1、A级基础巩固1. 在空间直角坐标系中,已知点A(1,-2,0)和向量a=(-3,4,6),|AB|=2|a|,若AB与a方向相反,则点B的坐标为()A.(-7,6,12)B.(7,-10,-12)C.(7,-6,12) D.(-7,10,12)解析:设B(x,y,z),则AB=(x-1,y+2,z).因为|AB|=2|a|,且AB与a方向相反,所以AB=-2a=-2(-3,4,6)=(6,-8,-12),所以x=7,y=-10,z=-12,即B(7,-10,-12).故选B.答案:B2.在空间直角坐标系中,已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)三点,平面ABC的一个单位法向量
2、是()A.33,33,-33 B.33,-33,33C.-33,33,33 D.-33,-33,-33解析:由题意,知AB=(-1,1,0),AC=(-1,0,1).设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则ABn=0,ACn=0,即-x+y=0,-x+z=0.取x=1,则y=1,z=1.所以n=(1,1,1)是平面ABC的一个法向量,所以平面ABC的一个单位法向量为33,33,33或-33,-33,-33.答案:D3.已知A,B,C三点不共线,O为平面ABC外一点,若由向量OP=15OA+23OB+OC确定的点P与A,B,C共面,则=215.解析:因为A,B,C三点不共线,O是平面ABC外
3、一点,由向量OP=15OA+23OB+OC确定的点P与A,B,C共面,所以15+23+=1,解得=215.4.已知A0,2,198,B1,-1,58,C-2,1,58是平面内三点,设平面的法向量为a=(x,y,z),则xyz=23(-4).解析:由已知,得AB=1,-3,-74,AC=-2,-1,-74,且AB,AC不共线.因为a是平面的法向量,所以aAB=0,aAC=0,即x-3y-74z=0,-2x-y-74z=0,所以x=23y,z=-43y,所以xyz=23yy-43y=23(-4).5.如图所示,在多面体A1B1D1DCBA中,四边形AA1B1B,四边形ADD1A1,四边形ABCD均
4、为正方形,E为B1D1的中点,过A1,D,E的平面交CD1于点F.求:(1)平面A1DE的一个法向量;(2)平面A1B1CD的一个法向量.解:因为四边形AA1B1B、四边形ADD1A1、四边形ABCD均为正方形,所以AA1AB,AA1AD,ABAD,且AA1=AB=AD.以A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴和z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.设AB=AD=AA1=1,可得A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),D1(0,1,1).因为E为B1D1的中点,所以E12,12,1.(1)易知A1E=12,12,0,A1D=
5、(0,1,-1).设平面A1DE的法向量为n1=(x1,y1,z1),则n1A1E=0,n1A1D=0,即12x1+12y1=0,y1-z1=0,所以x1=-y1,z1=y1.取y1=1,则x1=-1,z1=1.所以n1=(-1,1,1)是平面A1DE的一个法向量.(2)易知A1B1=(1,0,0),A1D=(0,1,-1).设平面A1B1CD的法向量为n2=(x2,y2,z2),则n2A1B1=0,n2A1D=0,即x2=0,y2-z2=0,所以x2=0,y2=z2.取z2=1,则x2=0,y2=1.所以n2=(0,1,1)是平面A1B1CD的一个法向量. B级拓展提高6.已知平面内两向量a
6、=(1,1,1),b=(0,2,-1),且c=ma+nb+(4,-4,1).若c为平面的一个法向量,则m,n的值分别为()A.-1,2 B.1,-2 C.1,2 D.-1,-2解析:因为a=(1,1,1),b=(0,2,-1),所以c=ma+nb+(4,-4,1)=(m,m,m)+(0,2n,-n)+(4,-4,1)=(m+4,m+2n-4,m-n+1).由c为平面的一个法向量,得ca=0,cb=0,即3m+n+1=0,m+5n-9=0,解得m=-1,n=2.答案:A7.在空间直角坐标系中,已知点A(4,1,3),B(2,-5,1),C为线段AB上一点,若|AC|AB|=13,则点C的坐标为
7、()A.72,-12,52 B.38,-3,2C.103,-1,73 D.52,-72,32解析:设C(x,y,z),因为A(4,1,3),B(2,-5,1),C为线段AB上一点,且|AC|AB|=13,所以AC=13AB,即(x-4,y-1,z-3)=13(-2,-6,-2),所以x=103,y=-1,z=73,即C103,-1,73.答案:C8.如图,已知PA矩形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的中点.(1)指出直线MN的一个以A为起点的方向向量;(2)若PDA=45,求证:MN为平面PCD的一个法向量. (1)解:取PD的中点E,连接NE,AE(图略).因为N是PC的中点,所以
8、NEDC,NE=12DC.又因为DCAB,DC=AB,M为AB的中点,所以AMDC,AM=12DC,所以NE AM,所以四边形AMNE是平行四边形,所以MNAE.所以AE为直线MN的一个以A为起点的方向向量.(2)证明:在RtPAD中,PDA=45,E为PD中点,所以AP=AD,所以AEPD.又因为MNAE,所以MNPD.因为PA平面ABCD,所以PACD.因为CDAD,PAAD=A,所以CD平面PAD.因为AE平面PAD,所以CDAE.又因为MNAE,所以CDMN.因为CDPD=D,所以MN平面PCD.所以MN为平面PCD的一个法向量.C级挑战创新9.多选题如图所示,在空间直角坐标系中,正方
9、体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,下列结论正确的是()A.平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0)B.平面B1CD的一个法向量为(1,1,1)C.平面B1CD1的一个法向量为(1,1,1)D.平面ABC1D1的一个法向量为(0,1,1)解析:由题意,知AD=(0,1,0).因为ABAD,AA1AD,ABAA1=A,所以AD平面ABB1A1,故选项A正确.由题意,知CD=(-1,0,0).因为(1,1,1)CD=-10,所以向量(1,1,1)不是平面B1CD的一个法向量,故选项B不正确.由题意,知B1C=(0,1,-1), CD1=(-1,0,1).因为(1,1,1)B1C=0,(1,
10、1,1)CD1=0,B1CCD1=C,所以向量(1,1,1)是平面B1CD1的一个法向量,故选项C正确.由题意,知BC1=(0,1,1).因为BC1(0,1,1)=20,所以向量(0,1,1)不是平面ABC1D1的一个法向量,故选项D不正确.答案:AC10.多空题如图,设O为ABCD所在平面外任意一点,E为OC的中点,若AE=12OD+xOB+yOA,则x=12,y=-32.解析:因为AE=AB+BC+CE=(OB-OA)+(OC-OB)+(OE-OC)=OE-OA=12OC-OA=-OA+12(OD+DC)=-OA+12OD+12AB=-32OA+12OD+12OB,所以x=12,y=-32.