1、A级基础巩固1.已知A(-5,0),B(5,0).动点C满足|AC|+|BC|=10,则点C的轨迹是()A.椭圆 B.直线 C.线段 D.点解析:由|AC|+|BC|=10=|AB|,知点C的轨迹是线段AB.答案:C2.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0),M为椭圆上一动点,F1为椭圆的左焦点,则线段MF1的中点P的轨迹是 ()A.圆 B.椭圆 C.线段 D.直线解析:设右焦点为F2,坐标原点为O,由题意,知|PO|=12|MF2|,|PF1|=12|MF1|.又因为|MF1|+|MF2|=2a,所以|PO|+|PF1|=a|F1O|=c,故由椭圆的定义知点P的轨迹是椭圆.答案:B3.设P
2、是椭圆x216+y212=1上一点,P到两焦点F1,F2的距离之差为2,则PF1F2是 ()A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.等腰直角三角形解析:由椭圆定义,知|PF1|+|PF2|=2a=8,不妨设|PF1|PF2|,因为|PF1|-|PF2|=2,所以|PF1|=5,|PF2|=3,又因为|F1F2|=2c=4,所以PF1F2为直角三角形.答案:B4.如果椭圆x2k+y2=1的一个焦点是(2,0),那么实数k= ()A.3 B.5 C.3 D.5解析:因为椭圆x2k+y2=1的一个焦点是(2,0),所以k1.因为k-1=4,所以k=5.故选D.答案:D5.若关于x,y的方程
3、x2m+y22m-1=1表示椭圆,则m满足的条件是m|m12,且m1.解析:由关于x,y的方程x2m+y22m-1=1表示椭圆,知m0,2m-10,m2m-1,解得m12,且m1.6.已知F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且PF1PF2.若PF1F2的面积为9,则b=3.解析:依题意,得|PF1|+|PF2|=2a,|PF1|PF2|=18,|PF1|2+|PF2|2=4c2,可得4c2+36=4a2,即a2-c2=9,故有b=3.7.已知F1,F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,椭圆C上一点3,32到两焦点F1,F2
4、的距离之和等于4,写出椭圆C的方程和焦点坐标. 解:因为椭圆上一点到两焦点的距离之和为4,所以2a=4,a2=4.因为点3,32是椭圆上的一点,所以(3)24+322b2=1,所以b2=3,所以c2=1,所以椭圆C的方程为x24+y23=1.焦点坐标分别为F1(-1,0),F2(1,0).B级拓展提高8.设定点F1(0,-2),F2(0,2),动点P满足条件|PF1|+|PF2|=m+4m(m2),则点P的轨迹是 ()A.椭圆 B.线段C.不存在 D.椭圆或线段解析:因为m2,所以m+4m2m4m=4,所以点P的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆.答案:A9.下列选项中,焦点在坐标轴上,且过两点(
5、4,0),(0,2)的椭圆方程为()A.x24+y22=1 B.y24+x22=1C.y216+x24=1 D.x216+y24=1解析:方法一:验证排除,将点(4,0)代入验证可排除A,B,C,故选D.方法二:设椭圆方程为mx2+ny2=1(m0,n0),则16m=1,4n=1,解得m=116,n=14,故选D.答案:D10.若椭圆x2m2+y24=1过点(-2,3),则焦距等于43.解析:因为椭圆x2m2+y24=1过点(-2,3),所以m2=16,则c2=16-4=12,故焦距2c=43.11.椭圆x225+y29=1上的点M到焦点F1的距离为2,N是MF1的中点,则|ON|(O为坐标原
6、点)的值为4.解析:由椭圆方程可知,a2=25,所以a=5.如图,设椭圆的另一个焦点为F2,因为|MF1|=2,所以|MF2|=2a-|MF1|=8.连接|MF2|,在MF1F2中,N是MF1的中点,O为F1F2的中点,所以ON是MF1F2的中位线,所以|ON|=12|MF2|=4.12.已知椭圆y2a2+x2b2=1(ab0)的焦点分别为F1(0,-1),F2(0,1),且3a2=4b2.(1)求椭圆的方程;(2)设点P在这个椭圆上,且|PF1|-|PF2|=1,求F1PF2的余弦值.解:(1)由题意,知椭圆焦点在y轴上,且c=1.又因为3a2=4b2,所以a2-b2=14a2=c2=1,所
7、以a2=4,b2=3,所以椭圆的标准方程为y24+x23=1.(2)如图(示意图),|PF1|-|PF2|=1.由椭圆定义知,|PF1|+|PF2|=4,所以|PF1|=52,|PF2|=32.又因为|F1F2|=2,所以cos F1PF2=522+322-2225232=35. C级挑战创新13.多选题若椭圆x2m+y24=1的焦距是2,则m的值是 ()A.3 B.4 C.5 D.6解析:当椭圆的焦点在x轴上时,a2=m,b2=4.c2=m-4.又因为2c=2,所以c=1.所以m-4=1,所以m=5;当椭圆的焦点在y轴上时,a2=4,b2=m,所以c2=4-m=1,所以m=3.答案:AC14
8、.多空题已知椭圆x25+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,设P(x0,y0)为椭圆上一点,当F1PF2为直角时,点P的横坐标x0=152;当F1PF2为钝角时,点P的横坐标x0的取值范围是-152,152.解析:由椭圆的方程x25+y2=1,得c=2,所以F1(-2,0),F2(2,0),所以PF1=(-2-x0,-y0),PF2=(2-x0,-y0).因为F1PF2为直角,所以PF1PF2=0,即x02+y02=4,又因为x025+y02=1,联立消去y02,得x02=154,所以x0=152.因为F1PF2为钝角,所以PF1PF20,即x02+y024,又因为x025+y02=1,由,得-152x0152.
