1、2016-2017学年福建省三明市永安一中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1复数=（）A1B1CiDi2某中学为了研究学生的视力和座位（有关和无关）的关系，运用22列联表进行独立性研究，经计算K2=7.069，则至少有（）的把握认为“学生的视力与座位有关”附：P（K2k0）0.1000.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828A95%B99%C97.5%D90%3某班有50名学生，一次考试的成绩（N）服从正态分布N已知P（90100）=0.3，估计该班数学成绩在11
2、0分以上的人数为（）A10B20C30D404为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子身高数据如下父亲身高x（cm）174176176176178儿子身高y（cm）175175176177177则y对x的线性回归方程为（）Ay=x1By=x+1CDy=1765以双曲线=1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为（）Ay2=16xBy2=16xCy2=8xDy2=8x6在A BC中，“0”是“ABC为锐角三角形”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件7在10个球中有6个红球和4个白球（各不相同），不放回地依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，第2次也摸
3、到红球的概率为（）ABCD8箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为（）ABCD9在（x2+3x+2）5的展开式中x的系数为（）A160B240C360D80010直三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱长为2，AC=BC=1，ACB=90，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E，要使AB1平面C1DF，则线段B1F的长为（）AB1CD211已知集合A=5，B=1，2，C=1，3，4，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为（）A33B34C3
4、5D3612如图，H为四棱锥PABCD的棱PC的三等分点，且PH=HC，点G在AH上，AG=mAH四边形ABCD为平行四边形，若G，B，P，D四点共面，则实数m等于（）AB P，DCD二、填空题（每小题5分，四题共20分答案请写在答题卡上）13的二项展开式中的常数项为 14已知函数f（x）=f（）cosx+sinx，则f（）的值为 15将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是 16抛物线y2=2px（p0）的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线上的两个动点，且满足，设线段AB的中点M在l上的投影为N，则的最大值是
5、三、解答题（共70分17题10分18-22各12分解答时应按要求写出证明过程或演算步骤）17利用数学归纳法证明不等式：（nN*）18噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质m的严重问题，为了了解强度D（单位：分贝）与声音能量I（单位：W/cm2）之间的关系，将测量得到的声音强度Di和声音能量Ii（i=1.2，10）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值（Ii）2（Wi）2（Ii）（Di）（Wi）（Di）1.04101145.711.51.5610210.516.8810115.1表中Wi=lgIi， =Wi（）根据表中数据，求声音强度D关于声音能量I的回归方程D=a+blgI；（）
6、当声音强度大于60分贝时属于噪音，会产生噪声污染，城市中某点P共受到两个声源的影响，这两个声源的声音能量分别是I1和I2，且已知点P的声音能量等于声音能量Il与I2之和请根据（I）中的回归方程，判断P点是否受到噪声污染的干扰，并说明理由附：对于一组数据（l，1），（2，2），（n，n），其回归直线=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：=， =19某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元设生产
7、各种产品相互独立（1）记X（单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；（2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率20四棱锥EABCD中，ABD为正三角形，BCD=120，CB=CDCE=1，AB=AD=AE=，且ECBD（1）求证：平面BED平面AEC；（2）求二面角DBMC的平面角的余弦值21已知函数f（x）=lnxmx+m（）求函数f（x）的单调区间；（）若f（x）0在x（0，+）上恒成立，求实数m的取值范围22已知椭圆C：的离心率为，点在椭圆C上（）求椭圆C的方程；（）设动直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O为圆心的圆，满足此圆与
8、l相交两点P1，P2（两点均不在坐标轴上），且使得直线OP1，OP2的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由2016-2017学年福建省三明市永安一中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1复数=（）A1B1CiDi【考点】A5：复数代数形式的乘除运算【分析】两个复数相除，分子、分母同时乘以分母的共轭复数，再利用两个复数的乘法法则化简【解答】解：复数=i，故选 C2某中学为了研究学生的视力和座位（有关和无关）的关系，运用22列联表进行独立性研究，经计算K2=7.069，则至少有（）的把握
9、认为“学生的视力与座位有关”附：P（K2k0）0.1000.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828A95%B99%C97.5%D90%【考点】BO：独立性检验的应用【分析】把观测值同临界值进行比较得到有99%的把握说学生性别与支持该活动有关系【解答】解：K2=7.0696.635，对照表格：P（K2k0）0.1000.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828有99%的把握说学生性别与支持该活动有关系故选B3某班有50名学生，一次考试的成绩（N）服从正态分布N已知P（90100）=0.3，估
10、计该班数学成绩在110分以上的人数为（）A10B20C30D40【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【分析】根据考试的成绩服从正态分布N得到考试的成绩关于=100对称，根据P（90100）=0.3，得到P=0.3，从而得到P=0.2，根据频率乘以样本容量得到这个分数段上的人数【解答】解：考试的成绩服从正态分布N考试的成绩关于=100对称，P（90100）=0.3，P=0.3，P=0.2，该班数学成绩在110分以上的人数为0.250=10故选A4为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子身高数据如下父亲身高x（cm）174176176176178儿子身高y（cm）17517
11、5176177177则y对x的线性回归方程为（）Ay=x1By=x+1CDy=176【考点】BK：线性回归方程【分析】求出这组数据的样本中心点，根据样本中心点一定在线性回归直线上，把样本中心点代入四个选项中对应的方程，只有y=88+x适合，得到结果【解答】解：=176，=176，本组数据的样本中心点是，根据样本中心点一定在线性回归直线上，把样本中心点代入四个选项中对应的方程，只有y=88+x适合，故选C5以双曲线=1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为（）Ay2=16xBy2=16xCy2=8xDy2=8x【考点】K8：抛物线的简单性质【分析】根据双曲线方程，算出它的右焦点为F（4，0），也是抛
12、物线的焦点由此设出抛物线方程为y2=2px，（p0），结合抛物线焦点坐标的公式，可得p=8，从而得出该抛物线的标准方程【解答】解析由双曲线方程=1，可知其焦点在x轴上，由a2=16，得a=4，该双曲线右顶点的坐标是（4，0），抛物线的焦点为F（4，0）设抛物线的标准方程为y2=2px（p0），则由=4，得p=8，故所求抛物线的标准方程为y2=16x故选A6在A BC中，“0”是“ABC为锐角三角形”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【考点】9R：平面向量数量积的运算【分析】由只能得到角A是锐角，无法得到ABC为锐角三角形；但ABC为锐角三角形时，角A一定
13、是锐角，可得即可判断出【解答】解：由只能得到角A是锐角，无法得到ABC为锐角三角形；但ABC为锐角三角形时，角A一定是锐角，故“0”是“ABC为锐角三角形”的必要不充分条件故选：B7在10个球中有6个红球和4个白球（各不相同），不放回地依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，第2次也摸到红球的概率为（）ABCD【考点】CM：条件概率与独立事件【分析】事件“第一次摸到红球且第二次也摸到红球”的概率等于事件“第一次摸到红球”的概率乘以事件“在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸到红球”的概率根据这个原理，可以分别求出“第一次摸到红球”的概率和“第一次摸到红球且第二次也摸到红球”的概率，再用公式可以
14、求出要求的概率【解答】解：先求出“第一次摸到红球”的概率为：P1=，设“在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸到红球”的概率是P2再求“第一次摸到红球且第二次也摸到红球”的概率为P=，根据条件概率公式，得：P2=，故选：D8箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为（）ABCD【考点】C9：相互独立事件的概率乘法公式【分析】由题意知本题是一个有放回的取球，是一个相互独立事件同时发生的概率，根据所给的条件可知取到一个白球的概率和取到一个黑球的概率，第四次取球之后停止表示前三次均取到黑球，第四次取到白球，
15、写出表示式【解答】解：第四次取球之后停止表示前三次均取到黑球，第四次取到白球，由题意知本题是一个有放回的取球，是一个相互独立事件同时发生的概率，取到一个白球的概率是，去到一个黑球的概率是其概率为故选B9在（x2+3x+2）5的展开式中x的系数为（）A160B240C360D800【考点】DC：二项式定理的应用【分析】利用分步乘法原理：展开式中的项是由5个多项式各出一个乘起来的积，展开式中x的系数是5个多项式仅一个多项式出3x，其它4个都出2组成【解答】解：（x2+3x+2）5展开式的含x的项是由5个多项式在按多项式乘法展开时仅一个多项式出3x，其它4个都出2展开式中x的系数为C51324=24
16、0故选项为B10直三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱长为2，AC=BC=1，ACB=90，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E，要使AB1平面C1DF，则线段B1F的长为（）AB1CD2【考点】LX：直线与平面垂直的性质【分析】作DEAB1交AB1于E，延长DE交BB1于F，连接C1F，则AB1平面C1DF，点FB1B的中点即为所求，由C1D平面AA1BB，AB1平面AA1B1B，则C1DAB1，AB1DF，DFC1D=D，满足线面垂直的判定定理，则AB1平面C1DF【解答】解：作DEAB1交AB1于E，延长DE交BB1于F，连接C1F，则AB1平面C1DF，点F即为所求
17、C1D平面AA1B1B，AB1平面AA1B1B，C1DAB1又AB1DF，DFC1D=D，AB1平面C1DF四边形AA1B1B为正方形，此时点F为B1B的中点如图则有AA1B1DB1F，即故选：A11已知集合A=5，B=1，2，C=1，3，4，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为（）A33B34C35D36【考点】D8：排列、组合的实际应用【分析】根据题意，先求得不考虑限定条件确定的不同点的个数，进而考虑集合B、C中的相同元素1，出现了3个重复的情况，进而计算可得答案【解答】解：不考虑限定条件确定的不同点的个数为C21C31A33=36，但集合B、C中
18、有相同元素1，由5，1，1三个数确定的不同点的个数只有三个，故所求的个数为363=33个，故选A12如图，H为四棱锥PABCD的棱PC的三等分点，且PH=HC，点G在AH上，AG=mAH四边形ABCD为平行四边形，若G，B，P，D四点共面，则实数m等于（）AB P，DCD【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义【分析】若G，B，P，D四点共面，则G即为AH与平面PBD的交点，连接AC，BD交于点O，连接PO，则G即为PO与AH的交点，取HC的中点E，连接OE，结合三角形的中位线定理，可得答案【解答】解：如下图所示：若G，B，P，D四点共面，则G即为AH与平面PBD的交点，连接AC，BD交于点O
19、，连接PO，则G即为PO与AH的交点，如下图所示：在截面PAC中，O为AC的中点，H为PC的三等分点，取HC的中点E，连接OE，则OE=AH=2GH，故GH=AH，即AG=AH，故m=故选：C二、填空题（每小题5分，四题共20分答案请写在答题卡上）13的二项展开式中的常数项为60【考点】DB：二项式系数的性质【分析】利用二项式的通项公式即可得出【解答】解：二项式的展开式的通项公式为Tr+1=C6r（2x）6r（）r=（1）rC6r26rx，令6r=0，解得r=4，二项式的展开式中的常数项为（1）4C6422=60，故答案为：6014已知函数f（x）=f（）cosx+sinx，则f（）的值为1【
20、考点】63：导数的运算；3T：函数的值【分析】利用求导法则：（sinx）=cosx及（cosx）=sinx，求出f（x），然后把x等于代入到f（x）中，利用特殊角的三角函数值即可求出f（）的值，把f（）的值代入到f（x）后，把x=代入到f（x）中，利用特殊角的三角函数值即可求出f（）的值【解答】解：因为f（x）=f（）sinx+cosx所以f（）=f（）sin+cos解得f（）=1故f（）=f（）cos+sin=（1）+=1故答案为115将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是96【考点】D9：排列、组合及简单计
21、数问题【分析】求出5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号的组数，然后分给4人排列即可【解答】解：5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，方法数为：1和2，2和3，3和4，4和5，四种连号，其它号码各为一组，分给4人，共有4=96种故答案为：9616抛物线y2=2px（p0）的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线上的两个动点，且满足，设线段AB的中点M在l上的投影为N，则的最大值是1【考点】KN：直线与抛物线的位置关系【分析】设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF由抛物线定义得2|MN|=a+b，由余弦定理可得|AB|2=（a+b）23ab，进而根据
22、基本不等式，求得|AB|的取值范围，从而得到本题答案【解答】解：设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF，由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|，在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b由余弦定理得，|AB|2=a2+b22abcos60=a2+b2ab，配方得，|AB|2=（a+b）23ab，又ab，（a+b）23ab（a+b）2（a+b）2=（a+b）2得到|AB|（a+b）1，即的最大值为1故答案为：1三、解答题（共70分17题10分18-22各12分解答时应按要求写出证明过程或演算步骤）17利用数学归纳法证明不等式：（nN*）【考点】RG：数学归纳法
23、【分析】数学归纳法的步骤：证明n=1时A式成立然后假设当n=k时，A式成立证明当n=k+1时，A式也成立下绪论：A式对所有的正整数n都成立【解答】证明：（1）当n=1时，左边=，右边=，左边右边，不等式成立，（2）4n214n2，即（2n+1）（2n1）（2n）2即，假设当n=k时，原式成立，即，那么当n=k+1时，即=，即n=k+1时结论成立根据（1）和（2）可知不等式对任意正整数n都成立18噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质m的严重问题，为了了解强度D（单位：分贝）与声音能量I（单位：W/cm2）之间的关系，将测量得到的声音强度Di和声音能量Ii（i=1.2，10）数据作了初步处理，
24、得到下面的散点图及一些统计量的值（Ii）2（Wi）2（Ii）（Di）（Wi）（Di）1.04101145.711.51.5610210.516.8810115.1表中Wi=lgIi， =Wi（）根据表中数据，求声音强度D关于声音能量I的回归方程D=a+blgI；（）当声音强度大于60分贝时属于噪音，会产生噪声污染，城市中某点P共受到两个声源的影响，这两个声源的声音能量分别是I1和I2，且已知点P的声音能量等于声音能量Il与I2之和请根据（I）中的回归方程，判断P点是否受到噪声污染的干扰，并说明理由附：对于一组数据（l，1），（2，2），（n，n），其回归直线=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为
25、：=， =【考点】BK：线性回归方程【分析】（I）根据回归系数公式得出D关于w的线性回归方程，再得出D关于I的回归方程；（II）适用基本不等式求出I1+I2的范围，利用回归方程计算噪音强度【解答】解：（1）令wi=lgIi，D关于w的线性回归方程是：，D关于I的回归方程是：（）点P的声音能量I=I1+I2，I=I1+I2=1010（）（I1+I2）=1010（2+）41010点P的声音强度D的预报值： =10lgI+160.7=10lg4+60.760点P会受到噪声污染的干扰19某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%生产
26、1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元设生产各种产品相互独立（1）记X（单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；（2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；C9：相互独立事件的概率乘法公式【分析】（1）根据题意做出变量的可能取值是10，5，2，3，结合变量对应的事件和相互独立事件同时发生的概率，写出变量的概率和分布列（2）设出生产的4件甲产品中一等品有n件，则二等品有4n件，根据生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元，列出
27、关于n的不等式，解不等式，根据这个数字属于整数，得到结果，根据独立重复试验写出概率【解答】解：（1）由题设知，X的可能取值为10，5，2，3，且P（X=10）=0.80.9=0.72，P（X=5）=0.20.9=0.18，P（X=2）=0.80.1=0.08，P（X=3）=0.20.1=0.02X的分布列为：X10523P0.720.180.080.02（2）设生产的4件甲产品中一等品有n件，则二等品有4n件由题设知4n（4n）10，解得，又nN，得n=3，或n=4所求概率为P=C430.830.2+0.84=0.8192答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.819220四棱
28、锥EABCD中，ABD为正三角形，BCD=120，CB=CDCE=1，AB=AD=AE=，且ECBD（1）求证：平面BED平面AEC；（2）求二面角DBMC的平面角的余弦值【考点】MT：二面角的平面角及求法；LY：平面与平面垂直的判定【分析】（1）由题意可得ACBD，又ECBD，结合线面垂直的判定可得平面BED平面AEC；（2）由（1）知ACBD，证得COECEA，可得CE2+AE2=AC2=4，即CEA=90，得EOAC，又BDOE，建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标，得到平面DBM与平面CBM的一法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角DBMC的平面角的余弦值【解答】证明：（1）由于A
29、BD为正三角形，BCD=120，CB=CD=CE=1，故连接AC交BD于O点，则ABCADC，BAC=DAC，则ACBD，又ECBD，ECAC=C，故BD面ACE，平面BED平面AEC；解：（2）由（1）知ACBD，且CO=，AO=，连接EO，则，COECEA，又CE2+AE2=AC2=4，可得CEA=90COE=CEA=90，故EOAC，又BDOE，故如图建立空间直角坐标系，则B（0，0），D（0，0），C（，0，0），M（，0，），设平面DBM的法向量，则由，得，取z1=1，得；，设平面CBM的法向量，则由，得，取z2=1，得cos=故二面角DBMC的平面角的余弦值为21已知函数f（x）=
30、lnxmx+m（）求函数f（x）的单调区间；（）若f（x）0在x（0，+）上恒成立，求实数m的取值范围【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（）对f（x）求导，对导函数中m进行分类讨论，由此得到单调区间（）借助（），对m进行分类讨论，由最大值小于等于0，构造新函数，转化为最值问题【解答】解：（），当m0时，f（x）0恒成立，则函数f（x）在（0，+）上单调递增，此时函数f（x）的单调递增区间为（0，+），无单调递减区间；当m0时，由，得，由，得，此时f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为；（）由（）知：当m0时，f（x）在（0，+）上递增，f
31、（1）=0，显然不成立；当m0时，只需mlnm10即可，令g（x）=xlnx1，则，x（0，+）得函数g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增g（x）min=g（1）=0，g（x）0对x（0，+）恒成立，也就是mlnm10对m（0，+）恒成立，mlnm1=0，解得m=122已知椭圆C：的离心率为，点在椭圆C上（）求椭圆C的方程；（）设动直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O为圆心的圆，满足此圆与l相交两点P1，P2（两点均不在坐标轴上），且使得直线OP1，OP2的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由【考点】KQ：圆锥曲线的定值问题；K3：椭圆的
32、标准方程【分析】（）利用离心率列出方程，通过点在椭圆上列出方程，求出a，b然后求出椭圆的方程（）当直线l的斜率不存在时，验证直线OP1，OP2的斜率之积当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+m与椭圆联立，利用直线l与椭圆C有且只有一个公共点，推出m2=4k2+1，通过直线与圆的方程的方程组，设P1（x1，y1），P2（x2，y2），结合韦达定理，求解直线的斜率乘积，推出k1k2为定值即可【解答】（本小题满分14分）（）解：由题意，得，a2=b2+c2，又因为点在椭圆C上，所以，解得a=2，b=1，所以椭圆C的方程为（）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为x2+y2=5证明如下：假设存在
33、符合条件的圆，并设此圆的方程为x2+y2=r2（r0）当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+m由方程组得（4k2+1）x2+8kmx+4m24=0，因为直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，所以，即m2=4k2+1由方程组得（k2+1）x2+2kmx+m2r2=0，则设P1（x1，y1），P2（x2，y2），则，设直线OP1，OP2的斜率分别为k1，k2，所以=，将m2=4k2+1代入上式，得要使得k1k2为定值，则，即r2=5，验证符合题意所以当圆的方程为x2+y2=5时，圆与l的交点P1，P2满足k1k2为定值当直线l的斜率不存在时，由题意知l的方程为x=2，此时，圆x2+y2=5与l的交点P1，P2也满足综上，当圆的方程为x2+y2=5时，圆与l的交点P1，P2满足斜率之积k1k2为定值2017年6月12日
