1、2016-2017学年重庆市万州二中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1直线的倾斜角为（）ABCD2“1m2”是“方程+=1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3设l，m，n是三条不同的直线，是三个不同的平面，则下列判断正确的是（）A若lm，mn，则lnB若，则C若m，则mD若m，m，则4三棱锥SABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB的长为（）ABCD5下列推断错误的个数是（）命题“若x23x+2=0，则x=1”的
2、逆否命题为“若x1，则x23x+20”命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：若“x2=1，则x1”“x1”是“x23x+20”的充分不必要条件若pq为假命题，则p，q均为假命题A1B2C3D46若“x，2，使得2x2x+10成立”是假命题，则实数的取值范围为（）A（，2B2，3C2，3D=37若圆C：x2+y2xy12=0上有四个不同的点到直线l：xy+c=0的距离为2，则c的取值范围是（）A2，2B2，2C（2，2）D（2，2）8如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）ABC4+2D4+9已知F1、F2为双曲线C：x2y2=2的左、右焦点，点
3、P在C上，|PF1|=2|PF2|，则cosF1PF2=（）ABCD10已知半径为5的球O被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦为4，若其中的一圆的半径为4，则另一圆的半径为（）ABCD11已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（）AB3CD212双曲线的右焦点为M，左顶点为A，以F是为圆心过点A的圆交双曲线的一条渐近线于P，Q两点，若|PQ|不小于双曲线的虚轴长，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A（1，2BC（1，3DR二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=
4、1的右焦点重合，则p的值为14如图所示，一个三棱锥的三视图是三个直角三角形（单位：cm），则该三棱锥的外接球的表面积为15已知空间四点A（0，3，5），B（2，3，1），C（4，1，5），D（x，5，9）共面，则x=16抛物线y2=2px（p0）的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线上的两个动点，且满足，设线段AB的中点M在l上的投影为N，则的最大值是三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17在平面直角坐标系xOy中，设命题p：椭圆C： +=1的焦点在x轴上：命题q：直线l：xy+m=0与圆O：x2+y2=9有公共点若命题p、命题q中有且只有一个为真命题
5、，求实数m的取值范围18已知圆C经过A（3，2）、B（1，6），且圆心在直线y=2x上（）求圆C的方程（）若直线l经过点P（1，3）与圆C相切，求直线l的方程19如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，ABC=，OA底面ABCD，OA=2，M为OA的中点，N为BC的中点（）证明：直线MN平面OCD；（）求异面直线AB与MD所成角的大小；（）求点B到平面OCD的距离20已知抛物线C：y2=2px（p0）的焦点F，抛物线上一点P点横坐标为2，|PF|=3（1）求抛物线的方程；（2）过F且倾斜角为30的直线交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点，求OAB的面积21如图，在四棱锥PAB
6、CD中，四边形ABCD是直角梯形，ABAD，ABCD，PC底面ABCD，AB=2AD=2CD=4，PC=2a，E是PB的中点（）求证：平面EAC平面PBC；（）若二面角PACE的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值22已知F1、F2是椭圆+=1的左、右焦点，O为坐标原点，点P（1，）在椭圆上，线段PF2与y轴的交点M满足+=；（1）求椭圆的标准方程；（2）O是以F1F2为直径的圆，一直线l：y=kx+m与O相切，并与椭圆交于不同的两点A、B当=且满足时，求AOB面积S的取值范围2016-2017学年重庆市万州二中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12
7、个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1直线的倾斜角为（）ABCD【考点】直线的倾斜角【分析】由直线的方程可得斜率等于，设直线的倾斜角为，则tan=，0，由此解得 的值【解答】解：直线的斜率等于，设直线的倾斜角为，则tan=，0，解得 =，故选D2“1m2”是“方程+=1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据椭圆的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：若方程+=1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，则，即，解得1m2，
8、即“1m2”是“方程+=1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆”的充要条件，故选：C3设l，m，n是三条不同的直线，是三个不同的平面，则下列判断正确的是（）A若lm，mn，则lnB若，则C若m，则mD若m，m，则【考点】平面与平面之间的位置关系【分析】利用线面平行、垂直的判定定理与性质定理判断即可【解答】解：对于A，垂直于同一直线的两条直线平行、相交或异面，故A不正确；对于B，垂直于同一平面的两条平面平行或相交，故B不正确对于C，设=a，在平面内作直线ba，则b，m，mb，若m，则m，若m，也成立，m或m故C不正确；对于D，若m，m，则存在l，使lm，l，则，故D正确，故选：D4三棱锥SABC及其三
9、视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB的长为（）ABCD【考点】简单空间图形的三视图【分析】根据三视图得SC平面ABC，且底面ABC为等腰三角形，根据图中数据与勾股定理求出SB的值【解答】解：由已知中的三视图可得SC平面ABC，且底面ABC为等腰三角形，在ABC中，AC=4，AC边上的高为，所以BC=4；在RtSBC中，由SC=4，可得SB=故选：C5下列推断错误的个数是（）命题“若x23x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x1，则x23x+20”命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：若“x2=1，则x1”“x1”是“x23x+20”的充分不必要条件若pq为假命题，则p，q均为假命题A1
10、B2C3D4【考点】命题的真假判断与应用【分析】，根据命题与其逆否命题的关系判定；，命题“的否命题，同时否定条件、结论”，“x1”时“x23x+20”成立，“x23x+20”时“x2，或x1“；，若pq为假命题，则p，q至少有一个为假命题【解答】解：对于，命题“若x23x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x1，则x23x+20”正确；对于，命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：若“x21，则x1”，故错对于，“x1”时“x23x+20”成立，“x23x+20”时“x2，或x1“，故正确；对于，若pq为假命题，则p，q至少有一个为假命题，故错故选：B6若“x，2，使得2x2x+10成立”是假
11、命题，则实数的取值范围为（）A（，2B2，3C2，3D=3【考点】命题的真假判断与应用；函数恒成立问题【分析】若“x，2，使得2x2x+10成立”是假命题，即“x，2，使得2x+成立”是假命题，结合对勾函数的图象和性质，求出x，2时，2x+的最值，可得实数的取值范围【解答】解：若“x，2，使得2x2x+10成立”是假命题，即“x，2，使得2x+成立”是假命题，由x，2，当x=时，函数取最小值2，故实数的取值范围为（，2，故选：A7若圆C：x2+y2xy12=0上有四个不同的点到直线l：xy+c=0的距离为2，则c的取值范围是（）A2，2B2，2C（2，2）D（2，2）【考点】直线与圆的位置关系
12、【分析】配方可得圆的半径r=4，由于圆上有四个不同的点到直线l：xy+c=0的距离为2，可得：圆心到直线l的距离d=2，解出即可得出【解答】解：圆C：x2+y2xy12=0，配方为： =16，圆上有四个不同的点到直线l：xy+c=0的距离为2，圆心到直线l的距离d=2，解得c，故选：D8如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）ABC4+2D4+【考点】由三视图求面积、体积【分析】几何体是三棱柱与半圆柱的组合体，根据三视图判断三棱柱的高及底面为等腰直角三角形的相关几何量的数据，判断半圆柱的高及底面半径，把数据代入棱锥与圆柱的体积公式计算可得【解答】
13、解：由三视图知：几何体是三棱柱与半圆柱的组合体，且三棱柱与半圆柱的高都是2，三棱柱的一侧面为圆柱的轴截面，三棱柱的底面为等腰直角三角形，且腰长为2，半圆柱的底面半径为1，几何体的体积V=222+122=4+故选：D9已知F1、F2为双曲线C：x2y2=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=2|PF2|，则cosF1PF2=（）ABCD【考点】双曲线的简单性质【分析】根据双曲线的定义，结合|PF1|=2|PF2|，利用余弦定理，即可求cosF1PF2的值【解答】解：将双曲线方程x2y2=2化为标准方程=1，则a=，b=，c=2，设|PF1|=2|PF2|=2m，则根据双曲线的定义，|PF1|P
14、F2|=2a可得m=2，|PF1|=4，|PF2|=2，|F1F2|=2c=4，cosF1PF2=故选C10已知半径为5的球O被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦为4，若其中的一圆的半径为4，则另一圆的半径为（）ABCD【考点】球内接多面体【分析】可以从三个圆心上找关系，构建矩形利用对角线相等即可求解出答案【解答】解：设两圆的圆心分别为O1、O2，球心为O，公共弦为AB，其中点为E，则OO1EO2为矩形，于是对角线O1O2=OE=，圆O1的半径为4，O1E=2O2E=3圆O2的半径为故选D11已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=
15、4，则|QF|=（）AB3CD2【考点】抛物线的简单性质【分析】求得直线PF的方程，与y2=8x联立可得x=1，利用|QF|=d可求【解答】解：设Q到l的距离为d，则|QF|=d，=4，|PQ|=3d，不妨设直线PF的斜率为=2，F（2，0），直线PF的方程为y=2（x2），与y2=8x联立可得x=1，|QF|=d=1+2=3，故选：B12双曲线的右焦点为M，左顶点为A，以F是为圆心过点A的圆交双曲线的一条渐近线于P，Q两点，若|PQ|不小于双曲线的虚轴长，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A（1，2BC（1，3DR【考点】双曲线的简单性质【分析】根据题意写出圆的标准方程，求出圆心到渐近线的距
16、离，运用弦长公式求得弦长PQ，再由题意|PQ|不小于2b，结合a，b，c的关系和离心率公式即可求出离心率的取值范围【解答】解：双曲线的右焦点为F（c，0），左顶点A（a，0），圆F：（xc）2+y2=（a+c）2，则双曲线的一条渐近线方程为y=x，圆心F（c0）到渐近线bxay=0的距离为d=b，则|PQ|=22b，即有（a+c）22b2=2（c2a2），即为c22ac3a20，由离心率e=，得e22e30，解得1e3；又e1，所以1e3故选：C二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则p的值为4【考点】椭圆的简单性质【分析
17、】由椭圆+=1，可得a2=6，b2=2，可得c=，可得右焦点F（c，0）由抛物线y2=2px可得焦点利用=c即可得出【解答】解：由椭圆+=1，可得a2=6，b2=2，c=2，右焦点F（2，0）由抛物线y2=2px可得焦点=2，解得p=4故答案为：414如图所示，一个三棱锥的三视图是三个直角三角形（单位：cm），则该三棱锥的外接球的表面积为29cm2【考点】由三视图求面积、体积【分析】几何体复原为底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥，扩展为长方体，长方体的对角线的长，就是外接球的直径，然后求其的表面积【解答】解：由三视图复原几何体，几何体是底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点
18、的三棱锥；把它扩展为长方体，两者有相同的外接球，它的对角线的长为球的直径，即 =2R，R=该三棱锥的外接球的表面积为：该三棱锥的外接球的表面积为：4（）2=29故答案为：29cm215已知空间四点A（0，3，5），B（2，3，1），C（4，1，5），D（x，5，9）共面，则x=6【考点】共线向量与共面向量【分析】由于四点A，B，C，D共面，可得存在实数，使得，解出即可【解答】解：A（0，3，5），B（2，3，1），C（4，1，5），D（x，5，9），=（2，0，4），=（4，2，0），=（x，2，4），四点A，B，C，D共面，存在实数，使得， =+，（x，2，4）=（2，0，4）+（4，2，0
19、），解得x=6，故答案为：616抛物线y2=2px（p0）的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线上的两个动点，且满足，设线段AB的中点M在l上的投影为N，则的最大值是1【考点】直线与抛物线的位置关系【分析】设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF由抛物线定义得2|MN|=a+b，由余弦定理可得|AB|2=（a+b）23ab，进而根据基本不等式，求得|AB|的取值范围，从而得到本题答案【解答】解：设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF，由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|，在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b由余弦定理得，|AB|2=a2+b22ab
20、cos60=a2+b2ab，配方得，|AB|2=（a+b）23ab，又ab，（a+b）23ab（a+b）2（a+b）2=（a+b）2得到|AB|（a+b）1，即的最大值为1故答案为：1三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17在平面直角坐标系xOy中，设命题p：椭圆C： +=1的焦点在x轴上：命题q：直线l：xy+m=0与圆O：x2+y2=9有公共点若命题p、命题q中有且只有一个为真命题，求实数m的取值范围【考点】命题的真假判断与应用【分析】求出命题p、p为真时m的取值范围，再根据命题p、q中有且只有一个为真命题，分p真q假和p假q真时两种情况，求出实
21、数m的取值范围【解答】解：命题p：椭圆C： +=1的焦点在x轴上：p为真时：m8m0，解得4m8；命题q：直线l：xy+m=0与圆O：x2+y2=9有公共点；q为真时：圆心O到直线l的距离：，解得；因为命题p、q中有且只有一个为真命题，若p真q假，则：，解得：；若p假q真，则：，解得：；综上，实数m的取值范围是或18已知圆C经过A（3，2）、B（1，6），且圆心在直线y=2x上（）求圆C的方程（）若直线l经过点P（1，3）与圆C相切，求直线l的方程【考点】直线与圆的位置关系【分析】（）根据已知设出圆的标准方程，将点A，B的坐标代入标准方程，解方程组即可求出圆心及半径，从而得到圆C的方程（）根据
22、已知设出直线方程，利用直线与圆相切的性质d=r即可求出直线斜率k，从而求出直线方程【解答】解：（）圆心在直线y=2x上，故可设圆心C（a，2a），半径为r则圆C的标准方程为（xa）2+（y2a）2=r2圆C经过A（3，2）、B（1，6），解得a=2，r=圆C的标准方程为（x2）2+（y4）2=5（）由（）知，圆C的圆心为C（2，4），半径r=直线l经过点P（1，3），若直线斜率不存在，则直线l：x=1圆心C（2，4）到直线l的距离为d=3r=，故直线与圆相交，不符合题意若直线斜率存在，设斜率为k，则直线l：y3=k（x+1），即kxy+k+3=0圆心C（2，4）到直线l的距离为d=直线与圆相切
23、，d=r，即=（3k1）2=5+5k2，解得k=2或k=直线l的方程为2xy+5=0或x+2y5=019如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，ABC=，OA底面ABCD，OA=2，M为OA的中点，N为BC的中点（）证明：直线MN平面OCD；（）求异面直线AB与MD所成角的大小；（）求点B到平面OCD的距离【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离；用向量证明平行【分析】方法一：（1）取OB中点E，连接ME，NE，证明平面MNE平面OCD，方法是两个平面内相交直线互相平行得到，从而的到MN平面OCD；（2）CDAB，MDC为异面直线AB与MD所成的角（或其补角）作APCD于P，连
24、接MPOA平面ABCD，CDMP菱形的对角相等得到ABC=ADC=，利用菱形边长等于1得到DP=，而MD利用勾股定理求得等于，在直角三角形中，利用三角函数定义求出即可（3）AB平面OCD，点A和点B到平面OCD的距离相等，连接OP，过点A作AQOP于点Q，APCD，OACD，CD平面OAP，AQCD，又AQOP，AQ平面OCD，线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离，求出距离可得方法二：（1）分别以AB，AP，AO所在直线为x，y，z轴建立坐标系，分别表示出A，B，O，M，N的坐标，求出，的坐标表示设平面OCD的法向量为=（x，y，z），则，解得，MN平面OCD（2）设AB与MD所成的角为，表
25、示出和，利用ab=|a|b|cos求出叫即可（3）设点B到平面OCD的距离为d，则d为在向量上的投影的绝对值，由，得所以点B到平面OCD的距离为【解答】解：方法一（综合法）（1）取OB中点E，连接ME，NEMEAB，ABCD，MECD又NEOC，平面MNE平面OCDMN平面OCD（2）CDAB，MDC为异面直线AB与MD所成的角（或其补角）作APCD于P，连接MPOA平面ABCD，CDMP，所以AB与MD所成角的大小为（3）AB平面OCD，点A和点B到平面OCD的距离相等，连接OP，过点A作AQOP于点Q，APCD，OACD，CD平面OAP，AQCD又AQOP，AQ平面OCD，线段AQ的长就是
26、点A到平面OCD的距离，所以点B到平面OCD的距离为方法二（向量法）作APCD于点P，如图，分别以AB，AP，AO所在直线为x，y，z轴建立坐标系：A（0，0，0），B（1，0，0），O（0，0，2），M（0，0，1），（1），设平面OCD的法向量为n=（x，y，z），则=0， =0即取，解得=（，1）（0，4，）=0，MN平面OCD（2）设AB与MD所成的角为，AB与MD所成角的大小为（3）设点B到平面OCD的距离为d，则d为在向量=（0，4，）上的投影的绝对值，由，得d=所以点B到平面OCD的距离为20已知抛物线C：y2=2px（p0）的焦点F，抛物线上一点P点横坐标为2，|PF|=3（1
27、）求抛物线的方程；（2）过F且倾斜角为30的直线交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点，求OAB的面积【考点】抛物线的简单性质【分析】（1）先求抛物线y2=2px（p0）的准线方程，根据抛物线的定义，将抛物线y2=2px（p0）上横坐标为2的点到焦点的距离等于3，转化为点到准线的距离为3，即可求得结论（2）由抛物线方程求出焦点坐标，由直线的倾斜角求出斜率，写出过A，B两点的直线方程，和抛物线方程联立后化为关于y的一元二次方程，由根与系数关系得到A，B两点纵坐标的和与积，把OAB的面积表示为两个小三角形AOF与BOF的面积和得答案【解答】解：（1）由抛物线定义可知，|PF|=2+=3，p=2，抛物
28、线方程为y2=4x（2）由y2=34，得F（1，0）过A，B的直线方程为y=（x1），联立得y24y4=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=4，y1y2=4SOAB=SOAF+SOFB=|y1y2|=421如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是直角梯形，ABAD，ABCD，PC底面ABCD，AB=2AD=2CD=4，PC=2a，E是PB的中点（）求证：平面EAC平面PBC；（）若二面角PACE的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角【分析】（）证明ACPCACBC通过直线与平面垂直的判定定
29、理以及平面与平面垂直的判定定理证明平面EAC平面PBC（）如图，以点C为原点，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标以及面PAC的法向量面EAC的法向量，通过二面角PACE的余弦值为，求出直线PA的向量，利用向量的数量积求解直线PA与平面EAC所成角的正弦值即可【解答】解：（）PC平面ABCD，AC平面ABCD，ACPCAB=4，AD=CD=2，AC=BC=2AC2+BC2=AB2，ACBC又BCPC=C，AC平面PBCAC平面EAC，平面EAC平面PBC（）如图，以点C为原点，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（2，2，0），
30、B（2，2，0）设P（0，0，2a）（a0），则E（1，1，a），=（2，2，0），=（0，0，2a），=（1，1，a）取=（1，1，0），则=0，为面PAC的法向量设=（x，y，z）为面EAC的法向量，则=0，即，取x=a，y=a，z=2，则=（a，a，2），依题意，|cos，|=，则a=2 于是n=（2，2，2），=（2，2，4）设直线PA与平面EAC所成角为，则sin=|cos，|=，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为22已知F1、F2是椭圆+=1的左、右焦点，O为坐标原点，点P（1，）在椭圆上，线段PF2与y轴的交点M满足+=；（1）求椭圆的标准方程；（2）O是以F1F2为直径的圆
31、，一直线l：y=kx+m与O相切，并与椭圆交于不同的两点A、B当=且满足时，求AOB面积S的取值范围【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（）由已知条件推导出，由此能求出椭圆的标准方程（）由圆O与直线l相切，和m2=k2+1，由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m22=0，由此能求出AOB面积S的取值范围【解答】解：（）+=，点M是线段PF2的中点，OM是PF1F2的中位线，又OMF1F2PF1F1F2，解得a2=2，b2=1，c2=1，椭圆的标准方程为=1（）圆O与直线l相切，即m2=k2+1，由，消去y：（1+2k2）x2+4kmx+2m22=0，直线l与椭圆交于两个不同点，0，k20，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=，=x1x2+y1y2=，解得：，S=SAOB=，设=k4+k2，则，S=，S关于在上单调递增，S（）=，S（2）=2017年3月17日