:A5.已知抛物线y=mx2(m0)的焦点与椭圆4y29+x22=1的一个焦点重合,则m=12.解析:将抛物线y=mx2(m0)的方程化为标准方程是x2=1my,所以其焦点是0,14m.因为抛物线的焦点与椭圆4y29+x22=1的一个焦点重合,因此94-2=14m2,结合m0,得m=12.6.已知抛物线y2=4x上一点M(x0,23),则点M到抛物线焦点的距离等于4.解析:把点M(x0,23)代入抛物线方程可得,(23)2=4x0,解得x0=3 .所以点M到抛物线焦点的距离为x0+1=4.7.已知抛物线的焦点是双曲线x2a2-y2b2=1的右焦点,它的准线过双曲线x2a2-y2b2=1的左焦点
4、,抛物线与此双曲线交于点32,6,求抛物线和双曲线的标准方程.解:设抛物线标准方程为y2=2px(p0),将点32,6代入方程,得p=2,所以抛物线的标准方程为y2=4x.因为抛物线的准线为直线x=-1,所以双曲线的焦点为(-1,0),(1,0).因为点32,6到两焦点距离之差为1,所以2a=1,即a=12.又因为a2+b2=p22,所以b2=34.所以双曲线的标准方程为x214-y234=1.B级拓展提高8.过点A(1,0),且与直线l:x=-1相切的动圆的圆心的轨迹是 ()A.圆 B.椭圆C.双曲线 D.抛物线解析:如图,设动圆的圆心为M.由题意,知M到直线l的距离等于圆的半径|MA|.由
5、抛物线的定义,知点M的轨迹是以A(1,0)为焦点,以直线l为准线的抛物线.答案:D9.已知点F是抛物线x2=4y的焦点,点P为抛物线上的任意一点,M(1,2)为平面上一点,则|PM|+|PF|的最小值为 ()A.3 B.2C.4 D.23解析:如图,在平面直角坐标系中作出图象,并作PN垂直准线于点N.由题意可得|PM|+|PF|=|PM|+|PN|MN|,显然,当P,M,N三点共线时,|PM|+|PF|的值最小.因为点M(1,2),F(0,1),准线方程为y=-1,所以当P,M,N三点共线,即点N的坐标为(1,-1)时,(|PM|+|PF|)min=|MN|=3.答案:A10.抛物线形拱桥的示
6、意图如图所示,当水面在AB时,拱顶距离水面2 m,水面宽4 m,当水位上升0.5 m后,水面宽 ()A.3 m B.6 mC.23 m D.26 m解析:如图,建立平面直角坐标系.设抛物线方程为x2=my,将点A的坐标(-2,-2)代入x2=my,得m=-2,可得抛物线方程为x2=-2y,水位上升0.5 m后,将y=-32代入抛物线方程可得,x=3,故此时水面宽度为23 m.答案:C11.已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是抛物线C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|=6.解析:设点N的坐标为(0,a),由点F(2,0),M为FN的中点,可得点M的坐标为1,a2.
7、因为点M在抛物线上,所以a24=8,解得a=42.所以点N的坐标为(0,42)或(0,-42),那么|FN|=(2-0)2+(042)2=6.12.抛物线y2=4x的焦点为F,点P为抛物线上的动点,点M为其准线上的动点,当FPM为以点P为直角顶点的等腰直角三角形时,其面积为2.解析:画出草图,过P作准线l的垂线,垂足为M(图略),则|PM|=|PF|.又因为|PM|=|PF|,所以|PM|=|PM|,M与M重合,此时PMPF,PMl,所以PFl,|PM|=|PF|=2,所以SFPM=1222=2.13.动圆P与定圆A:(x+2)2+y2=1外切,且与直线l:x=1相切,求动圆圆心P的轨迹方程.
8、解:如图,设动圆圆心P(x,y),过点P作PDl于点D,作直线l:x=2,过点P作PDl于点D,连接PA.设圆A的半径为r,动圆P的半径为R,可知r=1.因为圆P与圆A外切,所以|PA|=R+r=R+1.又因为圆P与直线l:x=1相切,所以|PD|=|PD|+|DD|=R+1.因为|PA|=|PD|,即动点P到定点A的距离与到定直线l的距离相等,所以点P的轨迹是以A为焦点,以直线l为准线的抛物线.设抛物线的方程为y2=-2px(p0),可知p=4,所以所求的轨迹方程为y2=-8x.14.如图所示,已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4,且位于x轴上方的点,点A到抛物线
9、准线的距离等于5,过点A作AB垂直于y轴,垂足为B,OB的中点为M.(1)求抛物线的方程;(2)过点M作MNFA,垂足为N,求点N的坐标.解:(1)抛物线y2=2px的准线方程为x=-p2,由4+p2=5,得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x.(2)由题意,得A(4,4),B(0,4),M(0,2).又因为点F的坐标为(1,0),所以kAF=43,则FA的方程为y=43(x-1).因为MNFA,所以kMN=-34,则MN的方程为y=-34x+2.解方程组y=-34x+2,y=43(x-1),得x=85,y=45,所以点N的坐标为85,45. C级挑战创新15.多选题对于标准形式的抛物线,给出
10、下列条件,其中满足抛物线方程为y2=10x的是 ()A.焦点在y轴上B.焦点在x轴上C.抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6D.由原点向过焦点的某直线作垂线,垂足坐标可能为(2,1)解析:抛物线y2=10x的焦点在x轴上,B项满足,A项不满足;设M(1,y0)是抛物线y2=10x上的一点,则|MF|=1+p2=1+52=726,所以C项不满足;由于抛物线y2=10x的焦点为52,0,故可设过该焦点的直线方程为y=kx-52,若由原点向该直线作垂线,垂足为点(2,1)时,则k=-2,此时存在,所以D项满足.答案:BD 16.多选题 如图所示,在平面直角坐标系Oxy中,抛物线C:y2=2px(
11、p0)的焦点为F,准线为l.设l与x轴的交点为K,P为抛物线C上异于O的任意一点,PEl于点E,EPF的邻补角的平分线交x轴于点Q,过Q作QNPE交EP的延长线于点N,作QMPF交线段PF于点M,则 ()A.|PE|=|PF| B.|PF|=|QF|C.|PN|=|MF| D.|PN|=|KF|解析:由抛物线的定义,得|PE|=|PF|,A项正确;因为PNQF,PQ是FPN的平分线,所以FQP=NPQ=FPQ,所以|PF|=|QF|,B项正确;由PQ是FPN的平分线,QNPE,QMPF,得|QM|=|QN|,从而有|PM|=|PN|,若|PN|=|MF|,则|PM|=|FM|,这样就有|QP|=|QF|,PFQ为等边三角形,FPQ=60,则FPE=60,这只是在特殊位置才有可能,因此C项错误;连接EF,如图,由选项A,B,知|PE|=|QF|,又因为PEQF,所以四边形EPQF是平行四边形,所以|EF|=|PQ|,显然|EK|=|QN|,所以|KF|=|PN|,D项正确.答案:ABD