1、第16讲(文)概率1(2014江西高考)掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于()A. B. C. D.【解析】点数之和为5的基本事件有(1,4)，(4,1)，(2,3)，(3,2)4种，P.【答案】B2(2014湖南高考)在区间2,3上随机选取一个数X，则X1的概率为()A. B. C. D.【解析】2,3的区间长度为5，满足x1的区间长度为3，p，故选B.【答案】B3(2014辽宁高考)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB2，BC1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是()A. B. C. D.【解析】半圆的面积1，SABCD2，P，故选B.【答案】B4(2014
2、陕西高考)某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：赔付金额(元)01 0002 0003 0004 000车辆数(辆)500130100150120(1)若每辆车的投保金额均为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率【解】(1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P(A)0.15，P(B)0.12.由于投保金额为2 800元，
3、赔付金额大于投保金额对应的情形是3 000元和4 000元，所以其概率为P(A)P(B)0.150.120.27.(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.11 000100辆，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.212024辆，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为0.24，由频率估计概率得P(C)0.24. 从近三年高考来看，该部分高考命题的热点考向为：1古典概型古典概型是高考重点考查的概率模型，常与统计结合起来考查既可以以选择题、填空题的形式考查，属中档题也可以以解答题的形式考查，也属于中档题2几何概型
4、几何概型是新课标新增内容，预计今后会成为新课标高考的增长点，应引起高度重视易与解析几何、线性规划等知识交汇命题，多以选择题、填空题的形式出现，属中、低档题目3互斥事件与对立事件的概率2015年高考对本讲内容的考查，小题可能直接考查等可能事件概率的求法；大题可能以对事件的分解，利用分类讨论或对立事件来解决问题为主高考试题的考查主观、客观题均有，形式上主要是以实际应用题为主，结合基础知识和方法进行运算【例1】(2014山东高考)海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.地
5、区ABC数量50150100(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率【解】(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是：501,1503,1002.所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别为1,3,2.(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为A；B1，B2，B3；C1，C2.则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：A，B1，A，B2，A，B3，A，C1，A，C2，B1，B2，B1，B3，B1，C1，B1，C2，B2，B3，B2，C1，B2，C2，B
6、3，C1，B3，C2，C1，C2，共15个每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的记事件D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的基本事件有B1，B2，B1，B3，B2，B3，C1，C2，共4个所以P(D)，即这2件商品来自相同地区的概率为.【规律方法】利用古典概型求事件概率的关键及注意点：(1)关键：正确列举出基本事件的总数和待求事件包含的基本事件数(2)注意点：对于较复杂的题目，列出事件数时要正确分类，分类时应不重不漏当直接求解有困难时，可考虑求其对立事件的概率创新预测1(2014北京东城区质检)一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号
7、，某月的产量如下表(单位：辆)：轿车A轿车B轿车C舒适型100150z标准型300450600按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆(1)求z的值；(2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0，8.2.把这8辆轿车的得分看作一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率【解】(1)设该厂本月生产轿车为n辆，由题意得，所以n2 000
8、，z2 000100300150450600400.(2)设所抽样本中有m辆舒适型轿车，因为有分层抽样，所以，解得m2，即抽取了2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车，分别记作S1，S2；B1，B2，B3，则从中任取2辆的所有基本事件为(S1，B1)，(S1，B2)，(S1，B3)，(S2，B1)，(S2，B2)，(S2，B3)，(S1，S2)，(B1，B2)，(B2，B3)，(B1，B3)，共10个其中至少有1辆舒适型轿车的基本事件有7个：(S1，B1)，(S1B2)，(S1，B3)，(S2，B1)，(S2，B2)，(S2，B3)，(S1，S2)，所以从中任取2辆，至少有1辆舒适型轿车的概率为.(3
9、)样本的平均数(9.48.69.29.68.79.39.08.2)9，那么与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的数为9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0这6个数，又总的个数为8，所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为0.75.【例2】(1)(2014山东临沂质检)若在区间5,5内任取一个实数a，则使直线xya0与圆(x1)2(y2)22有公共点的概率为()A.B.C. D.(2)(2013安徽合肥质检)在棱长为3的正方体ABCDA1B1C1D1内任取一点P，则点P到正方体各面的距离都不小于1的概率为()A. B.C. D.(3)(2014重庆高考)某校早上800开始上课
10、，假设该校学生小张与小王在早上730750之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为_(用数字作答)【解析】(1)若直线与圆有公共点，则圆心(1，2)到直线的距离d，解得1a3，又因为5a5，所以由几何概型的概率计算公式得所求概率P，故选B.(2)正方体中到各面的距离不小于1的点的集合是一个中心与原正方体中心重合，且棱长为1的正方体，该正方体的体积是V1131，而原正方体的体积为V3327，故所求的概率为P.故选A.(3)设小张与小王的到校时间分别为700后第x分钟，第y分钟，根据题意可画出图形，如图所示，则总事件所占的面积为(5030)2400.
11、小张比小王至少早5分钟到校表示的事件Ax，y)|yx5,30x50,30y50，如图中阴影部分所示，阴影部分所占的面积为1515，所以小张比小王至少早5分钟到校的概率为P(A).【答案】(1)B(2)A(3)【规律方法】几何概型的适用条件及求解关键：(1)适用条件：当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解(2)关键：寻找构成试验的全部结果的区域和事件发生的区域，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域创新预测2(1)在区间0,9上随机取一实数x，则该实数x满足不等式1log2x2的概率为_(2)设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则
12、此点到坐标原点的距离大于2的概率是()A. B.C. D.【解析】(1)1log2x2，2x4.P.(2)根据题意作出满足条件的几何图形求解如图所示，正方形OABC及其内部为不等式组表示的区域D，且区域D的面积为4，而阴影部分表示的是区域D内到坐标原点的距离大于2的区域易知该阴影部分的面积为4.因此满足条件的概率是.【答案】(1)(2)D【例3】(预测题)一个袋中装有四个形状大小安全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求nm2的概
13、率【解】(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件共有1和2,1和3两个因此所求事件的概率P.(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果(m，n)有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个又满足条件nm2的事件为(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个，所以满足条件n
14、m2的事件的概率为P1.故满足条件nm2的事件的概率为1P11.【规律方法】互斥事件与对立事件的适用条件及注意点：1当所求事件情况较复杂时，一般要分类计算，即用互斥事件的概率加法公式或考虑其对立事件求解2在解决与互斥事件有关问题时，首先分清所求事件是由哪些事件组成的，是否具备互斥的条件，一个事件是由几个互斥事件组成的，做到不重、不漏3当所求事件含有“至少”“至多”或分类情况较多时，通常考虑用对立事件的概率公式求解创新预测3某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上
15、顾客数(人)x3025y10结算时间(分钟/人)11.522.53已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视为概率)【解】(1)由已知得25y1055，x3045，所以x15，y20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1.9(分钟)(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2，A3分别
16、表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”将频率视为概率得P(A1)，P(A2)，P(A3).因为AA1A2A3，且A1，A2，A3是互斥事件，所以P(A)P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3).故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.总结提升失分盲点1对于古典概型其关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，常用计数方法是列举法、列表法或画树状图法2几何概型与古典概型的区别是几何概型试验中的可能结果不是有限个，它的特点是试验结果在一个区域内均匀分布，因此它的概率与所在的区域的形状位
17、置无关，只与该区域的大小有关3对于含有“至少”“至多”型事件概型的求法，可考虑使用对立事件的概率答题指导1能正确区分事件的性质，能正确判断所求事件包含的基本事件，能用列举法计算概率2看到求概率问题，想到求复杂的互斥事件概率的方法方法规律1求复杂的互斥事件的概率的方法：直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件概率的加法公式计算；间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)1P()求得，特别是“至多”或“至少”型题目用间接法就会较简便2解答概率与统计的综合问题的关注点：(1)明确频率与概率的关系，频率可近似替代概率(2)此类问题中的概率模型多是古典概型，在求
18、解时，要明确基本事件的构成.概率计算中的分解思想在运算中对运算对象进行分解组合是运算能力的主要体现之一，高考中不少问题的计算都要依靠这种分解组合的能力，概率的综合计算是这个方面的典型问题之一概率计算题的核心环节就是对基本事件进行分拆，是互斥事件还是对立事件，需要在概率运算前准确把握【典例】(2014四川高考)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.(1)求“抽取的卡片上的数字满足abc”的概率；(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率【解】(1)由题意，(a，b
19、，c)所有的可能为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27种设“抽取的卡片上的数字满足abc”为事件A，则事件A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种所以P(A).因此，“抽取的卡片上的数字满足abc”的概率为.(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种所以P(B)1P()1.因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为.【规律感悟】古典概型的关键是计算基本事件的个数和所求的目标事件含有的基本事件的个数，在计算时要注意不要重复也不要遗漏根据实际情况对事件进行合理的分解，就能把复杂事件的概率计算转化为一个个简单事件的概率计算，如P(B)1P().