1、开卷速查(五十三)双曲线A级基础巩固练1设P是双曲线1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x2y0，F1，F2分别是双曲线的左，右焦点，若|PF1|3，则|PF2|()A1或5B6C7D9解析：由渐近线方程3x2y0，知.又b29，所以a2，从而|PF2|7，故选C.答案：C2与椭圆C：1共焦点且过点(1，)的双曲线的标准方程为()Ax21 By22x21C.1 D.x21解析：椭圆1的焦点坐标为(0，2)，(0,2)，设双曲线的标准方程为1(m0，n0)，则解得mn2，故选C.答案：C3已知双曲线1(a0，b0)的一个焦点与圆x2y210x0的圆心重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的标准方
2、程为()A.1B1C.1 D.1解析：由题意知圆心坐标为(5,0)，即c5，又e，a25，b220，双曲线的标准方程为1.答案：A4已知双曲线的方程为1(a0，b0)，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为c(其中c为双曲线的半焦距长)，则该双曲线的离心率为()A.BC. D.解析：不妨取双曲线的右焦点(c,0)，双曲线的渐近线为yx，即bxay0.则焦点到渐近线的距离为c，即bc，从而b2c2c2a2，所以c2a2，即e2，所以离心率e.答案：A5已知双曲线1与直线y2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为()A(1，) B(1，C(，)D，)解析：双曲线的一条渐近线方程为yx，则由题意得2.e
3、.答案：C6已知双曲线1(a0，b0)的左，右焦点分别为F1，F2，以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为()A.1B1C.1 D.1解析：依题意可知双曲线的一条渐近线方程为yx，c5，而双曲线1的渐近线方程为yx，所以因此，a3，b4.答案：C7已知双曲线1的一个焦点是(0,2)，椭圆1的焦距等于4，则n_.解析：因为双曲线的焦点(0,2)，所以焦点在y轴，所以双曲线的方程为1，即a23m，b2m，所以c23mm4m4，解得m1，所以椭圆方程为x21，且n0，椭圆的焦距为4，所以c2n14或1n4，解得n5或3(舍去)答案：58已知F为双曲线C：1的
4、左焦点，P，Q为C上的点若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则PQF的周长为_解析：由1，得a3，b4，c5，所以|PQ|4b162a，又因为A(5,0)在线段PQ上，所以P，Q在双曲线的一支上，且PQ所在直线过双曲线的右焦点，由双曲线定义知：所以|PF|QF|28.即PQF的周长是|PF|QF|PQ|281644.答案：449已知点F、A分别为双曲线1(a0，b0)的左焦点、右顶点，点B(0，b)满足0，则双曲线的离心率为_解析：依题意得F(c,0)，A(a,0)，又B(0，b)，则(c，b)，(a，b)由0，得b2ac，所以c2a2ac，1，即e1，e2e10，解得e.
5、又e1，所以e，即双曲线的离心率等于.答案：10已知双曲线1(a0，b0)的右焦点为F(c,0)(1)若双曲线的一条渐近线方程为yx且c2，求双曲线的方程；(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为，求双曲线的离心率解析：(1)双曲线的渐近线为yx，ab.c2a2b22a24.a2b22.双曲线方程为1.(2)设点A的坐标为(x0，y0)，直线AO的斜率满足()1.x0y0.依题意，圆的方程为x2y2c2，将代入圆的方程得3yyc2，即y0c，x0c.点A的坐标为.代入双曲线方程得1，即b2c2a2c2a2b2，又a2b2c2，将b2c2a2代
6、入式，整理得c42a2c2a40，348240，(3e22)(e22)0，e1，e，双曲线的离心率为.B级能力提升练11直线yx与双曲线C：1(a0，b0)左右两支分别交于M、N两点，F是双曲线C的右焦点，O是坐标原点，若|FO|MO|，则双曲线的离心率等于()A.B1C.1D2解析：由题意知|MO|NO|FO|，MFN为直角三角形，且MFN90，取左焦点为F0，连接NF0，MF0，由双曲线的对称性知，四边形NFMF0为平行四边形又MFN90，四边形NFMF0为矩形，|MN|F0F|2c，又直线MN的倾斜角为60，即NOF60，NMF30，|NF|MF0|c，|MF|c，由双曲线定义知|MF|
7、MF0|cc2a，e1.答案：B12已知点F是双曲线1(a0，b0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是()A(1,2) B(，2)C(，2)D(2,3)解析：由题意知，ABE为等腰三角形若ABE是锐角三角形，则只需要AEB为锐角根据对称性，只要AEF即可直线AB的方程为xc，代入双曲线方程得y2，取点A，则|AF|，|EF|ac，只要|AF|EF|就能使AEF，即ac，即b2a2ac，即c2ac2a20，即e2e20，即1e2.又e1，故1e2.答案：A13如图，双曲线1(a，b0)的两顶点为
8、A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2.若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D.(1)求双曲线的离心率e；(2)求菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值.解析：(1)由B2OF2的面积可得abc，a43a2c2c40.e43e210，e2.e.(2)设B2F1O，则sin，cos，e2.14直线l：ykx1与双曲线C：2x2y21的右支交于不同的两点A、B.(1)求实数k的取值范围；(2)是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由解析：(1)将直线l的方程ykx1代入双曲线C的方程2x2y21后，整理得(k22)x22kx20.依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，故解得k的取值范围是2k.(2)设A、B两点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则由式得假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(c,0)则由FAFB得：(x1c)(x2c)y1y20.即(x1c)(x2c)(kx11)(kx21)0.整理得(k21)x1x2(kc)(x1x2)c210.把式及c代入式化简得5k22k60.解得k或k(2，)(舍去)，可知存在k使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点