1、第1讲直线与圆直线的方程 自主练透夯实双基1直线方程五种形式(1)点斜式：yy1k(xx1)(2)斜截式：ykxb.(3)两点式：(x1x2，y1y2)(4)截距式：1(a0，b0)(5)一般式：AxByC0(A，B不同时为0)2三种距离公式(1)A(x1，y1)，B(x2，y2)两点间的距离：|AB|.(2)点到直线的距离：d(其中点P(x0，y0)，直线方程：AxByC0)(3)两平行直线间的距离：d(其中两平行线方程分别为l1：AxByC10，l2：AxByC20)3两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1l2k1k2，l1l2k1k21.若给出的
2、直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在题组通关1设直线l1：2xmy10，l2：(m1)xy10，则“m2”是“l1l2”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件C解析 由于两直线方程中的常数项之比为1，故两直线平行的充要条件是1.由，得m(m1)2，解得m2或m1.当m1时，1，两直线重合，所以两直线平行的充要条件是m2.所以“m2”是“l1l2”的充要条件2在ABC中，A(1，1)，B(m，)(1m4)，C(4，2)，则当ABC的面积最大时，m()A.B.C. D.B解析 由两点间距离公式可得|AC|，直线AC的方程为x3y20，所以点B到直线A
3、C的距离d，所以ABC的面积S|AC|d|m32|，又1m4，所以10，表示以为圆心，为半径的圆 (1)(2016高考浙江卷)已知aR，方程a2x2(a2)y24x8y5a0表示圆，则圆心坐标是_，半径是_(2)(2016高考天津卷)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2xy0的距离为，则圆C的方程为_(3)(2016南宁模拟)已知圆C的圆心是直线xy10与y轴的交点，且圆C与直线xy30相切，则圆C的标准方程为_【解析】(1)由题可得a2a2，解得a1或a2.当a1时，方程为x2y24x8y50，表示圆，故圆心为(2，4)，半径为5.当a2时，方程不表示圆(2)
4、设圆心为(a，0)(a0)，则圆心到直线2xy0的距离d，得a2，半径r3，所以圆C的方程为(x2)2y29.(3)直线xy10与y轴的交点为(0，1)，所以圆C的圆心为(0，1)，因为圆C与直线xy30相切，所以半径r2，所以圆的标准方程为x2(y1)28.【答案】(1)(2，4)5(2)(x2)2y29(3)x2(y1)28求圆的方程的两种方法(1)直接法：利用圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，数形结合直接求出圆心坐标、半径，进而求出圆的方程(2)待定系数法：先设出圆的方程，再由条件构建系数满足的方程(组)求得各系数，进而求出圆的方程题组通关1圆心在曲线y(x0)上，且与直线2xy10
5、相切的面积最小的圆的方程为()A(x1)2(y2)25B(x2)2(y1)25C(x1)2(y2)225D(x2)2(y1)225A解析 y，令2，得x1，得平行于直线2xy10的曲线y(x0)的切线的切点的横坐标为1，代入曲线方程得切点坐标为(1，2)，以该点为圆心且与直线2xy10相切的圆的面积最小，此时圆的半径为，故所求圆的方程为(x1)2(y2)25.2已知圆C过点(1，0)，且圆心在x轴的负半轴上，直线l：yx1被该圆所截得的弦长为2，则圆C的标准方程是_解析 设圆心C(a，0)(a0)截直线xy0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x1)2(y1)21的位置关系是()A内切B相交C
6、外切 D相离(2)已知点P(x，y)是直线kxy40(k0)上一动点，PA，PB是圆C：x2y22y0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为()A3 B.C2 D2【解析】(1)由题知圆M：x2(ya)2a2，圆心(0，a)到直线xy0的距离d，所以2 2，解得a2.圆M，圆N的圆心距|MN|，两圆半径之差为1，故两圆相交(2)如图，把圆的方程化成标准形式得x2(y1)21，所以圆心为(0，1)，半径为r1，四边形PACB的面积S2SPBC，所以若四边形PACB的最小面积是2，则SPBC的最小值为1.而SPBCr|PB|，即|PB|的最小值为2，此时|PC|最小，
7、|PC|为圆心到直线kxy40的距离d，此时d，即k24，因为k0，所以k2.【答案】(1)B(2)D解决直线与圆、圆与圆位置关系的方法(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题题组通关1已知直线2x(y3)m40(mR)恒过定点P，若点P平分圆x2y22x4y40的弦MN，则弦MN所在直线的方程是()Axy50 Bxy30Cxy10
8、 Dxy10A解析 对于直线方程2x(y3)m40(mR)，取y3，则必有x2，所以该直线恒过定点P(2，3)设圆心是C，则易知C(1，2)，所以kCP1，由垂径定理知CPMN，所以kMN1.又弦MN过点P(2，3)，故弦MN所在直线的方程为y3(x2)，即xy50.2(2016高考全国卷丙)已知直线l：xy60与圆x2y212交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点则|CD|_解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，0)，D(x4，0)，由xy60，得xy6，代入圆的方程，并整理，得y23y60，解得y12，y2，所以x10，x23，所以直线AC的方程为y2x
9、，令y0得x32，直线BD的方程为y(x3)，令y0得x42，则|CD|x3x4|4.答案 43(2016太原模拟)已知圆C：(x1)2(y2)22，若等边PAB的一边AB为圆C的一条弦，则|PC|的最大值为_解析 已知圆C：(x1)2(y2)22，所以圆心为C(1，2)，半径r，若等边PAB的一边AB为圆C的一条弦，则PCAB.在PAC中，APC30，由正弦定理得，所以|PC|2sinPAC2，故|PC|的最大值为2.答案 2课时作业1若直线l1：xay60与l2：(a2)x3y2a0平行，则l1与l2之间的距离为()A.B4C. D2C解析 因为l1l2，得，解得a1，所以l1与l2的方程
10、分别为l1：xy60，l2：xy0，所以l1与l2的距离d.2已知圆C：x2y2mx40上存在两点关于直线xy30对称，则实数m的值为()A8 B4C6 D无法确定C解析 圆上存在关于直线xy30对称的两点，则xy30过圆心，即30，所以m6.3在平面直角坐标系xOy中，设直线l：ykx1与圆C：x2y24相交于A，B两点，以OA，OB为邻边作平行四边形OAMB，若点M在圆C上，则实数k等于()A1 B2C1 D0D解析 由题意知圆心到直线l的距离等于r1(r为圆C的半径)，所以1，解得k0.4(2016石家庄第一次模考)已知直线axy10与圆C：(x1)2(ya)21相交于A、B两点，且AB
11、C为等腰直角三角形，则实数a的值为()A.或1 B1C1或1 D1C解析 由题意得圆心(1，a)到直线axy10的距离为，所以，解得a1，故选C.5(2016重庆第一次适应性测试)已知圆C：(x1)2(y2)22与y轴在第二象限所围区域的面积为S，直线y2xb分圆C的内部为两部分，其中一部分的面积也为S，则b()A BC DD解析 记圆C与y轴的两个交点分别是A，B，圆心C到y轴的距离为1，且|CA|CB|，则CACB，因此圆心C(1，2)到直线2xyb0的距离也等于1才符合题意，于是有1，解得b，选D.6(2016兰州模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：xya0与点A(0，2)，若直
12、线l上存在点M满足|MA|2|MO|210(O为坐标原点)，则实数a的取值范围是()A(1，1)B1，1C(21，21)D21，21D解析 设M(x，y)，因为|MA|2|MO|210，所以x2(y2)2x2y210，即x2(y1)24，由于点M在直线l上，所以直线xya0与圆x2(y1)24相交或相切时满足题意，即2，解得21a21.7若圆C经过坐标原点和点(4，0)，且与直线y1相切，则圆C的方程是_解析 因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0，0)和(4，0)，所以设圆心为(2，m)又因为圆与直线y1相切，所以|1m|，所以m24m22m1，解得m，所以圆的方程为(x2)2.答案
13、(x2)28(2016高考全国卷乙)设直线yx2a与圆C：x2y22ay20相交于A，B两点，若|AB|2，则圆C的面积为_解析 圆C的方程可化为x2(ya)2a22，可得圆心的坐标为C(0，a)，半径r，所以圆心到直线xy2a0的距离为，所以()2()2，解得a22，所以圆C的半径为2，所以圆C的面积为4.答案 49已知圆C1：x2y22mx4ym250与圆C2：x2y22x2mym230，若圆C1与圆C2相外切，则实数m_.解析 对于圆C1与圆C2的方程，配方得圆C1：(xm)2(y2)29，圆C2：(x1)2(ym)24，则圆C1的圆心C1(m，2)，半径r13，圆C2的圆心C2(1，m
14、)，半径r22.如果圆C1与圆C2相外切，那么有|C1C2|r1r2，即5，则m23m100，解得m5或m2，所以当m5或m2时，圆C1与圆C2相外切答案 5或210已知圆x2y22x4ya50上有且仅有两个点到直线3x4y150的距离为1，则实数a的取值范围为_解析 圆的标准方程为(x1)2(y2)210a，故10a0，即a10.圆心(1，2)到直线3x4y150的距离为4.数形结合可得，当圆x2y22x4ya50上有且仅有两个点到直线3x4y150的距离为1时，圆的半径r满足3r5，即35，即15a0)关于直线xy20对称(1)求圆C的方程；(2)设Q为圆C上的一个动点，求的最小值解 (1
15、)设圆心C(a，b)，则解得则圆C的方程为x2y2r2，将点P的坐标代入得r22，故圆C的方程为x2y22.(2)设Q(x，y)，则x2y22，且(x1，y1)(x2，y2)x2y2xy4xy2，令xcos ，ysin ，则xy2(sin cos )22sin2.所以的最小值为4.13已知点P(2，2)，圆C：x2y28y0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点(1)求M的轨迹方程；(2)当|OP|OM|时，求l的方程及POM的面积解 (1)圆C的方程可化为x2(y4)216，所以圆心为C(0，4)，半径为4.设M(x，y)，则(x，y4)，(2x，2y)由题
16、设知0，故x(2x)(y4)(2y)0，即(x1)2(y3)22.由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x1)2(y3)22.(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1，3)为圆心，为半径的圆由于|OP|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上又P在圆N上，从而ONPM.因为ON的斜率为3，所以l的斜率为，故l的方程为yx.又|OM|OP|2，O到l的距离为，|PM|，所以POM的面积为.14(2016湖南省东部六校联考)已知直线l：4x3y100，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方(1)求圆C的方程；(2)过点M(1，0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由解 (1)设圆心C(a，0)，则2a0或a5(舍)所以圆C：x2y24.(2)当直线ABx轴时，x轴平分ANB.当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为yk(x1)，N(t，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得，(k21)x22k2xk240，所以x1x2，x1x2.若x轴平分ANB，则kANkBN002x1x2(t1)(x1x2)2t02t0t4，所以当点N为(4，0)时，能使得ANMBNM总成立