1、章末复习课要点训练一三角函数的概念（1）在平面直角坐标系中,设任意角终边上任意一点P(x,y),它与原点的距离为r=x2+y2,则sin =yr,cos =xr,tan =yx.（2）任意角的三角函数值只与这个角的终边位置有关,而与点P在终边上的位置无关.角与三角函数值的对应关系是多值对应关系,给定一个角,它的三角函数值是唯一确定的;反过来,给定一个三角函数值,有无穷多个角和它对应.(3)三角函数值在各象限的符号有如下记忆口诀:一全正、二正弦、三正切、四余弦.依据相应三角函数值的符号可以确定角终边所在的象限.1.若角的终边上一点P(a,-1)(a0),且tan =-a,则sin 的值是()A.
2、22B.-22C.22D.-12解析:由三角函数的定义,得tan =-1a=-a,所以a2=1,所以a=1,当a=1时,sin =-22;当a=-1时,sin =-22.答案:B2.若-20,则点P(tan ,cos )位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:因为-20,所以tan 0,所以点P(tan ,cos )位于第二象限.答案:B3.已知点P(-2,y)是角终边上的一点,且sin =-55,求cos 的值.解:因为sin =-55,所以角终边与单位圆的交点(cos ,sin )为(255,-55).又因为点P(-2,y)是角终边上的一点,所以cos 0,所以co
3、s =-255.要点训练二同角三角函数的基本关系与诱导公式三角函数式的化简、求值与证明问题的依据主要是同角三角函数的关系式及诱导公式.(1)化简的顺序是:先用诱导公式化为同角三角函数,再用同角三角函数关系化简.(2)用同角三角函数关系化简时,有两种思路:化弦法:当切函数的项比较少时,常常化弦达到化简的目的;化切法:当弦函数的项比较少或者正、余弦的解析式是齐次式时,常常化切,便于化简.1.若sin cos =18,且42,则sin -cos 的值为()A.-43B.34 C.32D.-32解析:因为4cos .又因为sin cos =18,所以(sin -cos )2=sin2-2sin cos
4、 +cos2=1-218=34.所以sin -cos =32.答案:C2.(北京高考)在平面直角坐标系xOy中,角与角均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sin =13,则sin =13.解析:由角与角的终边关于y轴对称,知+=+2k(kZ),所以=2k+-(kZ),所以sin =sin =13.3.若是第四象限角,且sin+4=35,则tan-4=-43.解析:将-4转化为(+4)-2.由题意,知Sin(+4)=35,是第四象限角,所以cos(+4)0,所以cos(+4)=1-sin2(+4)=45.Tan(-4)=tan(+4-2)=-1tan(+4)=-cos(+4)sin(+4)
5、=-4535=-43.4.已知2+tan(-)1+tan(2-)=-4,求(sin -3cos )(cos -sin )的值.解:2+tan(-)1+tan(2-)=2+tan1-tan=-4,解得tan =2.(sin -3cos )(cos -sin )=sin cos -sin2-3cos2+3sin cos =4sincos-sin2-3cos2sin2+cos2=4tan-tan2-3tan2+1=42-22-322+1=15.要点训练三三角恒等变换中的求值问题三角函数求值主要有三种类型,即:(1)给角求值:一般给出的角都是非特殊角,从表面看较难,但仔细观察就会发现这类问题中的角与特
6、殊角都有一定的关系,如和或差为特殊角,当然还有可能需要运用诱导公式.(2)给值求值:即给出某些角的三角函数式的值,求另外一些三角函数的值,这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角,合理拆、配角.当然在这个过程中要注意角的范围.(3)给值求角:本质上还是“给值求值”,只不过往往求出的是特殊角的值,在求出角之前还需结合函数的单调性确定角,必要时还要讨论角的范围.1.(全国卷)若0,2,2sin 2=cos 2+1,则sin =()A.15 B.55 C.33 D.255解析:因为2sin 2=cos 2+1,所以4sin cos =2cos2.因为(0,2),所以cos 0,sin 0,所以2si
7、n =cos .又因为sin 2+cos 2=1,所以5sin 2=1,所以sin 2=15,所以sin =55,故选B.答案:B2.(全国卷)若sin +cos =1,cos +sin =0,则sin(+)=-12.解析:因为sin +cos =1,cos +sin =0,所以2+2,得1+2(sin cos +cos sin )+1=1,所以sin cos +cos sin =-12,所以sin(+)=-12.3.在ABC中,若cos A=13,则sin2B+C2+cos 2A等于-19.解析:在ABC中,B+C2=2-A2,所以sin2B+C2+cos 2A=sin2(2-A2)+cos
8、 2A=cos2A2+cos 2A=1+cosA2+2cos2A-1=-19.4.已知tan =-13,cos =55,(0,).(1)求tan(+)的值;(2)求函数f(x)=2sin(x-)+cos(x+)的最大值.解:(1)由cos =55,(0,),得sin =255,tan =2,所以tan(+)=tan+tan1-tantan=-13+21-(-13)2=1.(2)因为tan =-13,(0,),所以sin =110,cos =-310 .所以f(x)=2sin xcos -2cos xsin +cos xcos -sin xsin =-355sin x-55cos x+55cos
9、 x-255sin x=-5sin x.所以f(x)的最大值为5.要点训练四三角函数的性质1.求三角函数周期的方法(1)利用周期函数的定义;(2)利用公式:y=Asin(x+)和y=Acos(x+)的最小正周期为2|,y=tan(x+)的最小正周期为|;(3)利用图象:对含绝对值的三角函数的周期问题,通常要作出图象,结合图象进行判断.2.求三角函数单调区间的两种方法(1)代换法:就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角u(或t),利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间.(2)图象法:函数的单调性表现在图象上是从左到右,图象上升趋势的区间为单调递增区间,图象下降趋势的区间为
10、单调递减区间,因此作出三角函数的图象,结合图象易求它的单调区间.提醒:求解三角函数的单调区间时,若x的系数为负应先化为正,同时不要忘记考虑函数自身的定义域.3.三角函数的对称性、奇偶性(1)正弦函数、余弦函数的图象既是中心对称图形,又是轴对称图形,正切函数的图象只是中心对称图形,应熟记它们的对称轴和对称中心.(2)若f(x)=Asin(x+)为偶函数,则=2+k(kZ);若f(x)=Asin(x+)为奇函数,则=k(kZ).(3)若求f(x)=Asin(x+)的对称轴,只需令x+=2+k(kZ),求x;若求f(x)=Asin(x+)的对称中心的横坐标,只需令x+=k(kZ),求x即可.1.(天
11、津高考)将函数y=sin2x+5的图象向右平移10个单位长度,所得图象对应的函数()A.在区间-4,4上单调递增B.在区间-4,0上单调递减C.在区间4,2上单调递增D.在区间2,上单调递减解析:将函数y=sin(2x+5)的图象向右平移10个单位长度,得到y=sin2(x-10)+5=sin 2x的图象.由2k-22x2k+2,得k-4xk+4,所以函数y=sin 2x的单调递增区间为k-4,k+4,kZ.取k=0,得y=sin 2x在区间-4,4上单调递增.故选A.答案:A2.函数y=cos2x+sin x-6x6的最大值与最小值之和为()A.32 B.2 C.0 D.34解析:y=1-s
12、in2x+sin x=-(sin x-12)2+54,因为-6x6,所以-12sin x12.当sin x=-12时,ymin=14;当sin x=12时,ymax=54,所以ymin+ymax=14+54=32.答案:A3.若函数f(x)=3sin2x-3的图象为C.图象C关于直线x=1112对称;函数f(x)在区间-12,512上是增函数;由y=3sin 2x的图象向右平移3个单位长度可以得到图象C.则以上三个结论中,正确结论的个数是()A.0 B.1C.2 D.3解析:f(1112)=3sin(116-3)=3sin 32=-3,所以直线x=1112为对称轴,正确;由-12x512,得-
13、22x-30,所以2sin -3cos =0,所以2sin =3cos .又因为sin2+cos2=1,所以cos =213,所以sin(+4)sin2+cos2+1=22(sin+cos)(sin+cos)2+(cos2-sin2)=222cos=268.3.证明:3sin240-1cos240=32sin 10.证明:因为左边=(3)2sin240-1cos240=(3cos40)2-sin240sin240cos240=(3cos40+sin40)(3cos40-sin40)sin240cos240=422(32cos40+12sin40)(32cos40-12sin40)(2sin40
14、cos40)2=16sin100sin20sin280=16sin80sin20sin280=16sin20sin80=32sin10cos10cos10=32sin 10=右边.所以原等式成立.要点训练六数形结合思想三角函数的图象既是研究三角函数性质的基础,又是三角函数性质的具体体现,充分体现了数形结合思想.本章在三角函数图象的变换、解析式的确定以及通过对图象的描绘、观察来讨论函数的有关性质中,均有数形结合思想的体现.1.(全国卷)函数y=Asin(x+)的部分图象如图所示,则()A.y=2sin2x-6B.y=2sin2x-3C.y=2sinx+6D.y=2sinx+3解析:根据题图上点的
15、坐标及函数最值点,确定A,与的值.由题图,知T2=3-(-6)=2,故T=,因此=2=2.又因为题图的一个最高点的坐标为(3,2),所以A=2,且23+=2k+2(kZ),故=2k-6(kZ),结合选项可知y=2sin(2x-6).故选A.答案:A2.(天津高考)已知函数f(x)=Asin(x+)(A0,0,|0,0,|0,0),x0,4的图象,且图象的最高点为S(3,23),赛道的后一部分为折线段MNP,为保证参赛运动员的安全,限定MNP=120.求A,的值和M,P两点间的距离.解:依题意,有A=23,T4=3,所以T=12.又因为T=2,所以=6.所以y=23sin 6x.当x=4时,y=23sin 23=3,所以点M的坐标为(4,3).又因为点P的坐标为(8,0),所以|MP|=(8-4)2+(0-3)2=5(km).