1、第三章质量评估(B)(时间:120分钟分值:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.函数f(x)=x-1x-2的定义域为()A.(1,+)B.1,+)C.1,2)D.1,2)(2,+)解析：根据题意,得x-10,x-20,解得x1,且x2.答案:D2.已知fx2-1=2x+3,则f(6)的值为()A.15B.7C.31D.17解析：令x2-1=t,则x=2t+2.将x=2t+2代入fx2-1=2x+3,得f(t)=2(2t+2)+3=4t+7.所以f(x)=4x+7,所以f(6)=46+7=31.答案:C3.下列各组函数表示同
2、一函数的是()A.f(x)=x2,g(x)=(x)2B.f(x)=1,g(x)=x0C.f(x)=3x2,g(x)=(3x)2D.f(x)=x+1,g(x)=x2-1x-1解析：选项A、B、D中函数的定义域不同,不是同一函数.答案:C4.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)=()A.-3 B.-1C.1D.3解析：在f(x)-g(x)=x3+x2+1中,令x=-1,得f(-1)-g(-1)=1,即f(1)+g(1)=1.答案:C5.函数y=x|x|的图象大致是() A B C D解析：y=x|x|=x2,x0,-x2
3、,x0,0,x=0,-1,x0,0,x=0,1,x0,0,x=0,-x2,x1时,f(x)1D.函数f(x)是非奇非偶函数答案:ACD12.已知函数f(x)=x4+2x2+ax2+1(xR)的值域为m,+),则实数a与实数m的取值可能为()A.a=0,m=0 B.a=1,m=1C.a=3,m=3 D.a=2,m=2答案:ABD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知函数f(x)=x2+x,x0,ax2+bx,x0为奇函数,则a+b=0.解析：由f(x)为奇函数,得f(-x)=-f(x).当x0时,-x0,f(-x)=x2-x,-f(x)=-ax2-bx,故x2-x=-ax2-
4、bx,所以-a=1,-b=-1,即a=-1,b=1,故a+b=0.14.若函数f(x)=x2+(a+1)x+ax为奇函数,则实数a=-1.解析：由题意,知f(-x)=-f(x),即x2-(a+1)x+a-x=-x2+(a+1)x+ax,所以(a+1)x=0对x0恒成立,所以a+1=0,所以a=-1. 15.某单位计划建造的三个相同的矩形饲养场(如图所示),现有总长为1的围墙材料,则每个矩形的长、宽之比为32时,围出的饲养场的总面积最大.解析：如图所示,设一个矩形饲养场的长为AB=x,宽为AD=y,则4x+6y=1,所以y=16(1-4x),则饲养场的总面积S=3xy=12x(1-4x)=-2x
5、-182+132,故当x=18,y=112,即长、宽之比为18112=32时,饲养场的总面积最大.16.(本题第一空2分,第二空3分)设f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,又f(x)+g(x)=1x-1,则f(x)=xx2-1,g(x)=1x2-1.解析：因为f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,所以f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x).又因为f(x)+g(x)=1x-1,所以f(-x)+g(-x)=1-x-1,即-f(x)+g(x)=1-(x+1),+,得2g(x)=1x-1-1x+1=2x2-1,所以g(x)=1x2-1.-,得2f(x)=1x-1+1x+1=2xx2-1,所以f(x
6、)=xx2-1.四、解答题:本题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知函数f(x)=x+2,x-1,x2,-1x2,2x,x2.(1)求f(f(3)的值;(2)若f(a)=3,求a的值.解:(1)因为-132,所以f(3)=(3)2=3.又因为32,所以f(f(3)=f(3)=23=6.(2)当a-1时,f(a)=a+2.又因为f(a)=3,所以a=1(舍去).当-1a2时,f(a)=a2.又因为f(a)=3,所以a=3,其中负值舍去,所以a=3.当a2时,f(a)=2a.又因为f(a)=3,所以a=32(舍去).综上所述,a=3.18.(12分)如图
7、,幂函数y=x3m-7(mN)的图象关于y轴对称,且与x轴、y轴均无交点.(1)求此函数的解析式;(2)求不等式f(x+2)16的解集.解:(1)由题意,得3m-70,所以m73.因为mN,所以m=0或1或2.因为幂函数的图象关于y轴对称,所以3m-7为偶数.所以当m=0时,3m-7=-7,不合题意,舍去.当m=1时,3m-7=-4,符合题意.当m=2时,3m-7=-1,不合题意,舍去.故m=1,y=x-4.(2)由(1),得f12=16.由题图可知函数在区间(-,0)上递增,在区间(0,+)上递减.由f(x+2)16,得f(x+2)12或x+2-32或x-52,故不等式的解集是-,-52-3
8、2,+.19.(12分)已知函数f(x)=2x+1x+1.(1)判断函数f(x)在区间1,+)上的单调性,并用定义证明你的结论;(2)求该函数在区间1,4上的最大值与最小值.解:(1)函数f(x)在区间1,+)上单调递增.证明:任取x1,x21,+),且x1x2,则f(x1)-f(x2)=2x1+1x1+1-2x2+1x2+1=x1-x2(x1+1)(x2+1).由1x1x2,得x1-x20,所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),所以函数f(x)在区间1,+)上单调递增.(2)由(1),知函数f(x)在区间1,4上单调递增,则函数f(x)的最大值为f(4)=95,最小值为f(1
9、)=32.20.(12分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时,则-x0.21.(12分)已知函数f(x)=xm-4x,且f(4)=3.(1)求m的值;(2)求f(x)的奇偶性;(3)若不等式f(x)-a0在区间1,+)上恒成立,求实数a的取值范围.解:(1)因为f(4)=3,所以4m-44=3,所以m=1.(2)由(1),得f(x)=x-4x,定义域为x|xR,x0,关于原点对称,f(-x)=-x-4-x=-x-4x=-f(x),所以f(x)是奇函数.(3)因为y=x,y=-4x在区间1,+)上均为增函数,所以f(x)在区间1,+)上为增函数,所以f(x)f(1)=-3.不等式f(x)-a0在区间1,+)上恒成立,即不等式af(x)在区间1,+)上恒成立,所以a6,且-40x+7600,得6x19,所以P(x)关于x的函数解析式为P(x)=-40x+760(6x19).(2)设日均销售利润为y元,可得y=(-40x+760)(x-6)-300=-40x2+1 000x-4 860=-40x-2522+1 390,当x=12.5时,y有最大值,最大值为1 390元.故销售单价定为12.5元时,就可使日均销售利润最大,最大销售利润为1 390元.
