1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。二十利用导数解决实际问题(30分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.把长为12 cm的细铁丝截成两段,各自围成一个正三角形,那么这两个正三角形面积之和的最小值是()A. cm2B.4 cm2C.3 cm2D.2 cm2【解析】选D.设两段长分别为x cm, (12-x)cm,这两个正三角形的边长分别为 cm, cm,面积之和为S(x)=.令S(x)=0,解得x=6.则x=6是S(x)的极小值点,也是最小值点,所以S(x)min=S(6)=2 cm2.2.容积为
2、108升的底面为正方形的长方体无盖水箱,要使用料最省,它的高为()A.2分米B.3分米C.4分米D.6分米【解析】选B.设水箱的底面边长为a分米,高为h分米,则V=a2h=108,即h=.用料最省,即表面积最小.S表=S底+S侧=a2+4ah=a2+4a=a2+.S表=2a-,令S表=2a-=0,解得a=6,此时h=3分米.3.某工厂生产某种产品,已知该产品每吨的价格P(元/吨)与产量x(吨)之间的关系式为P=24 200-x2,且生产x吨的成本为R=50 000+200x(元),为使利润最大,则产量应为()A.200吨B.20吨C.150吨D.100吨【解析】选A.利润L=Px-R=x-50
3、 000-200x=-x3+24 000x-50 000(x0),L=-x2+24 000,令L=0,得x2=40 000.所以x=200.经检验,当x=200时利润最大.4.做一个容积为256 升的方底无盖水箱,那么用料最省时,它的底面边长为()A.5分米B.6分米C.7分米D.8分米【解析】选D.设底面边长为x分米,则高为h=,其表面积S=x2+4x=x2+,S=2x-,令S=0,则x=8.当0x8时,S8时,S0,故x=8时S最小.二、填空题(每小题5分,共10分)5.电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为y=x3-x2-40x(x0),为使耗电量最小,则其速度应定为_.【解析】由题设
4、知y=x2-39x-40,令y0,解得x40或x0)在40,+)上递增,在(0,40上递减.所以当x=40时,y取得最小值.由此得为使耗电量最小,则其速度应定为40.答案:406.如图所示,ABCD是边长为30 cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P,正好形成一个底面是正方形的长方体包装盒,若要包装盒容积V(cm3)最大,则EF的长为_cm.【解析】设包装盒的高为 h(cm),BF=x(cm),底面边长为a(cm),由已知得a=x,h=(15-x)(0x0;当x(10,15)时,V0;当x时,V0,所以当x=时,V
5、取得最大值,即体积最大时,圆锥的高为.8.某工厂有100名工人接受了生产1 000台某产品的总任务,每台产品由9个甲型装置和3个乙型装置配套组成,每个工人每小时能加工完成1个甲型装置或3个乙型装置.现将工人分成两组分别加工甲型和乙型装置.设加工甲型装置的工人有x人,他们加工完甲型装置所需时间为t1小时 ,其余工人加工完乙型装置所需时间为t2小时.设f(x)=t1+t2.(1)求f(x)的解析式,并写出其定义域;(2)当x等于多少时,f(x)取得最小值.【解析】(1)因为t1=,t2=,所以f(x)=t1+t2=+,定义域为x|1x99,xN*.(2)因为f(x)=+,所以f(x)=-+令f(x
6、)=0得,x=75,xN*,当x(0,75)时,f(x)0,故当x=75时,f(x)取得最小值.(35分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.若商品的年利润y(万元)与年产量x(万件)的函数关系式为y=-x3+27x+123(x0),则获得最大利润时的年产量为()A.1万件B.2万件C.3万件D.4万件【解析】选C.因为y=-x3+27x+123(x0),所以y=-3x2+27=-3(x+3)(x-3)(x0),所以y=-x3+27x+123在(0,3)上是增函数,在(3,+)上是减函数;故当x=3时,获得最大利润;故获得最大利润时的年产量为3万件.2.以长为10的线段AB为直径作半
7、圆,则它的内接矩形面积的最大值为()A.10B.15C.25D.50【解析】选C.设PN=x,PQ=2y则x2+y2=25,S=2xy,S2=4x2y2=4x2(25-x2)=100x2-4x4,设t=x2,则S2=100t-4t2,(S2)=100-8t.知当t=时,S2的最大值=252,即S的最大值为25.3.用长为30 cm的钢条围成一个长方体形状的框架(即12条棱长总和为30 cm),要求长方体的长与宽之比为32,则该长方体最大体积是()A.24 cm3B.15 cm3C.12 cm3D.6 cm3【解析】选B.设该长方体的宽是x cm,由题意知,其长是cm,高是=cm,(0x3),则
8、该长方体的体积V(x)=xx=-x3+x2,V(x)=-x2+x,由V(x)=0,得到x=2(x=0舍去),当0x0;当2x3时,V(x)0,即体积函数V(x)在x=2处取得极大值V=15,也是函数V(x)在定义域上的最大值.所以该长方体体积的最大值是15 cm3.4.某公司生产一种产品,固定成本为20 000元,每生产一单位的产品,成本增加100元,若总收入R与年产量x(0x390)的关系是R(x)=-+400x,0x390,则当总利润最大时,每年生产的产品单位数是()A.150B.200C.250D.300【解析】选D.由题意可得总利润P(x)=-+300x-20 000(0x390),由
9、P(x)=-+300,得x=300.当0x0;当300x390时,P(x)0),则r2h=27,即水桶的高为,所以S=r2+2r=r2+(r0).求导数,得S =2r-.令S=0,解得r=3.当0r3时,S3时,S0.所以当r=3时,圆柱形水桶的表面积最小,即用料最省.答案:36.如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5 cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D,E,F为圆O上的点,DBC,ECA,FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起DBC,ECA,FAB,使得D,E,F重合,得到三棱锥.当ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:c
10、m3)的最大值为_.【解析】连接OB,连接OD,交BC于点G,由题意得,ODBC,OG=BC,设OG=x,则BC=2x,DG=5-x,三棱锥的高h=,SABC=2x3x=3x2,则V=SABCh=x2=,令f(x)=25x4-10x5,x,f(x)=100x3-50x4,令f(x)0,即x4-2x30,x2,则f(x)f=80,则V=4,所以体积最大值为4 cm 3.答案:4 cm 3三、解答题(每小题10分,共20分)7.某地需要修建一条大型输油管道,其通过120公里宽的沙漠地带,该段输油管道两端的输油站已建好,余下工程只需要在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵
11、站).经预算,修建一个增压站的工程费用为400万元,铺设距离为x公里的相邻两增压站之间的输油管道费用为(x2+x)万元.设余下工程的总费用为y万元.(1)试将y表示成关于x的函数.(2)需要修建多少个增压站才能使总费用y最小?【解析】(1)依题意可知余下工程有段管道,有个增压站,故余下工程的总费用为y=(x2+x)+400=120x+-280,所以将y表示成关于x的函数为y=120x+-280(0x120).(2)由(1)知y=120x+-280(0x120),有y=120-,令y=0,解得x=20,y,y随x的变化情况如表:x(0,20)20(20,120)y-0+y极小值由表易知,函数y在
12、x=20时取得最小值,此时-1=5,故需要修建5个增压站才能使总费用y最小.8.如图,城市A,城市B,城市C(均视为一个点)恰好构成一个边长为200千米的等边三角形,点D为BC段中点.若国家规划在AD段选取一点T新建一座城市,并决定修建连接新城市T的三条高速公路AT,BT,CT,设DBT=.(1)试用表示出三段高速公路的总长度y(千米)的解析式,并求y的最小值;(2)若BT段高速公路的造价为4千万/千米,AT段和CT段高速公路的造价均为2千万/千米,试用表示出三段高速公路总造价z(千万元)的解析式,并求z的最小值.【解析】BT=CT=(千米),DT=100tan (千米),AT=100-100tan (千米).(1)y=AT+BT+CT=-100tan +100.即y=100+100(0).y=100,当=时,y=0;当0时,y0,函数单调递减;当0,函数单调递增,所以当=时,y取得最小值200千米.(2)z=2AT+4BT+2CT=2(100-100tan )+4+2,即z=200+200.z=200,设sin 0=(00),当=0时,z=0;当00时,z0,z单调递减;当00,z单调递增,所以当=0,即sin =时,三段高速公路总造价z取得最小值(400+200)千万元.关闭Word文档返回原板块