1、A级基础巩固1.已知圆的方程为x2+y2-2x+6y+8=0,则通过圆心的一条直线的方程是 ()A.2x-y-1=0 B.2x-y+1=0C.2x+y+1=0 D.2x+y-1=0解析:因为圆的方程为x2+y2-2x+6y+8=0,所以圆心坐标为(1,-3),代入选项中的方程可知仅C项符合.答案:C2.已知点M是圆C:x2+y2=1上的动点,点N(2,0),则线段MN的中点P的轨迹方程是 ()A.(x-1)2+y2=14 B.(x-1)2+y2=12C.(x+1)2+y2=12 D.(x+1)2+y2=14解析:设线段MN的中点P的坐标为(x,y),则点M的坐标为(2x-2,2y).因为点M是
2、圆C:x2+y2=1上的动点,所以(2x-2)2+(2y)2=1,即(x-1)2+y2=14.答案:A3.已知圆C:(x-a)2+(y-b)2=1过点A(1,0),则圆C的圆心的轨迹是()A.点 B.直线C.线段 D.圆解析:因为圆C:(x-a)2+(y-b)2=1过点A(1,0),所以(1-a)2+(0-b)2=1,即(a-1)2+b2=1,所以圆C的圆心的轨迹是以(1,0)为圆心,1为半径的圆.答案:D4.若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以(2,-4)为圆心,4为半径的圆,则F=4.解析:由题意,知D=-4,E=8,半径r=(-4)2+82-4F2=4,解得F=4.5.关于x,y的
3、方程x2+y2+2ax-2ay=0表示的圆,有下列说法:圆心在直线y=-x上;圆心在x轴上;过原点;半径为2a.其中正确的是(填序号).解析:将圆的方程化为标准方程为(x+a)2+(y-a)2=2a2,可知圆心为(-a,a),半径为2|a|,故正确.6.已知圆C: x2+y2+Dx+Ey+3=0,其圆心在直线x+y-1=0上且在第二象限,半径为2,求圆的一般方程.解:由题意知,圆心C-D2,-E2.因为圆心在直线x+y-1=0上,所以-D2-E2-1=0,即D+E=-2.又因为半径r=D2+E2-122=2,所以D2+E2=20.由可得D=2,E=-4或D=-4,E=2.又因为圆心在第二象限,
4、所以-D20,即D0,E0.所以D=2,E=-4.所以圆的一般方程为x2+y2+2x-4y+3=0.B级拓展提高7.关于x,y的方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆的充要条件是()A.14m1B.m1C.m1解析:由题意,x2+y2+4mx-2y+5m=0可化为(x+2m)2+(y-1)2=4m2-5m+1.当方程表示圆时,4m2-5m+10,即(4m-1)(m-1)0,解得m1.答案:B8.已知圆C:x2+y2+2x+ay-3=0(a为实数)上任意一点关于直线l:x-y+2=0的对称点都在圆C上,则a=-2.解析:由题意可知直线l:x-y+2=0过圆心-1,-a2,所以-1+a2+2
5、=0,解得a=-2.9.已知圆x2+y2=4上一定点A(2,0),点B(1,1)为圆内一点,P,Q为圆上的动点.(1)求线段AP中点的轨迹方程;(2)若PBQ=90,求线段PQ中点的轨迹方程.解:(1)设线段AP的中点M的坐标为(x,y),点P的坐标为(x0,y0),因为x=2+x02,y=0+y02,所以x0=2x-2,y0=2y.因为点P(x0,y0)在圆x2+y2=4上,所以(2x-2)2+(2y)2=4,所以(x-1)2+y2=1.(2)设线段PQ的中点为N(x,y),在RtPBQ中,|PN|=|BN|,设O为坐标原点,连接ON(图略),则ONPQ,所以|OP|2=|ON|2+|PN|
6、2=|ON|2+|BN|2,所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.10.已知点A(-1,0),B(3,0),C(0,3).(1)若直线l经过A,C两点,求直线l的方程;(2)若圆G经过A,B,C三点,求圆G的方程. 解:(1)若直线l经过A,C两点,则由截距式求得直线AC的方程为x-1+y3=1,即3x-y+3=0.(2)若圆G经过A,B,C三点,设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则有1+0-D+0+F=0,9+0+3D+0+F=0,0+3+0+3E+F=0,解得D=-2,E=0,F=-3,故圆G的方程为x2+y2-2x
7、-3=0.C级挑战创新11.多选题若圆x2+y2-2x-4y=0的圆心到直线x-y+a=0的距离为22,则a的值为 ()A. 2 B.12C. 0 D.-2解析:由题意,知圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=5,所以圆心为(1,2).由圆心(1,2)到直线x-y+a=0的距离为22,得|1-2+a|12+(-1)2=22,解得a=2或a=0.答案:AC12.多空题已知关于x,y的方程x2+y2-4x-2y+m=0,若方程表示圆,则圆心坐标为(2,1),实数m的取值范围为(-,5).解析:x2+y2-4x-2y+m=0可化为(x-2)2+(y-1)2=5-m,所以圆心为(2,1).因为方程表示圆,所以5-m0,即m5.
