1、2015-2016学年福建省三明市清流一中高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（本题共12题，每题5分，共60分）1复数的共轭复数是（）ABCiDi2用三段论推理：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a20”，你认为这个推理（）A大前提错误B小前提错误C推理形式错误D是正确的3设有一个回归方程为=2+3x，变量x增加一个单位时，则（）Ay平均增加2个单位By平均增加3个单位Cy平均减少2个单位Dy平均减少3个单位4点M的直角坐标是，则点M的极坐标为（）ABCD5执行如图所示的程序框图，那么输出的S的值为（）A1B4CD6命题“三角形是最多只有一个角为钝角”的否定是（）A有两个角为钝角
2、B有三个有为钝角C至少有两个角为钝角D没有一个角为钝角7将参数方程化为普通方程为（）Ay=x2By=x+2Cy=x2（2x3）Dy=x+2（0y1）8极坐标方程cos=2sin2表示的曲线为（）A一条射线和一个圆B两条直线C一条直线和一个圆D一个圆9以下关于线性回归的判断，正确的有（）个若散点图中所有点都在一条直线附近，则这条直线为回归直线散点图中的绝大多数点都线性相关，个别特殊点不影响线性回归，如图中的A，B，C点已知回归直线方程为=0.50x0.81，则x=25时，y的估计值为11.69回归直线方程的意义是它反映了样本整体的变化趋势A0个B1个C2个D3个10若P=+，Q=+（a0），则P
3、，Q的大小关系是（）APQBP=QCPQD由a的取值确定11如果复数Z满足|Z+i|+|Zi|=2，那么|Z+i+1|最小值是（）A1BC2D12已知：x（0，+），观察下列式子：类比有，则a的值为（）AnnBnCn2Dn+1二填空题（本题共4题，每题5分，共20分）13若复数（1+ai）2（i为虚数单位，aR）是纯虚数，则复数1+ai的模是 14在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（参数tR），圆C的参数方程为（参数0，2），则圆C的圆心坐标为，圆心到直线l的距离为15在周长一定的所有矩形中，正方形的面积最大；在周长一定的矩形和圆中，圆的面积最大将这个结论类比到空间，可以得到的结论是
4、16在极坐标系中，点A的极坐标是（1，），点P是曲线C：=2sin上的动点，则|PA|的最大值为三、简答题（本大题共六题，满分70分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）17设复数z满足|z|=，且（1+2i）z（i是虚数单位）在复平面上对应的点在直线y=x上，求z18在一次飞机航程中调查男女乘客的晕机情况，男女乘客晕机与不晕机的人数如图所示 （1）填写22列联表；（2）判断是否有97.5%的把握认为晕机与性别有关？说明你的理由：参考公式：k2=（下面的临界值表供参考）P（K2k）0.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k0.7081.3232.072
5、2.7063.8415.0246.6357.87910.828（1）根据所给的二维条形图得到列联表，晕机不晕机合计女男合计19已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（为常数）（1）求直线l和圆C的普通方程；（2）若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围20已知a，b，c是全不相等的正实数，求证：321某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：（1）sin213+cos217sin 13cos 17；（2）sin215+cos215sin 15cos 15；（3）sin218+cos212sin 18cos 12；（4）sin2（18）+cos248sin（
6、18）cos 48；（5）sin2（25）+cos255sin（25）cos 55（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论22已知曲线C的极坐标方程为24cos（）+6=0，求：（）曲线C的普通方程；（）设点P（x，y）是曲线C上任意一点，求xy的最大值和最小值2015-2016学年福建省三明市清流一中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12题，每题5分，共60分）1复数的共轭复数是（）ABCiDi【考点】复数代数形式的混合运算【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，复数化简为a
7、+bi（a，bR）的形式，然后求出共轭复数，即可【解答】解：复数=i，它的共轭复数为：i故选C2用三段论推理：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a20”，你认为这个推理（）A大前提错误B小前提错误C推理形式错误D是正确的【考点】演绎推理的基本方法【分析】要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提，小前提和结论是否都正确，根据三个方面都正确，得到结论【解答】解：任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a20，大前提：任何实数的平方大于0是不正确的，0的平方就不大于0故选A3设有一个回归方程为=2+3x，变量x增加一个单位时，则（）Ay平均增加2个单位By平均增加3个单位Cy平均减少
8、2个单位Dy平均减少3个单位【考点】回归分析【分析】根据所给的线性回归方程，看出当自变量增加一个单位时，函数值增加3个单位，得到结果【解答】解：回归方程为=2+3x，变量x增加一个单位时变换为x+1，y1=2+3（x+1）y1y=3，即平均增加3个单位，故选B4点M的直角坐标是，则点M的极坐标为（）ABCD【考点】极坐标刻画点的位置【分析】利用cos=x，sin=y，2=x2+y2，先将点M的直角坐标是后化成极坐标即可【解答】解：由于2=x2+y2，得：2=4，=2，由cos=x得：cos=，结合点在第二象限得：=，则点M的极坐标为故选C5执行如图所示的程序框图，那么输出的S的值为（）A1B4
9、CD【考点】程序框图【分析】根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦不满足条件就退出循环，从而到结论【解答】解：由题意，模拟执行程序，可得S=1，k=1满足条件k2016，S=4，k=2满足条件k2016，S=，k=3满足条件k2016，S=，k=4满足条件k2016，S=1，k=5观察规律可知，S的取值周期为4，由2016=5044，可知满足条件k2016，S=，k=2015满足条件k2016，S=，k=2016不满足条件k2016，退出循环，输出S的值为故选：D6命题“三角形是最多只有一个角为钝角”的否定是（）A有两个角为钝角B有三个有为钝角C至少有两个角为钝角D没有
10、一个角为钝角【考点】命题的否定【分析】根据命题否定即可得到结论【解答】解：最多只有一个角为钝角的否定是：至少有两个角为钝角，故选：C7将参数方程化为普通方程为（）Ay=x2By=x+2Cy=x2（2x3）Dy=x+2（0y1）【考点】参数方程化成普通方程【分析】消去参数化普通方程为 y=x2，再由 0sin21，可得2x3，由此得到结论【解答】解：将参数方程消去参数化普通方程为 y=x2，由 0sin21，可得2x3故选C8极坐标方程cos=2sin2表示的曲线为（）A一条射线和一个圆B两条直线C一条直线和一个圆D一个圆【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】将极坐标方程化为直角坐标方程，就可以得
11、出结论【解答】解：极坐标方程cos=2sin2可化为：cos=4sincoscos=0或=4sin或x2+y24y=0极坐标方程cos=2sin2表示的曲线为一条直线和一个圆故选C9以下关于线性回归的判断，正确的有（）个若散点图中所有点都在一条直线附近，则这条直线为回归直线散点图中的绝大多数点都线性相关，个别特殊点不影响线性回归，如图中的A，B，C点已知回归直线方程为=0.50x0.81，则x=25时，y的估计值为11.69回归直线方程的意义是它反映了样本整体的变化趋势A0个B1个C2个D3个【考点】命题的真假判断与应用；线性回归方程【分析】利用线性回归方程的概念及意义对四个选项逐一判断即可【
12、解答】解：能使所有数据点都在一条直线附近的直线不止一条，而回归方程的定义知，只有按最小二乘法求得回归系数a，b得到的直线=ax+b才是回归方程，不对；散点图中的绝大多数点都线性相关，个别特殊点不会影响线性回归，是正确，故正确；将x=25代入=0.50x0.81，解得=11.69，正确；散点图中所有点都在回归直线的附近，因此回归直线方程反映了样本整体的变化趋势，故正确；综上所述，正确的有3个故选：D10若P=+，Q=+（a0），则P，Q的大小关系是（）APQBP=QCPQD由a的取值确定【考点】分析法和综合法【分析】本题考查的知识点是证明的方法，观察待证明的两个式子P=+，Q=+，很难找到由已知
13、到未知的切入点，故我们可以用分析法来证明【解答】解：要证PQ，只要证P2Q2，只要证：2a+7+22a+7+2，只要证：a2+7aa2+7a+12，只要证：012，012成立，PQ成立故选C11如果复数Z满足|Z+i|+|Zi|=2，那么|Z+i+1|最小值是（）A1BC2D【考点】复数的代数表示法及其几何意义【分析】直接利用复数模的几何意义求出z的轨迹然后利用点到直线的距离公式求解即可【解答】解：|Z+i|+|Zi|=2点Z到点A（0，1）与到点B（0，1）的距离之和为2点Z的轨迹为线段AB而|Z+i+1|表示为点Z到点（1，1）的距离数形结合，得最小距离为1故选A12已知：x（0，+），观
14、察下列式子：类比有，则a的值为（）AnnBnCn2Dn+1【考点】类比推理【分析】根据题意，对给出的等式变形，类比可得结论【解答】解：根据题意，对给出的等式变形可得：类比有a=nn，故选A二填空题（本题共4题，每题5分，共20分）13若复数（1+ai）2（i为虚数单位，aR）是纯虚数，则复数1+ai的模是 【考点】复数求模【分析】纯虚数是实部为0，虚部不为0，先求出代入模长计算公式即可【解答】解：（1+ai）2=1a2+2ai是纯虚数，1a2=0且2a0，a=1，1+ai=1i，1+ai的模=故答案为14在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（参数tR），圆C的参数方程为（参数0，2），
15、则圆C的圆心坐标为（0，2），圆心到直线l的距离为2【考点】参数方程化成普通方程【分析】消去参数分别求出圆和直线的普通方程，利用点到直线的距离公式进行求解即可【解答】解：直线l的参数方程为（参数tR）的普通 方程为x+y=6，即x+y6=0，圆C的参数方程为（参数0，2）的普通方程为x2+（y2）2=4，圆心坐标C（0，2），半径R=2，则圆心到直线l的距离d=2，故答案为：（0，2），215在周长一定的所有矩形中，正方形的面积最大；在周长一定的矩形和圆中，圆的面积最大将这个结论类比到空间，可以得到的结论是在表面积一定的所有长方体中，正方体的体积最大；在表面积一定的长方体和球中，球的体积最大【
16、考点】类比推理【分析】考察类比推理，要求找准平面图形与空间几何体的对应关系及平面中几何量与空间中几何量的对应关系一般平面中的点、线、面分别对应空间中的线、面、体；平面中的长度、面积分别对应空间中的面积、体积【解答】解：平面中的矩形、正方形、圆，对应空间中的长方体、正方体、球，平面中的长度、面积对应空间中的面积、体积故答案为：在表面积一定的所有长方体中，正方体的体积最大；在所有表面积一定的长方体和球中，球的体积最大16在极坐标系中，点A的极坐标是（1，），点P是曲线C：=2sin上的动点，则|PA|的最大值为【考点】简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化【分析】把极坐标方程化为直角坐标
17、方程，求出圆心和半径，利用两点间的距离公式求出CA的值，则CA加上圆的半径，即为所求【解答】解：点A的极坐标是（1，），点A的直角坐标是（1，0），曲线C：=2sin 即 2=2sin，化为直角坐标方程为 x2+（y1）2=1，表示以C（0，1）为圆心，以1为半径的圆由|CA|=，|PA|的最大值为 +1，故答案为三、简答题（本大题共六题，满分70分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）17设复数z满足|z|=，且（1+2i）z（i是虚数单位）在复平面上对应的点在直线y=x上，求z【考点】复数求模；复数的代数表示法及其几何意义【分析】设出复数z通过|z|=，且（1+2i）z（i是虚数单位）在
18、复平面上对应的点在直线y=x上，列出方程组，求出复数z即可【解答】（本题满分12分）解：设z=x+yi（x，yR），|z|=，x2+y2=10，而（1+2i）z=（1+2i）（x+yi）=（x2y）+（2x+y）i，又（1+2i）z在复平面上对应的点在直线y=x上，x2y=2x+y，即，或；即z=（3i）18在一次飞机航程中调查男女乘客的晕机情况，男女乘客晕机与不晕机的人数如图所示 （1）填写22列联表；（2）判断是否有97.5%的把握认为晕机与性别有关？说明你的理由：参考公式：k2=（下面的临界值表供参考）P（K2k）0.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.
19、001k0.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（1）根据所给的二维条形图得到列联表，晕机不晕机合计女102030男107080合计2090100【考点】独立性检验【分析】（1）根据所给的二维条形图，即可得到列联表中的数据；（2）根据列联表所给的数据计算观测值，对照数表即可得出结论【解答】解：（1）根据所给的二维条形图填写列联表，如下；晕机不晕机合计女102030男107080合计2090100（2）根据列联表所给的数据代入观测值的公式，得6.375.024，所以有10.025=97.5%的把握认为晕机与性别有关19已知直线l的参数方程为（t
20、为参数），圆C的参数方程为（为常数）（1）求直线l和圆C的普通方程；（2）若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围【考点】圆的参数方程；直线的参数方程【分析】（1）消去参数，把直线与圆的参数方程化为普通方程；（2）求出圆心到直线的距离d，再根据直线l与圆C有公共点dr即可求出【解答】解：（1）直线l的参数方程为，消去t可得2xy2a=0；圆C的参数方程为，两式平方相加可得x2+y2=16；（2）圆心C（0，0），半径r=4由点到直线的距离公式可得圆心C（0，0）到直线L的距离d=直线L与圆C有公共点，d4，即4，解得2a220已知a，b，c是全不相等的正实数，求证：3【考点】基本不等式【分析
21、】根据a，b，c全不相等，推断出全不相等，然后利用基本不等式求得2，2，2，三式相加整理求得3，原式得证【解答】解：a，b，c全不相等，全不相等2，2，2三式相加得，63即321某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：（1）sin213+cos217sin 13cos 17；（2）sin215+cos215sin 15cos 15；（3）sin218+cos212sin 18cos 12；（4）sin2（18）+cos248sin（18）cos 48；（5）sin2（25）+cos255sin（25）cos 55（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（2）根据
22、（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论【考点】数学归纳法；归纳推理【分析】方法一：（1）选择式，由倍角公式及特殊角的三角函数值即可得解（2）发现推广三角恒等式为sin2+cos2（30）sin cos（30）=，由三角函数中的恒等变换应用展开即可证明方法二：（1）同方法一（2）发现推广三角恒等式为sin2+cos2（30）sin cos（30）=由降幂公式，三角函数中的恒等变换应用展开即可证明【解答】解：（1）选择（2）式，计算如下：sin215+cos215sin 15cos 15=1sin 30=1=（2）三角恒等式为sin2+cos2（30）sin cos（30
23、）=证明如下：法一：sin2+cos2（30）sin cos（30）=sin2+（cos 30cos +sin 30sin ）2sin （cos 30cos +sin 30sin ）=sin2+cos2+sin cos +sin2sin cos sin2=sin2+cos2=法二：sin2+cos2（30）sin cos（30）=+sin （cos 30cos +sin 30sin ）=cos 2+（cos 60cos 2+sin 60sin 2）sin cos sin2=cos 2+cos 2+sin 2sin 2（1cos 2）=1cos 2+cos 2=22已知曲线C的极坐标方程为24c
24、os（）+6=0，求：（）曲线C的普通方程；（）设点P（x，y）是曲线C上任意一点，求xy的最大值和最小值【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【分析】（I）曲线C的极坐标方程为24cos（）+6=0，把代入即可得出（II）设=cos， =sin，可得xy=（2+cos）（2+sin）=4+2（cos+sin）+2cossin设t=cos+sin，则t=，t，可得xy=3+2t+t2=+1再利用二次函数的单调性即可得出【解答】解：（I）原方程可化为24+6=0，即24cos4sin+6=0把代入可得x2+y24x4y+6=0，即（x2）2+（y2）2=2，此方程即为所求普通方程（II）设=cos， =sin，则xy=（2+cos）（2+sin）=4+2（cos+sin）+2cossin设t=cos+sin，则t=，t，t2=1+2cossin，从而2cossin=t21xy=3+2t+t2=+1当t=时，xy取得最小值1；当t=时，xy取得最大值92016年7月23日
