1、考点规范练52二项式定理考点规范练第69页基础巩固组1.在(x2-4)5的展开式中,含x6项的系数为()A.20B.40C.80D.160答案D解析因为Tr+1=C5r(x2)5-r(-4)r=(-4)rC5rx10-2r,令10-2r=6,解得r=2,所以含x6项的系数为(-4)2C52=160.2.已知x2-15xn的展开式中,第6项为常数项,则n=()A.9B.8C.7D.6答案D解析因为第6项为常数项,所以由Cn5x2n-5-15x5=-12n-5Cn5xn-6,可得n-6=0,即n=6.故选D.3.(2017山东青岛模拟)已知(x+1)10=a1+a2x+a3x2+a11x10.若数
2、列a1,a2,a3,ak(1k11,kN*)是一个单调递增数列,则k的最大值是()A.5B.6C.7D.8答案B解析由二项式定理知an=C10n-1(n=1,2,3,n).又(x+1)10展开式中二项式系数最大的项是第6项,所以a6=C105,则k的最大值为6.4.若x+3xn的展开式中,各项系数和与二项式系数和之比为64,则x3的系数为()A.15B.45C.135D.405答案C解析由题意得4n2n=64,n=6,Tr+1=C6rx6-r3xr=3rC6rx6-3r2,令6-3r2=3,得r=2,32C62=135.故选C.5.若x+ax2x-1x5的展开式中,各项系数的和为2,则该展开式
3、的常数项是()A.-40B.-20C.40D.20答案C解析令x=1,则(1+a)(2-1)5=2,解得a=1.所以2x-1x5的展开式的通项公式为Tr+1=C5r(2x)5-r-1xr=(-1)r25-rC5rx5-2r,令5-2r=-1,5-2r=1,解得r=3或r=2.所以该展开式的常数项为(-1)322C53+(-1)223C52=40.6.在3x-2xn的二项式中,所有项的二项式系数之和为256,则常数项等于.答案112解析2n=256,n=8.通项Tr+1=C8rx8-r3-2xr=C8r(-2)rx8-4r3,令r=2,得常数项为C82(-2)2=112.7.在x-1xn的展开式
4、中恰好第5项的二项式系数最大,则展开式中含x2项的系数是.答案-56解析因为在x-1xn的展开式中恰好第5项的二项式系数最大,所以n=8,展开式的通项公式为Tr+1=C8r(-1)rx8-2r,令8-2r=2,得r=3,所以展开式中含x2项的系数是-C83=-56.8.(2017四川成都二诊)在二项式ax2+1x5的展开式中,若常数项为-10,则a=.答案-2解析该二项式展开式的通项公式为Tr+1=C5r(ax2)5-r1xr=C5ra5-rx10-52r,令10-52r=0,得r=4,故常数项为C54a5-4=-10,所以a=-2.能力提升组9.在(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(
5、1-x)8的展开式中,含x3项的系数是()A.121B.-74C.74D.-121答案D解析由题意得含x3项的系数是-C53-C63-C73-C83=-10-20-35-56=-121.10.已知ax-1x5的展开式中各项系数的和为32,则展开式中系数最大的项为()A.270x-1B.270xC.405x3D.243x5答案B解析令x=1,(a-1)5=32,解得a=3,即3x-1x5中共有6项,其中奇数项为正数,偶数项为负数,所以比较奇数项的系数,分别为C50(3x)5=243x5,C52(3x)3-1x2=270x,C54(3x)-1x4=15x3,所以系数最大的项为270x,故选B.11
6、.设aZ,且0a13,若512 012+a能被13整除,则a=()A.0B.1C.11D.12答案D解析512 012+a=(52-1)2 012+a=C2 0120522 012-C2 0121522 011+C2 0122 01152(-1)2 011+C2 0122 012(-1)2 012+a,C2 0120522 012-C2 0121522 011+C2 0122 01152(-1)2 011能被13整除.且512 012+a能被13整除,C2 0122 012(-1)2 012+a=1+a也能被13整除.因此a可取12.12.(x2-x+1)10展开式中x3项的系数为()A.-2
7、10B.210C.30D.-30答案A解析(x2-x+1)10=(x2-x)+110的展开式的通项公式为Tr+1=C10r(x2-x)10-r,(x2-x)10-r的通项公式为Tr+1=(-1)rC10-rrx20-2r-r.令20-2r-r=3,根据0r10-r,r,rN,得r=8,r=1,或r=7,r=3,所以(x2-x+1)10展开式中x3项的系数为C108C21(-1)+C107C33(-1)=-90-120=-210.13.x+ax2x-1x5展开式中,各项系数之和为3,则展开式中的常数项为()A.-120B.-80C.80D.120答案D解析x+ax2x-1x5展开式中,各项系数之
8、和为3,当x=1时,1+a=3,a=2.x+ax2x-1x5=x+2x2x-1x5.2x-1x5展开式中x的一次项为80x,x的-1次项为-40x-1,展开式中的常数项为160-40=120.故选D.14.已知(1+x+x2)x+1x3n(nN*)的展开式中没有常数项,且2n8,则n=.答案5解析(1+x+x2)x+1x3n的展开式中没有常数项即x+1x3n中没有常数项,不含x-1,x-2项,因为x+1x3n的通项公式为Tr+1=Cnrxn-4r,所以n-4r0,n-4r-1,n-4r-2,经验证得n=5.15.若(1+2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a0+a
9、2+a4=.答案121解析令x=1,得a0+a1+a2+a3+a4+a5=35;令x=-1,得a0-a1+a2-a3+a4-a5=-1,所以a0+a2+a4=35-12=121.16.已知(1-2x)5(1+ax)4的展开式中x的系数为2,则实数a的值为.答案3解析因为(1-2x)5的展开式中的常数项为1,x的系数为C51(-2)=-10;(1+ax)4的展开式中的常数项为1,x的系数为C41a=4a,所以(1-2x)5(1+ax)4的展开式中x的系数为14a+1(-10)=2,所以a=3.17.(2017浙江绍兴调研)已知f(x)=(2x-3)n展开式的二项式系数和为512,且(2x-3)n
10、=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+an(x-1)n.(1)求a2的值;(2)求a1+a2+a3+an的值.解(1)由f(x)=(2x-3)n展开式的二项式系数和为512,可得2n=512,故n=9.因为(2x-3)9=-1+2(x-1)9=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a9(x-1)9,所以a2=C92(-1)722=-144.(2)在(2x-3)n=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+an(x-1)n中,令x=1,可得a0=-1.再令x=2,可得a0+a1+a2+a3+an=1,所以a1+a2+a3+an=2.18.已知12+2xn.(1)若其展开式中第5项、第6项与第
11、7项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大项的系数;(2)若其展开式前三项的二项式系数和等于79,求展开式中系数最大的项.解(1)通项Tr+1=Cnr12n-r(2x)r=22r-nCnrxr,由题意知Cn4,Cn5,Cn6成等差数列,所以2Cn5=Cn4+Cn6.所以n=14或n=7.当n=14时,第8项的二项式系数最大,该项的系数为227-14C147=3 432;当n=7时,第4、5项的二项式系数相等且最大,其系数分别为223-7C73=352,224-7C74=70.(2)由题意知Cn0+Cn1+Cn2=79,所以n=12或n=-13(舍).所以Tr+1=22r-12C12rxr.由22r-12C12r22(r-1)-12C12r-1,22r-12C12r22(r+1)-12C12r+1,得r525,r475,所以r=10.所以展开式中系数最大的项为T11=2210-12C1210x10=332(2x)10.