1、19.3 矩形、菱形、正方形19.3.3正方形第19章 四边形课程讲授新知导入随堂练习课堂小结知识要点1.正方形的性质2.正方形的判定新知导入想一想：问题2 菱形的性质有哪些？两组对边平行，四条边都相等.两组对角相等，邻角互补.互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角.边：角：对角线：问题1 矩形的性质有哪些？对边平行且相等.四个角都是直角.对角线互相平分且相等.边：角：对角线：新知导入想一想：1.矩形经过怎样的变化就成为了正方形呢？矩形正方形邻边相等新知导入想一想：2.菱形经过怎样的变化就成为了正方形呢？菱形有一个角是直角正方形定义：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形是正方形.课
2、程讲授1正方形的性质探究：猜想：正方形的四条边都相等，四个角都是直角，对角线相等且互相垂直平分.正方形既能由矩形变换得到又能由菱形变换得到，那么正方形具有哪些性质？ABCD课程讲授1正方形的性质下面我们对上述猜想进行证明如图,四边形ABCD是正方形.求证：正方形ABCD四边相等,四个角都是直角.ABCD证明：四边形ABCD是正方形.A=90,AB=AC（正方形的定义）.又正方形是平行四边形.正方形是矩形（矩形的定义）,正方形是菱形(菱形的定义).A=B=C=D=90,AB=BC=CD=AD.课程讲授1正方形的性质下面我们对上述猜想进行证明如图,四边形ABCD是正方形.对角线AC，BD相交于点O
3、.求证：AO=BO=CO=DO,ACBD.ABCDO证明：正方形ABCD是矩形,AO=BO=CO=DO.正方形ABCD是菱形.ACBD.课程讲授归纳：正方形的四条边都相等，四个角都是直角，对角线相等且互相垂直平分数学表达式：在正方形ABCD中，A=B=C=D=90，AB=BC=CD=AD.AO=BO=CO=DO，ACBD.1正方形的性质ABCD课程讲授练一练：1正方形的性质如图，在正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DGAE于G，DG交AO于F.求证：EFAB.课程讲授练一练：1正方形的性质四边形ABCD是正方形，AOEDOF90，AODO，OBA45.又DGAE，EAOAE
4、OEDGGED90.AEOGED，EAOEDGFDO.AEODFO(ASA)OEOF，OEF45，OEFOBA，EFAB.证明：课程讲授2正方形的判定想一想：有一个角是直角的平行四边形有三个角是直角的四边形对角线相等的平行四边形有一组邻边相等的平行四边形四条边都相等的四边形对角线互相垂直的平行四边形菱形的判别方法：矩形的判别方法：课程讲授2正方形的判定正方形矩形有一组邻边相等菱形有一个角是直角有一组邻边相等有一个角是直角平行四边形有一个角是直角有一组邻边相等课程讲授2正方形的判定从对角线方面如何判定一个四边形是正方形呢？猜想：对角线互相垂直的矩形是正方形.对角线相等的菱形是正方形.想一想：课程
5、讲授2正方形的判定探究：如图,在矩形ABCD中,AC,DB是它的两条对角线,ACDB.求证：四边形ABCD是正方形.证明：四边形ABCD是矩形,AO=CO=BO=DO，ADC=90.ACDB,AD=AB=BC=CD,四边形ABCD是正方形.对角线互相垂直的矩形是正方形.ABCDO课程讲授2正方形的判定探究：如图,在菱形ABCD中,AC,DB是它的两条对角线,AC=DB.求证：四边形ABCD是正方形.证明：四边形ABCD是菱形,AB=BC=CD=AD,ACDB.AC=DB,AO=BO=CO=DO,AOD,AOB,COD,BOC是等腰直角三角形，DAB=ABC=BCD=ADC=90,四边形ABCD
6、是正方形.对角线相等的菱形是正方形.ABCDO2正方形的判定课程讲授例在正方形ABCD中，点E、F、M、N分别在各边上，且AE=BF=CM=DN求证：四边形EFMN是正方形.证明：四边形ABCD是正方形，AB=BC=CD=DA，AE=BF=CM=DN，AN=BE=CF=DM.A=B=C=D=90.AENBFECMFDNM,EN=FE=MF=NM，2正方形的判定课程讲授四边形EFMN是菱形，又ANE=BEF,NEF=180（AEN+BEF）=180（AEN+ANE）=18090=90.四边形EFMN是正方形.2正方形的判定课程讲授练一练：如图，在ABC中，ACB90，CD平分ACB，DEBC，D
7、FAC，垂足分别为E，F.求证：四边形CFDE是正方形2正方形的判定课程讲授练一练：证法一：DEBC，ACBC，DECF.同理DFCE，四边形CFDE是平行四边形CD平分ACB，DEBC，DFAC，DEDF，CFDE是菱形ACB90，菱形CFDE是正方形证法二：ECFCFDCED90，四边形CFDE是矩形CD平分ACB，DEBC，DFAC，DEDF，矩形CFDE是正方形2正方形的判定课程讲授归纳：证明条件中含对角线的四边形是正方形的方法：(1)证：“四边形对角线互相垂直、平分且相等”；(2)证：“平行四边形对角线互相垂直且相等”；(3)证：“矩形对角线互相垂直”；(4)证：“菱形对角线相等”随
8、堂练习1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是(）A四个角都相等B四条边相等C对角线相等D对角线互相平分B随堂练习2.(中考日照)小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：ABBC；ABC90；ACBD；ACBD中选两个作为补充条件，使ABCD为正方形(如图)，现有下列四种选法，你认为其中错误的是()ABCDB随堂练习3.(中考龙东)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，不添加任何辅助线，请添加一个条件_，使四边形ABCD是正方形BAD90(答案不唯一)随堂练习4.如图，已知在ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD的延长线上的点，且EAEC.(1)求证：四
9、边形ABCD是菱形；(2)若DACEADAED，求证：四边形ABCD是正方形随堂练习(1)四边形ABCD是平行四边形，AOCO，EAEC，EOAC，即BDAC，四边形ABCD是菱形(2)ADOEADAED，DACEADAED，ADODAC，AODO，四边形ABCD是菱形，AC2AO，BD2DO，ACBD，四边形ABCD是正方形.证明：课堂小结正方形的性质定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形.四个角都是直角，四条边都相等两条对角线相等且互相垂直平分，课堂小结5种识别方法三个角是直角四条边相等一个角是直角或对角线相等一组邻边相等或对角线垂直一组邻边相等或对角线垂直一个角是直角或对角线相等一个角是直角且一组邻边相等四边形平行四边形矩形菱形正方形