1、 常用的数学思想方法 分类讨论思想一. 分类讨论思想:在解题时,由于受到各种因素的制约,往往不能再用同一条性质、或一个定理、或一个公式、或一种方法去解决,因为这时被研究的问题包含了多种可能的情况,就需将问题分成若干个局部问题,分别在每个局部问题中去解题,这就是分类讨论思想.分类讨论是解决问题的一种逻辑方法,也是一种数学思想,这种思想在人的思维发展中有着重要的作用.纵观近几年的高考,分类讨论思想在高考中占有重要的地方,且在总体上有逐年加重的趋势.这种趋势产生的根本原因是: 一. 具有明显的逻辑性特点; 二. 有训练人的思维条理性、综合性、探索性的功能; 三. 此类题目与生产实践联系密切,加强对学
2、生分析能力的考查,有助于高校选拔人才. 因此,分类讨论将会是高考命题的热点之一.分类讨论的原则: 注意分类对象的确定性、分类的标准应统一、明确,注重分类的完备性、纯粹性和层次性,即做到不遗漏、不重复、分层次、不越级讨论.分类讨论方法的一般步骤:(1)确定讨论对象的全体;(2)确立分类标准,进行正确、科学地分类;(3)逐类讨论,得出局部结论;(4)归纳小结,综合整体结论.需要运用分类讨论思想来解决的数学问题,引起分类讨论的原因,大致可归结为以下几种:(1)由数学概念引起的分类:如;复数的代数形式 ,当b0时,z为虚数,当b=0时,z为实数,将复数集分类定义;直线和平面所成的角;当直线与平面斜交时
3、, 是直线和直线在平面内的射影所成的角,当直线与平面垂直时, ,当直线在平面内或与平面平行时,对于二次曲线,当参数A,B,C,D,E,F取不同数值时,分别表示不同的曲线.(2)由数学定理、公式或运算性质、法则引起的分类.如: 等比数列的前n项和公式,应为;不等式左右两边同乘除一个数,必须分清是0,还是正数,负数;(3)由函数的性质引起的分类.如函数的定义域,象分段函数;函数的单调性,.当a1时,y为增函数,当0a1时, y为减函数;函数的图象变化,由a的正负引起图象开口方向的变化,单调性变化,最值变化,由的不同取值,引起图象与x轴交点情况的变化.(4)由数学问题中含有参变量的不同取值引起的分类
4、.(5)由图形位置的不确定性引起的分类.(6)由题目的特殊条件或实际问题的要求引起的分类.在关于分类讨论的数学思想复习过程中,应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧. 注重在解答题的解题过程中的分类讨论情形.另外,有时在分类讨论时,会造成解题过程的繁琐,因而对于有些题,要注意解法上的优化,可以采用其它一些解法,使分类讨论得以避免和简化,使解题更灵活,更简便.二. 例题精讲:例1. 解不等式: 分析及解 此不等式既含对数式,又带有绝对值,因而要解决这两个问题,先确定使对数式成立的x的取值范围,再去绝对值符号.若使解析式有意义,满足 0x3. 令 得x=1;令,得x=2所以1和2为分界点.(1)当
5、0x1时,原式为. . 解集为(2)当1x2时,原式为 x(3-x)3 . 解集为x|1x2.(3)当2x0, 使得成立,并证明你的结论.分析及解要证,即证,则需用到等比数列前n项和公式,因而要注意分q=1与两类情况去证.证法一: (I)设an的公比为q,则a10,q0, (1)当q=1时,Sn=na1, . . 原式得证.(2)当时, ,原式得证.由(1)(2)知(II)由 则可将数列Sn-C. 看成是各项为正数等比数列.若q=1,则Sn=na1,代入上式,得,而,不论C取何值,Sn-C也不可能是等比数列.若q1,则,. 若使Sn-C为等比数列,当且仅当. 即 ,若C0,由于a10, 0q0
6、, 使得等式成立.证法二: (I) , . = = 即(II)反证法,假设存在常C0,使. 则有.由(4)得 (5)根据均值不等式得: C0,再由(5)可知,但由(I)可知,产生矛盾. 不存在常数C0,使等式成立.证法二中,运算设计巧妙,且过程简捷,避免了q=1,的分类讨论.例3. (1996高考题)已知a,b,c是实数,函数,-10;当-1x1时, g(x)的最大值为2,求f(x).分析及解 (I) f(0)=c, 且. |f(0)|1, |c|1.(II)要证|g(x)|2,而g(x)是关于x的一次函数,且当时,g(x)是单调函数. g(x)在-1,1上的最大值、最小值必在区间的端点处取到
7、,而, 即只要证,而要求出,还要弄清楚g(x)的单调性,即a0,g(x)为增函数, a0时,g(x)在-1,1上为增函数,.a+b=2,a+b1-c,则c=-1.f(0)=c=-1.对任意x-1,1,都有f(x)f(0),即f(x)在-1,1上的最小值是当x=0时取得, b=0,由a+b=2, a=2. .运用适当方法,避免一些不必要的分类讨论,往往会使解题过程简化.例4. (1992三南)求同时满足下列两个条件的所有复数z: (I)是实数, 且 (II)z的实部和虚部都是整数.分析及解由题意,为实数,且在(1,6)范围内,常规思路是求出的实部、虚部,再由已知条件,求出z.设则 .由条件(I)
8、, 得 由(2)得y=0或 分别代入(1)式. 把y=0代入(1)式得 .由的式子特点,可用均值不等式作试探, x无解.把代入(1)式得10)和直线l: x=-1. B是直线l上的动点, 的角平分线交AB于点C. 求点C的轨迹方程,并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系.分析及解这是一道求动点轨迹的解析题.常规解法是: 先设动点C(x,y),再由题设条件,建立关于x、y的关系式,由题设可知,点C随点B的变动而变动. 为了表述点B的坐标,要先引进一个参变量,此题的参变量可有多种设置方法,这里我们仅举一种较为简便的解法求出轨迹方程.设B(-1,b). 动点 则0xa.OC平分 .当时, , x=0,
9、 y=0.当时, 知0xa, 且0x|y|.由公式.而 (1)C在直线AB上, 将(1)式代入(2)式. 整理得: 将点C(0,0)代入上述方程也成立.点C的轨迹方程为. 可化为 (3)当0a1时,方程3表示双曲线一支的弧段.所得到的轨迹方程不含xy项,是二次曲线的方程,由于a取不同数值,得到不同的圆锥曲线,考查了分类讨论的思想方法.例6. (1986高考)已知集合A和集合B各有12个元素,含有4个元素,试求同时满足下面两个条件的集合C的个数:(I),且C中含有3个元素.(II)(表示空集)分析及解排列组合的题目也常常用到分类讨论的思想.题目要求,所以应先弄清中的元素个数,由A、B各有12个元
10、素且, 中有20个元素 而,说明C中的3个元素至少有一个要从A中选出.可由此分类求C的个数.(1)只含A中1个元素的集合C的个数为.(2)只含A中2个元素的集合C的个数为.(3)3个元素都是A集合的集合C个数为.所求集合C的个数为.另解: 可将符合条件(I)的集合C分成两类,一是含集合A中元素的集合;一是不含集合A中元素的集合,则除去第二类便是所求,可得.三. 能力训练题. （一）选择题1. ,方程的解的个数是 ( )(A)2(B)3(C)4(D)6.2. 若,则的值为 ( )(A)1或-1;(B)0或-1;(C)0或1;(D)0或1或-1.3. 已知且,则实数p的取值范围是 ( )(A)p-
11、2;(B)p-2;(C)p2;(D)p-4.4. 球O的表面积为,球的两个平行截面圆的半径分别为1和2,则两个平行截面间的距离是 ( )(A);(B);(C);(D).5. 两条直线, 垂直的充要条件是 ( )(A);(B);(C);(D).6. 设,且, 则 ( )(A)必有;(B);(C);(D)以上都不对.(二)填空题.7. 过点M(2,4),向圆所引的切线方程是_.8. 在50件产品中有4件是次品,从中任意抽取5件,至少有3件是次品的抽法共_种. (用数字作答).9. 若,则a的取值范围是_.10. 不等式, (a1,且的解集为_.11. 关于x的方程有两个实根,则的取值范围是_.12
12、. 如图,直二面角,线段AB,AB与所成的角为,则AB与成角的取值范围是_.(三)解答题13. 设方程的根分别为,且,求实数k的值.14. 已知数列都是由正数组成的等比数列,公比分别为p,q,其中pq,且p1,q1,设,Sn为数列an的前n项和,求15. 解不等式.16. 在xoy平面上给定一曲线C:.(1)若p=1,设点A,求曲线C上距点A最近的点B之坐标及相应的距离|BA|.(2)若p=1,设点A的坐标为(a,0),求曲线C上的点B到点A距离的最小值d,并求d=5时,点A的坐标.(3)若点A(5,0)到曲线C上的点的最小距离为4,求曲线C的方程.17. 在中,已知,求.18. 已知线段AB
13、在平面内,AC平面M,BDAB,且与平面M成角,AB=a,AC=BD=b,求CD两点间的距离.四.能力训练题点拨与解答.(一)选择题1. D. 由zC知z可为实数或纯虚数,若z为实数,可得;若z为纯虚数,可得两共轭纯虚数, 共有六个解.2. D. 由),可分为,三种情况讨论.3. D. 由 对方程的解的情况有两种: 一是方程无解, -4p-4.4. C. 由已知可求出球半径为6.如图,平行截面有两种位置关系: 一是球心位于两平行截面之间,所求距离为;一是球心位于两平行截面的外侧,所求距离为.5. A. 分两直线都有斜率与两条直线有一条无斜率两种情形去讨论.6. B 由f(0)=3, c=3,由
14、f(2-x)=f(x) 函数f(x)的图象的对称轴为x=1, b=2 .当x0时,cxbx1.在上增, 当x1上式一定满足, a-2; 若0a+31, ,解出x.若n为偶数时,原不等式化为,a1, ,解出x.11. 方程有两个实根 ,且 , .12. 过B作BCl,过结AC ,设AB=l, ,若求AB与成角,则需过A作l的垂线AD,连结BD,即为所求,中,AD的范围是. 的取值范围是 AB与所成角的取值范围是.(三)解答题13. 解: (1)当时, 即k1,方程有两实根., k=-1.(2)当时,k1, 方程有两共轭虚根. . , k=3.实数k的值为-1,3.14. 解: (1)当p1, p
15、q0, . (2)当p1. 0qp1.(1)当时.原不等式等价于. 解得 .(2)当x1时,原不等式等价于 解得: 或.原不等式解集为16. 解: (1). 设曲线上点C. 当y=0时, x=0|BA|有最小值, 即B(0,0). .(2)设B(x,y),则y2=2x, (x0)当a1时,x=a-1,若,a=13. A(13,0).当a0,则x0 (i)当0p5时, x=0, .无解.曲线C的方程为.17.解 . 又 , . 若,则, . , 由. =.18. 解如图:(1)若AC和BD在平面M的同侧时,作于E,连结BE,由三垂线逆定理得, 在Rt中,BD=b, , .在Rt中,.作DFAC于F,.(2)若AC和BD在平面M异侧时,构造Rt .高考资源网w。w-w*k&s%5￥u高考资源网w。w-w*k&s%5￥u