1、A级基础巩固1.直线l: y-1=k(x-1)和圆x2+y2-2y=0的关系是 ()A.相离 B.相切或相交C.相交 D.相切解析:直线l过定点A(1,1),因为12+12-21=0,所以点A在圆上.因为直线x=1过点A且为圆的切线,直线l的斜率存在,所以直线l与圆一定相交.答案:C2.直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切,则b的值是 ()A.-2或12 B.2或-12 C.-2或-12 D.2或12解析:由题意,知圆的圆心为(1,1),半径为1.因为直线3x+4y=b与圆相切,所以|3+4-b|32+42=1,解得b=2或b=12.答案:D3.若直线2x+y+m=0被圆x
2、2+y2=4截得的弦长为23,则m= ()A.5 B.5C.10 D.25解析:由题意,知圆的圆心坐标为(0,0),半径r=2.由直线被圆截得的弦长为23,可得圆心到直线的距离为m5=22-2322,解得 m=5.答案:B4.直线x-y+1=0与直线2x-2y-1=0是圆C的两条切线,则圆C的面积是 ()A.98 B.916C.932 D.964解析:由题意,知直线x-y+1=0与直线2x-2y-1=0平行.由这两条直线是圆C的两条切线,知两直线之间的距离与圆C的直径的长度相等.由直线x-y+1=0即2x-2y+2=0,与直线2x-2y-1=0间的距离d=|2+1|4+4=324,知圆C的半径
3、r=328,故圆C的面积S=r2=932.答案:C5.过点P(-1,6),且与圆(x+3)2+(y-2)2=4相切的直线方程是3x-4y+27=0或x=-1.解析:当所求直线的斜率存在时,设所求直线的方程为y-6=k(x+1),则d=|2-6-k(-3+1)|1+k2=2,解得k=34,此时,直线方程为3x-4y+27=0;当所求直线的斜率不存在时,所求直线的方程为x=-1,验证可知,符合题意.所以所求直线方程为3x-4y+27=0或x=-1.6.已知直线l:3x-y+1=0,圆C的方程为x2+y2+4x-2y+1=0.(1)判断直线l与该圆的位置关系.(2)若直线l与圆C相交,求出弦长;否则
4、,求出圆C上的点到直线l的最短距离. 解:(1)因为圆C的方程可化为(x+2)2+(y-1)2=4,所以圆C的圆心为C(-2,1),半径r=2,所以圆心C到直线l的距离d=|-23-1+1|(3)2+1=3r,所以直线l与圆C相交.(2)由(1)知直线l与圆C相交,则弦长L=2r2-d2=24-3=2.B级拓展提高7.(全国卷改编)已知圆C:x2+y2-6x=0,过点D(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为 ()A.1 B.2C.3 D.4解析:由圆的方程可得圆心为C(3,0),半径r=3.把点(1,2)的坐标代入圆的方程的左边,得12+22-61=-1.因为-10,所以点在圆内.设
5、圆心到直线的距离为d,则过D(1,2)的直线被圆截得的弦长|AB|=2r2-d2.所以当d最大时弦长|AB|最小,当直线与CD所在的直线垂直时d最大.因为d最大=|CD|=(3-1)2+(0-2)2=22,所以最小的弦长|AB|=232-(22)2=2.故选B.答案:B8.在平面直角坐标系Oxy中,以点(1,0)为圆心,且与直线mx-y-2m-1=0(mR)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为(x-1)2+y2=2.解析:因为直线mx-y-2m-1=0恒过定点(2,-1),所以圆心(1,0)与定点(2,-1)确定的直线与直线mx-y-2m-1=0垂直时,圆的半径最大,且两点之间的距离为d=
6、(2-1)2+(-1-0)2=2,所以最大的半径r=2,所以半径最大的圆的标准方程为(x-1)2+y2=2.9.已知圆C:x2+y2-8y+12=0与直线l:ax+y+2a=0相交于A,B两点,且|AB|=22,则实数 a=-7或-1.解析:将圆的方程化为标准方程可得x2+(y-4)2=4,所以圆心为(0,4),半径r=2.因为圆C与直线l相交于A,B两点,且|AB|=22,所以由垂径定理和勾股定理可求得圆心到直线l的距离为d=r2-|AB|22=4-2=2.由点到直线的距离公式可知d=|4+2a|a2+1,所以|4+2a|a2+1=2,化简可得a2+8a+7=0,解得a=-7或a=-1.10
7、.已知过点A(0,1),且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.(1)求k的取值范围;(2)若OMON=12,其中O为坐标原点,求|MN|.解:(1)由题意可得,直线l的斜率存在,所以过点A(0,1)的直线l的方程为y=kx+1,即kx-y+1=0.由已知可得圆C的圆心C的坐标为(2,3),半径r=1.当直线与圆相切时,有|2k-3+1|k2+1=1,解得k1=4-73,k2=4+73.故当4-73k4+73时,过点A(0,1)的直线与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1相交于M,N两点.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),由题意可得,经过点M,N,A的
8、直线方程为y=kx+1,代入圆C的方程(x-2)2+(y-3)2=1,消去y整理可得(1+k2)x2-4(k+1)x+7=0,所以x1+x2=4(1+k)1+k2,x1x2=71+k2,所以y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1=12k2+4k+11+k2.由OMON=x1x2+y1y2=12k2+4k+81+k2=12,解得 k=1,所以直线l的方程为 y=x+1,即 x-y+1=0.所以圆心C在直线l上,所以线段MN即为圆的直径,即|MN|=2.11.某高速公路隧道内设双行线公路,其截面由一段圆弧和一个长方形的三边构成(如图所示).已知隧道总宽度AD为6
9、3 m,行车道总宽度BC为211 m,侧墙面高EA,FD为2 m,弧顶高MN为5 m. (1)建立适当的平面直角坐标系,求圆弧所在圆的方程.(2)为保证安全,要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少为0.5 m.请计算车辆通过隧道的限制高度是多少. 解:(1)如图所示,以EF所在直线为x轴,以MN所在直线为y轴,以1 m为单位长度建立平面直角坐标系,则E(-33,0),F(33,0),M(0,3).因为所求圆的圆心在y轴上,所以设圆的方程为x2+(y-b)2=r2.因为点F,M在圆上,所以(33)2+b2=r2,02+(3-b)2=r2,解得b=-3,r2=36,所以所
10、求圆的方程为x2+(y+3)2=36.(2)设限制高度为h m,作CPAD,交圆弧于点P,则|CP|=h+0.5.将点P的横坐标x=11代入圆的方程,得(11)2+(y+3)2=36,解得y=2或y=-8(舍去),所以h=|CP|-0.5=(y+|DF|)-0.5=(2+2)-0.5=3.5.答:车辆通过隧道的限制高度是3.5 m.C级挑战创新12.多选题在平面直角坐标系Oxy中,圆C的方程为x2+y2-4x=0.若直线y=k(x+1)上存在一点P,使过点P所作的圆的两条切线相互垂直,则实数k的取值可以是 ()A.1 B.2 C.3 D.4解析:x2+y2-4x=0可化为(x-2)2+y2=4
11、.因为过点P所作的圆的两条切线相互垂直,所以点P、圆心C、两切点是构成一个正方形的四个顶点,所以PC=22.因为P在直线y=k(x+1)上,所以圆心到直线的距离d=|2k-0+k|1+k222,解得-22k22.答案:AB13.多选题已知点A是直线l:x+y-2=0上一定点,点P,Q是圆x2+y2=1上的动点,若PAQ最大值为90,则点A的坐标可以是 ()A.(0,2) B.(1,2-1)C.(2,0) D.(2-1,1)解析:如图所示,圆心到直线l的距离为d=212+12=1,则直线l与圆x2+y2=1相切.由图可知,当AP,AQ均为圆x2+y2=1的切线时,PAQ的度数最大.如图,连接OP,OQ.由于PAQ最大为90,且APO=AQO=90,|OP|=|OQ|=1,故四边形APOQ为正方形,所以|OA|=2|OP|=2.设点A的坐标为(t,-t+2),由两点间的距离公式,得|OA|=t2+(2-t)2=2,整理得2t2-22t=0,解得t=0或t=2,因此点A的坐标为(0,2)或(2,0).答案:AC