1、课时提升作业(三十二)基本不等式(45分钟100分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2013杭州模拟)若a,bR且ab0,则下列不等式中,恒成立的是()A.a+b2B.+C.+2D.a2+b22ab【解析】选C.因为ab0,所以0,0.由基本不等式得+2,当且仅当=,即a=b时等号成立.故选C.【加固训练】设0ab,则下列不等式中正确的是()A.abB.abC.abD.ab【解析】选B.方法一:令a=1,b=4,则=2,=,所以ab.方法二:因为0ab,所以a2ab,所以a,a+b2b,所以b,所以ab.2.(2013韶关模拟)若a1,则a+的最大值是()A.3B.aC.-1D.【解析
2、】选C.因为a1,所以a-10时,函数f(x)=有()A.最小值1B.最大值1C.最小值2D.最大值2【思路点拨】利用x0将函数分子、分母同除以x后利用基本不等式可解.【解析】选B.由x0得f(x)=1,等号成立条件是x=1.4.圆x2+y2+2x-4y+1=0关于直线2ax-by+2=0(a,bR)对称,则ab的取值范围是()A.B.C.D.【思路点拨】圆关于直线对称,则圆心在直线上,利用此条件可解.【解析】选A.由已知得圆心坐标为(-1,2),故-2a-2b+2=0,即a+b=1,故ab=.5.(2013台州模拟)已知a0,b0,且2是2a与b的等差中项,则的最小值为()A.B.C.2D.
3、4【解析】选B.由已知可得2a+b=4,因此42,所以00,b0,a+b=2,则+的最小值是()A.B.4C.D.5【解析】选C.由已知可得+=+2+2=,当且仅当a=,b=时取等号,即+的最小值是.7.若a0,b0,且a+b=1,则ab+的最小值为()A.2B.4C.D.2【思路点拨】由已知利用基本不等式得ab的取值范围而后换元利用函数的单调性求解.【解析】选C.由a+b=1,a0,b0得2a+b=1,所以,所以ab.令ab=t,则0t,则ab+=t+,结合函数的图象可知y=t+在(0,上单调递减,故当t=时,t+有最小值为+4=.8.(2012浙江高考)若正数x,y满足x+3y=5xy,则
4、3x+4y的最小值是()A.B.C.5D.6【解析】选C.由x+3y=5xy可得+=1,所以3x+4y=(3x+4y)=+2=+=5,当且仅当x=1,y=时取等号,故3x+4y的最小值是5.【误区警示】本题在求解中容易出现的错误是:对x+3y运用基本不等式得到的范围,再对3x+4y运用基本不等式,然后通过不等式的传递性得到3x+4y的最值,忽视了基本不等式中等号成立的条件,没有注意到两次运用基本不等式时等号成立的条件不一致,从而导致错误.【方法技巧】妙用“1”的代换求代数式的最值在求解含有两个变量的代数式的最值问题时,通常的解决办法是变量替换或常值“1”的替换,即由已知条件得到某个式子的值为常
5、数,然后将欲求最值的代数式乘上常数,再对代数式进行变形整理,从而可利用基本不等式求最值.二、填空题(每小题5分,共20分)9.已知x,则函数y=4x-2+的最大值为.【解析】因为x0,所以y=4x-2+=-+3-2+3=1,当且仅当5-4x=,即x=1时,上式等号成立,故当x=1时,ymax=1.答案:110.(2013济南模拟)若点A(1,1)在直线mx+ny-2=0上,其中mn0,则+的最小值为.【解析】因为点A(1,1)在直线mx+ny-2=0上,所以m+n=2.又mn0,则+=2,当且仅当m=n=1时等号成立.答案:2【加固训练】(2013济宁模拟)函数f(x)=ax-1+3(a0,且
6、a1)的图象过一个定点P,且点P在直线mx+ny-1=0(m0,n0)上,则+的最小值是()A.12B.13C.24D.25【解析】选D.函数f(x)=ax-1+3恒过点P(1,4),所以m+4n-1=0,m+4n=1.所以+=(m+4n)=1+1625.当且仅当=,即m=n=时等号成立,故选D.11.(2013衢州模拟)已知a0,b0,若不等式+恒成立,则m的最大值等于.【解析】由于a0,b0,所以不等式可化为m(2a+b),而(2a+b)=4+15+2=9,当且仅当=,即a=b时(2a+b)取最小值9,所以不等式恒成立时m的最大值等于9.答案:912.(能力挑战题)爬山是一种简单有趣的野外
7、运动,有益于身心健康,但要注意安全,准备好必需物品,控制好速度.现有甲、乙两人相约爬山,若甲上山的速度为v1,下山的速度为v2(v1v2),乙上山和下山的速度都是(甲、乙两人中途不停歇且下山时按原路返回),则甲、乙两人上下山所用的时间t1,t2的大小关系为.【解析】设上山路程为h,同理下山路程为h,则依题意有t1=+=hh=h,t2=ht2.答案:t1t2三、解答题(13题12分,1415题各14分)13.(2013海淀模拟)若x,y(0,+),x+2y+xy=30.(1)求xy的取值范围.(2)求x+y的取值范围.【解析】由x+2y+xy=30,得(2+x)y=30-x,又2+x0,所以y=
8、0,0x0,得x30.因为x+y=x+2+-3(0x30),令x+2=t(2t32),则由函数f(t)=t+的性质可知,当2t32时,f(t)f(32)=33,所以x+2+-330,即x+y0,y0,且2x+5y=20.(1)求u=lgx+lgy的最大值.(2)求+的最小值.【解析】(1)因为x0,y0,所以由基本不等式,得2x+5y2.因为2x+5y=20,所以220,xy10,当且仅当2x=5y时,等号成立.因此有解得此时xy有最大值10.所以u=lgx+lgy=lg(xy)lg10=1.所以当x=5,y=2时,u=lgx+lgy有最大值1.(2)因为x0,y0,所以+=,当且仅当=时,等
9、号成立.由解得所以+的最小值为.15.(能力挑战题)东海水晶制品厂去年的年产量为10万件,每件水晶产品的销售价格为100元,固定成本为80元.从今年起,工厂投入100万元科技成本,并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本.预计产量每年递增1万件,每件水晶产品的固定成本g(n)与科技成本的投入次数n的关系是g(n)=.若水晶产品的销售价格不变,第n次投入后的年利润为f(n)万元.(1)求出f(n)的表达式.(2)求从今年算起第几年利润最高?最高利润为多少万元?【解析】(1)第n次投入后,产量为(10+n)万件,销售价格为100元,固定成本为元,科技成本投入为100n万元.所以,年利润为f(
10、n)=(10+n)-100n(nN*).(2)由(1)知f(n)=(10+n)-100n=1000-80520.当且仅当=,即n=8时,利润最高,最高利润为520万元.所以,从今年算起第8年利润最高,最高利润为520万元.【加固训练】某单位用2160万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为x(x10)层,则每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?(注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=)【解析】由题意知每平方米的平均购地费用为=.所以每平方米的平均综合费用y=560+48x+=560+48(x10),当x+取最小值时,y有最小值.因为x0,所以x+2=30,当且仅当x=,即x=15时,上式等号成立.所以当x=15时,y有最小值2000元.因此该楼房建为15层时,每平方米的平均综合费用最少.
