1、第三节圆的方程A组基础题组1.以M(1,0)为圆心,且与直线x-y+3=0相切的圆的方程是() A.(x-1)2+y2=8B.(x+1)2+y2=8C.(x-1)2+y2=16D.(x+1)2+y2=16答案A因为所求圆与直线x-y+3=0相切,所以圆心M(1,0)到直线x-y+3=0的距离为该圆的半径r,即r=|1-0+3|2=22,所以所求圆的方程为(x-1)2+y2=8.故选A.2.圆(x-3)2+(y-1)2=5关于直线y=-x对称的圆的方程为()A.(x+3)2+(y-1)2=5B.(x-1)2+(y-3)2=5C.(x+1)2+(y+3)2=5D.(x-1)2+(y+3)2=5答案
2、C由题意知,所求圆的圆心坐标为(-1,-3),所以所求圆的方程为(x+1)2+(y+3)2=5,故选C.3.(2019四川成都模拟)若抛物线y=x2-2x-3与坐标轴的交点在同一个圆上,则该圆的方程为()A.x2+(y-1)2=4B.(x-1)2+(y-1)2=4C.(x-1)2+y2=4D.(x-1)2+(y+1)2=5答案D抛物线y=x2-2x-3关于直线x=1对称,与坐标轴的交点为A(-1,0),B(3,0),C(0,-3),设圆心坐标为M(1,b),可得|MA|2=|MC|2=r2,即4+b2=1+(b+3)2=r2,解得b=-1,r=5,所求圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=5,
3、故选D.4.若圆C与y轴相切于点P(0,1),与x轴的正半轴交于A,B两点,且|AB|=2,则圆C的标准方程是() A.(x+2)2+(y+1)2=2B.(x+1)2+(y+2)2=2C.(x-2)2+(y-1)2=2D.(x-1)2+(y-2)2=2答案C设AB的中点为D,则|AD|=|CD|=1,r=|AC|=2,C(2,1),所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=2.故选C.5.已知P(x,y)是圆x2+(y-3)2=a2(a0)上的动点,定点A(2,0),B(-2,0),PAB的面积的最大值为8,则a的值为()A.1B.2C.3D.4答案A要使PAB的面积最大,只需点P到直线AB的
4、距离最大.由于AB的方程为y=0,圆心(0,3)到直线AB的距离d=3,故P到直线AB的距离的最大值为3+a.再根据AB=4,可得PAB面积的最大值为12AB(3+a)=2(3+a)=8,所以a=1,故选A.6.已知以点P为圆心的圆经过点A(-1,0)和B(3,4),线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D,且|CD|=410.(1)求直线CD的方程;(2)求圆P的方程.解析(1)由已知得直线AB的斜率k=1,AB的中点坐标为(1,2),则直线CD的方程为y-2=-(x-1),即x+y-3=0.(2)设圆心P(a,b),则由P在CD上得a+b-3=0.又直径|CD|=410,|PA|=210,(a
5、+1)2+b2=40.由解得a=-3,b=6或a=5,b=-2,圆心为P(-3,6)或P(5,-2),圆P的方程为(x+3)2+(y-6)2=40或(x-5)2+(y+2)2=40.7.(2018课标全国,20,12分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.(1)求l的方程;(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.解析(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k0).设A(x1,y1),B(x2,y2).由y=k(x-1),y2=4x消去y,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.=16k2+160,故x1+x2=
6、2k2+4k2.所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=4k2+4k2.由题设知4k2+4k2=8,解得k=-1(舍去)或k=1.因此l的方程为y=x-1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线的方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则y0=-x0+5,(x0+1)2=(y0-x0+1)22+16.解得x0=3,y0=2或x0=11,y0=-6.因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.B组提升题组1.自圆C:(x-3)2+(y+4)2=4外一点P(x,y)
7、引该圆的一条切线,切点为Q,PQ的长度等于点P到原点O的距离,则点P的轨迹方程为()A.8x-6y-21=0B.8x+6y-21=0C.6x+8y-21=0D.6x-8y-21=0答案D由题意得,圆心C的坐标为(3,-4),半径r=2,如图.因为|PQ|=|PO|,且PQCQ,所以|PO|2+r2=|PC|2.所以x2+y2+4=(x-3)2+(y+4)2,即6x-8y-21=0,所以点P的轨迹方程为6x-8y-21=0,故选D.2.已知方程x2+y2-2x-4y+m=0.(1)若此方程表示圆,求实数m的取值范围;(2)若(1)中的圆与直线x+2y-4=0相交于M,N两点,且OMON(O为坐标
8、原点),求m的值;(3)在(2)的条件下,求以MN为直径的圆的方程.解析(1)由D2+E2-4F0得(-2)2+(-4)2-4m0,解得m0,x1+x2=m,x1x2=2m.令x=0,即y=2m,即C(0,2m).(1)若存在以AB为直径的圆过点C,则ACBC=0,即x1x2+4m2=0,即2m+4m2=0,所以m=0或m=-12.由0得m8,所以m=-12,此时C(0,-1),AB的中点M-14,0即圆心,半径r=|CM|=174,故所求圆的方程为x+142+y2=1716.(2)证明:设过A,B两点的圆的方程为x2+y2-mx+Ey+2m=0,将点C(0,2m)代入可得E=-1-2m,所以过A,B,C三点的圆的方程为x2+y2-mx-(1+2m)y+2m=0,整理得x2+y2-y-m(x+2y-2)=0.令x2+y2-y=0,x+2y-2=0,可得x=0,y=1或x=25,y=45,故过A,B,C三点的圆过定点(0,1)和25,45.