1、2011年高考试题数学（理科）不等式一、选择题:1. (2011年高考山东卷理科4)不等式的解集为（A）-5.7 （B）-4,6 （C） （D）【答案】D【解析】由不等式的几何意义知，式子表示数轴的点与点（5）的距离和与点（-3）的距离之和，其距离之和的最小值为8，结合数轴，选项D正确2. (2011年高考辽宁卷理科9)设函数，则满足的x的取值范围是（A），2 （B）0，2 （C）1，+） （D）0，+）答案：D3. (2011年高考辽宁卷理科11)函数的定义域为，对任意，则的解集为（A）（，1） （B）（，+） （C）（，）（D）（，+）答案：B4.(2011年高考浙江卷理科5)设实数满足不
2、等式组若为整数，则的最小值是（A）14 （B）16 （C）17 （D）19【答案】 B所以 即于是所以成立，充分条件； 反之成立，即则故，不必要条件。故选A6.(2011年高考安徽卷理科4)设变量满足则的最大值和最小值分别为（），（）， （）， （），来源:Z|xx|k.Com【答案】B【命题意图】本题考查线性规划问题.属容易题.【解析】不等式对应的区域如图所示，当目标函数过点（0，1），（0,1）时，分别取最小或最大值，所以的最大值和最小值分别为2，2.故选B.7. (2011年高考天津卷理科2)设则“且”是“”的 A. 充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D即不充分也不必要
3、条件【答案】A【解析】当时，一定有；反过来当，不一定有，例如也可以，故选Aoxyy=log2xy=log3xy=log4x8.(2011年高考天津卷理科7)已知则AB CD【答案】C【解析】令，在同一坐标系下作出三个函数的图象，由图象可得 ，9. (2011年高考天津卷理科8)对实数与，定义新运算“”： 设函数若函数的图像与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是（ ）A B C D.【答案】B【解析】 则的图象如图-1-2oxy的图象与轴恰有两个公共点，与的图象恰有两个公共点，由图象知，或.10. (2011年高考江西卷理科2)若集合,则= ( ) A. B. C. D. 答案：B 解析：11.
4、 (2011年高考江西卷理科3)若，则的定义域为 A. B. C. D.【答案】A【解析】要使原函数有意义,只须,即,解得,故选A.12. (2011年高考江西卷理科4)若，则的解集为 A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为,原函数的定义域为,所以由可得,解得,故选C.13. (2011年高考湖南卷理科7)设在约束条件下，目标函数的最大值小于2，则的取值范围为 A. B. C. D. 答案：A解析：画出可行域，或分别解方程组，得到三个区域端点，当且仅当直线过点时，取到最大值,解得。故选A评析：本小题主要考查线性规划问题中，利用最值求参数的取值范围问题.14. (2011年高考广东卷理科
5、5)已知平面直角坐标系上的区域D由不等式组给定.若M(x，y)为D上动点，点A的坐标为(，1)则的最大值为（ ）A. B. C.4 D.3【解析】C.由题得不等式组对应的平面区域D是如图所示的直角梯形OABC,，所以就是求的最大值，表示数形结合观察得当点M在点B的地方时，才最大。,所以，所以选择C 15(2011年高考湖北卷理科8)已知向量，且，若满足不等式，则z的取值范围为A.2,2B. 2,3C. 3,2D. 3,3答案：D解析：因为，故，即，可得，又因为，其图像为四条直线所围成的正方形面，由线性规划可计算得当时，取到，当，取到，所以选D.16(2011年高考湖北卷理科9)若实数满足，且，
6、则称与互补，记那么是与b互补的A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：C 解析：由，即，故，则，化简得，即ab=0，故且，则且，故选C.17.(2011年高考重庆卷理科2) “”是“”的（A）充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C) 充要条件 (D)既不充分也不必要条件解析：选A. ，故“”是“”的充分而不必要条件 18.(2011年高考重庆卷理科7)已知a0，b0，a+b=2，则的最小值是（A） （B）4（C） （D）5 解析：选C。因为a+b=2，所以19.(2011年高考重庆卷理科10)（10）设m，k为整数，方程在区间（0,1）内有两个
7、不同的根，则m+k的最小值为（A）-8 （B）8 （C）12 （D）13解析：选D. 设，则方程在区间（0,1）内有两个不同的根等价于，因为，所以，故抛物线开口向上，于是，令，则由，得，则，所以m至少为2，但，故k至少为5，又，所以m至少为3，又由，所以m至少为4，依次类推，发现当时，首次满足所有条件，故的最小值为1320. (2011年高考四川卷理科9)某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车.某天需运往地至少72吨的货物，派用的每辆车虚满载且只运送一次.拍用的每吨甲型卡车虚配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车虚配1
8、名工人，运送一次可得利润350元.该公司合理计划党团派用两类卡车的车辆数，可得最大利润( )（A）4650元 （B）4700元 （C）4900元 （D）5000元答案：C解析：由题意设派甲，乙辆，则利润，得约束条件画出可行域在的点代入目标函数21. (2011年高考全国卷理科3)下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是（A） （B） （C） （D）【思路点拨】本题要把充要条件的概念搞清，注意寻找的是通过选项能推出ab，而由ab推不出选项的选项.【精讲精析】选A.即寻找命题P使P推不出P，逐项验证可选A。22(2011年高考北京卷理科6)根据统计，一名工作组装第x件某产品所用的时间（单位：分
9、钟）为 （A，C为常数）。已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么C和A的值分别是A75，25 B75，16 C60，25 D60，16【答案】D23(2011年高考北京卷理科8)设,， ,.记为平行四边形ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数的值域为A BC D【答案】C24(2011年高考福建卷理科8)已知O是坐标原点，点A（-1,1）若点M（x,y）为平面区域，上的一个动点，则的取值范围是A-10 B01 C02 D-12【答案】C25(2011年高考上海卷理科15)若，且，则下列不等式中，恒成立的是（ ）A B C
10、D【答案】D二、填空题:1.(2011年高考浙江卷理科16)设为实数，若则的最大值是 .。【答案】【解析】，o第13题图 ，故的最大值为2. (2011年高考全国新课标卷理科13)若变量满足约束条件则的最小值为 。答案: -6 解析：如图可知最优解是（4，-5），所以，点评：本题考查线性规划问题，求最优解事先要准确画出线性区域是关键。3(2011年高考天津卷理科13)已知集合，则集合=_【答案】【解析】因为,所以,所以;由绝对值的几何意义可得:,所以=.4. (2011年高考湖南卷理科10)设，且，则的最小值为 .答案：9解析：由，且可知：，则（当且仅当时，取到等号）。故填9评析：本小题主要考
11、查不等式的性质和基本不等式求最值问题.5. (2011年高考广东卷理科9)不等式的解集是_.【解析】。由题得 所以不等式的解集为。6.(2011年高考安徽卷江苏8)在平面直角坐标系中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是_【答案】4【解析】设坐标原点的直线方程为,则由解得交点坐标为、，即为P、Q两点，所以线段PQ长为，当且仅当时等号成立，故线段PQ长的最小值是4.7(2011年高考上海卷理科4)不等式的解为 。【答案】或三、解答题:1.(2011年高考安徽卷理科19)（本小题满分12分）（）设证明，（），证明.【命题意图】本题考查不等式的基本性质，对数函数的性
12、质和对数换底公式等基本知识，考查代数的恒等变形能力和推理论证能力.【解析】（）1，1，=0，.（）设=，=，则=，=，=，=，所要证明不等式即为，1，1，由（）知所证明的不等式成立.【解题指导】：证明不等式常规的方法有分析法，综合法，作差法和作商法，无论哪种方法不等式性质和代数式恒定变形是处理这类问题的关键。第二问的处理很有艺术性，借助第一问题的结论巧妙地解决了，这也是一题多问的问题解决常规思路，前面的问题结论对后面问题解决常常有提示作用。2(2011年高考广东卷理科21)（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy上，给定抛物线L:实数p，q满足，x1，x2是方程的两根，记。（1）过点作L的切
13、线教y轴于点B证明：对线段AB上任一点Q（p，q）有（2）设M（a，b）是定点，其中a，b满足a2-4b0,a0过M（a，b）作L的两条切线，切点分别为，与y轴分别交与F,F。线段EF上异于两端点的点集记为X证明：M（a,b） X;（3）设D= （x,y）|yx-1,y（x+1）2-当点（p,q）取遍D时，求的最小值 （记为）和最大值（记为）【解析】解：（1）证明：切线的方程为当当 （2）的方程分别为求得的坐标，由于，故有1）先证：（）设当当（）设当注意到2）次证： （）已知利用（1）有 （）设，断言必有若不然，令Y是上线段上异于两端点的点的集合，由已证的等价式1）再由（1）得，矛盾。故必有再
14、由等价式1），综上， （3）求得的交点而是的切点为的切线，且与轴交于，由（）线段Q1Q2，有当在（0，2）上，令由于在0，2上取得最大值故,故3. (2011年高考湖北卷理科17)（本小题满分12分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米,/小时，研究表明：当时，车流速度v是车流密度的一次函数.()当时，求函数的表达式；()当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车
15、辆数，单位：辆/小时）可以达到最大，并求出最大值.（精确到1辆/小时）本题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力.解析：（）由题意：当时，；当时，设，显然在是减函数，由已知得，解得故函数的表达式为=（）依题意并由（）可得当时，为增函数，故当时，其最大值为；当时，当且仅当，即时，等号成立所以，当时，在区间上取得最大值综上，当时，在区间上取得最大值，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时4. (2011年高考湖北卷理科21)（本小题满分14分）()已知函数，求函数的最大值；()设均为正数，证明：（1）若，则；（2）若，则本题主要
16、考查函数、导数、不等式的证明等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力，以及化归与转化的思想. 解析：（）的定义域为，令，解得，当时，在（0，1）内是增函数；当时，在内是减函数；故函数在处取得最大值（）（1）由（）知，当时，有，即，从而有，得，求和得,即.（2）先证.令，则,于是由（1）得，即.再证.记，令，则，于是由（1）得.即，综合，（2）得证.5.(2011年高考全国卷理科22)（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）（）设函数，证明：当时，；（）从编号1到100的100张卡片中每次随即抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为.证明：【思路点拨】本题第（I）问是利用导数研究单调性最值的常规题，不难证明。第(II)问证明如何利用第（I）问结论是解决这个问题的关键也是解题能力高低的体现。【精讲精析】(I)所以在上单增。当时，。（II）由(I)，当x0时，,即有故于是,即.利用推广的均值不等式：另解：，所以是上凸函数，于是因此，故综上：