1、第3节函数的奇偶性与周期性最新考纲1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.知 识 梳 理1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为
2、周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.微点提醒1.(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)f(|x|).2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.3.函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(xa)f(x)，则T2a(a0).(2)若f(xa)，则T2a(a0).(3)若f(xa)，则T2a(a0).4.对称性的三个常用结论(1)
3、若函数yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)的图象关于直线xa对称.(2)若对于R上的任意x都有f(2ax)f(x)或f(x)f(2ax)，则yf(x)的图象关于直线xa对称.(3)若函数yf(xb)是奇函数，则函数yf(x)的图象关于点(b，0)中心对称.基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)函数yx2在x(0，)时是偶函数.()(2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)0.()(3)若T是函数的一个周期，则nT(nZ，n0)也是函数的周期.()(4)若函数yf(xb)是奇函数，则函数yf(x)的图象关于点(b，0)中心对称.()解析(1)由于偶函数的定义域关于
4、原点对称，故yx2在(0，)上不具有奇偶性，(1)错.(2)由奇函数定义可知，若f(x)为奇函数，其在x0处有意义时才满足f(0)0，(2)错.(3)由周期函数的定义，(3)正确.(4)由于yf(xb)的图象关于(0，0)对称，根据图象平移变换，知yf(x)的图象关于(b，0)对称，正确.答案(1)(2)(3)(4)2.(必修1P35例5改编)下列函数中为偶函数的是()A.yx2sin x B.yx2cos xC.y|ln x| D.y2x解析根据偶函数的定义知偶函数满足f(x)f(x)且定义域关于原点对称，A选项为奇函数；B选项为偶函数；C选项定义域为(0，)，不具有奇偶性；D选项既不是奇函
5、数，也不是偶函数.答案B3.(必修4P46A10改编)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x1，1)时，f(x)则f_.解析由题意得，ff421.答案14.(2019衡水模拟)下列函数既是偶函数又在区间(0，)上单调递增的是()A.yx3 B.yxC.y|x| D.y|tan x|解析对于A，yx3为奇函数，不符合题意；对于B，yx是非奇非偶函数，不符合题意；对于D，y|tan x|是偶函数，但在区间(0，)上不单调递增.答案C5.(2017全国卷)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x(，0)时，f(x)2x3x2，则f(2)_.解析x(，0)时，f(x)2x3x2，且f(x)在R
6、上为奇函数，f(2)f(2)2(2)3(2)212.答案126.(2019上海崇明二模)设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，当x0，1时，f(x)log2(x1)，则当x1，2时，f(x)_.解析当x1，2时，x21，0，2x0，1，又f(x)在R上是以2为周期的偶函数，f(x)f(x2)f(2x)log2(2x1)log2(3x).答案log2(3x)考点一判断函数的奇偶性【例1】 判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)；(2)f(x)；(3)f(x)解(1)由得x23，解得x，即函数f(x)的定义域为，从而f(x)0.因此f(x)f(x)且f(x)f(x)，函数f(x)既是奇函数又是偶
7、函数.(2)由得定义域为(1，0)(0，1)，关于原点对称.x20，|x2|2x，f(x).又f(x)f(x)，函数f(x)为奇函数.(3)显然函数f(x)的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称.当x0，则f(x)(x)2xx2xf(x)；当x0时，x0，则f(x)(x)2xx2xf(x)；综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(x)f(x)成立，函数f(x)为奇函数.规律方法判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等
8、量关系式(f(x)f(x)0(奇函数)或f(x)f(x)0(偶函数)是否成立.【训练1】 (1)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()A.yxsin 2x B.yx2cos xC.y2x D.yx2sin x(2)已知f(x)，g(x)，则下列结论正确的是()A.f(x)g(x)是偶函数 B.f(x)g(x)是奇函数C.f(x)g(x)是奇函数 D.f(x)g(x)是偶函数解析(1)对于A，定义域为R，f(x)xsin 2(x)(xsin 2x)f(x)，为奇函数；对于B，定义域为R，f(x)(x)2cos(x)x2cos xf(x)，为偶函数；对于C，定义域为R，f(x)2x2xf(
9、x)，为偶函数；对于D，yx2sin x既不是偶函数也不是奇函数.(2)令h(x)f(x)g(x)，因为f(x)，g(x)，所以h(x)，定义域为(，0)(0，).因为h(x)h(x)，所以h(x)f(x)g(x)是偶函数，令F(x)f(x)g(x)，定义域为(，0)(0，).所以F(x)，因为F(x)F(x)且F(x)F(x)，所以F(x)g(x)f(x)既不是奇函数也不是偶函数.答案(1)D(2)A考点二函数的周期性及其应用【例2】 (1)(一题多解)(2018全国卷)已知f(x)是定义域为(，)的奇函数，满足f(1x)f(1x).若f(1)2，则f(1)f(2)f(3)f(50)()A.
10、50 B.0 C.2 D.50(2)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0x2时，f(x)x3x，则函数yf(x)的图象在区间0，6上与x轴的交点个数为_.解析(1)法一f(x)在R上是奇函数，且f(1x)f(1x).f(x1)f(x1)，即f(x2)f(x).因此f(x4)f(x)，则函数f(x)是周期为4的函数，由于f(1x)f(1x)，f(1)2，故令x1，得f(0)f(2)0令x2，得f(3)f(1)f(1)2，令x3，得f(4)f(2)f(2)0，故f(1)f(2)f(3)f(4)20200，所以f(1)f(2)f(3)f(50)120f(1)f(2)2.法二取一个符合题
11、意的函数f(x)2sin，则结合该函数的图象易知数列f(n)(nN*)是以4为周期的周期数列.故f(1)f(2)f(3)f(50)12f(1)f(2)f(3)f(4)f(1)f(2)1220(2)0202.(2)因为当0x2时，f(x)x3x.又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)0，则f(6)f(4)f(2)f(0)0.又f(1)0，f(3)f(5)f(1)0，故函数yf(x)的图象在区间0，6上与x轴的交点有7个.答案(1)C(2)7规律方法1.根据函数的周期性和奇偶性求给定区间上的函数值或解析式时，应根据周期性或奇偶性，由待求区间转化到已知区间.2.若f(xa)f(x)(a
12、是常数，且a0)，则2a为函数f(x)的一个周期.第(1)题法二是利用周期性构造一个特殊函数，优化了解题过程.【训练2】 (1)(2018南充二模)设f(x)是周期为4的奇函数，当0x1时，f(x)x(1x)，则f()A. B. C. D.(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x4)f(x2).若当x3，0时，f(x)6x，则f(919)_.解析(1)f(x)是周期为4的奇函数，fff，又0x1时，f(x)x(1x)，故ff.(2)f(x4)f(x2)，f(x2)4f(x2)2，即f(x6)f(x)，f(919)f(15361)f(1)，又f(x)在R上是偶函数，f(1)f(1)6(1
13、)6，即f(919)6.答案(1)A(2)6考点三函数性质的综合运用多维探究角度1函数单调性与奇偶性【例31】 (2019石家庄模拟)设f(x)是定义在2b，3b上的偶函数，且在2b，0上为增函数，则f(x1)f(3)的解集为()A.3，3 B.2，4 C.1，5 D.0，6解析因为f(x)是定义在2b，3b上的偶函数，所以有2b3b0，解得b3，由函数f(x)在6，0上为增函数，得f(x)在(0，6上为减函数.故f(x1)f(3)f(|x1|)f(3)|x1|3，故2x4.答案B规律方法1.函数单调性与奇偶性结合.注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性.2.本题充分利用偶函
14、数的性质f(x)f(|x|)，避免了不必要的讨论，简化了解题过程.角度2函数的奇偶性与周期性【例32】 (1)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x5)f(x)，且当x时，f(x)x33x，则f(2 018)()A.2 B.18 C.18 D.2(2)(2018洛阳模拟)已知函数yf(x)满足yf(x)和yf(x2)是偶函数，且f(1)，设F(x)f(x)f(x)，则F(3)()A. B. C. D.解析(1)f(x)满足f(x5)f(x)，f(x)是周期为5的函数，f(2 018)f(40353)f(3)f(52)f(2)，f(x)是奇函数，且当x时，f(x)x33x，f(2)f(2)(2
15、332)2，故f(2 018)2.(2)由yf(x)和yf(x2)是偶函数知f(x)f(x)，且f(x2)f(x2)，则f(x2)f(x2).f(x4)f(x)，则yf(x)的周期为4.所以F(3)f(3)f(3)2f(3)2f(1)2f(1).答案(1)D(2)B规律方法周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.【训练3】 (1)(2019重庆九校模拟)已知奇函数f(x)的图象关于直线x3对称，当x0，3
16、时，f(x)x，则f(16)_.(2)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间0，)上是单调递增函数.如果实数t满足f(ln t)f2f(1)，那么t的取值范围是_.解析(1)根据题意，函数f(x)的图象关于直线x3对称，则有f(x)f(6x)，又由函数为奇函数，则f(x)f(x)，则有f(x)f(6x)f(x12)，则f(x)的最小正周期是12，故f(16)f(4)f(4)f(2)(2)2.(2)由于函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(ln t)f，由f(ln t)f2f(1)，得f(ln t)f(1).又函数f(x)在区间0，)上是单调递增函数，所以|ln t|1，即1ln t1
17、，故te.答案(1)2(2)思维升华1.判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.2.利用函数奇偶性可以解决以下问题：(1)求函数值；(2)求解析式；(3)求函数解析式中参数的值；(4)画函数图象，确定函数单调性.3.在解决具体问题时，要注意结论“若T是函数的周期，则kT(kZ且k0)也是函数的周期”的应用.易错防范1.f(0)0既不是f(x)是奇函数的充分条件，也不是必要条件.2.函数f(x)满足的关系f(ax)f(bx)表明的是函数图象的对称性，函数f(x)满足的关系f(ax)f(bx)(ab)表明的是函数的周期性，在使用这
18、两个关系时不要混淆.数学运算活用函数性质中“三个二级”结论数学运算是解决数学问题的基本手段，通过运算能够促进学生数学思维的发展.通过常见的“二维结论”解决数学问题，可优化数学运算的过程，使学生逐步形成规范化、程序化的思维品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神.类型1奇函数的最值性质已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的xD，都有f(x)f(x)0.特别地，若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)maxf(x)min0，且若0D，则f(0)0.【例1】 设函数f(x)的最大值为M，最小值为m，则Mm_.解析显然函数f(x)的定义域为R，f(x)1，设g(x)，则g(x)g(x)，g
19、(x)为奇函数，由奇函数图象的对称性知g(x)maxg(x)min0，Mmg(x)1maxg(x)1min2g(x)maxg(x)min2.答案2类型2抽象函数的周期性(1)如果f(xa)f(x)(a0)，那么f(x)是周期函数，其中一个周期T2a.(2)如果f(xa)(a0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T2a.(3)如果f(xa)f(x)c(a0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T2a.【例2】 已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x0时，有f(x3)f(x)，且当x(0，3)时，f(x)x1，则f(2 017)f(2 018)()A.3 B.2 C.1 D.0解析因
20、为函数f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(2 017)f(2 017)，因为当x0时，有f(x3)f(x)，所以f(x6)f(x3)f(x)，即当x0时，自变量的值每增加6，对应函数值重复出现一次.又当x(0，3)时，f(x)x1，f(2 017)f(33661)f(1)2，f(2 018)f(33662)f(2)3.故f(2 017)f(2 018)f(2 017)31.答案C类型3抽象函数的对称性已知函数f(x)是定义在R上的函数.(1)若f(ax)f(bx)恒成立，则yf(x)的图象关于直线x对称，特别地，若f(ax)f(ax)恒成立，则yf(x)的图象关于直线xa对称.(2)若函数y
21、f(x)满足f(ax)f(ax)0，即f(x)f(2ax)，则f(x)的图象关于点(a，0)对称.【例3】 (2018日照调研)函数yf(x)对任意xR都有f(x2)f(x)成立，且函数yf(x1)的图象关于点(1，0)对称，f(1)4，则f(2 016)f(2 017)f(2 018)的值为_.解析因为函数yf(x1)的图象关于点(1，0)对称，所以函数yf(x)的图象关于原点对称，所以f(x)是R上的奇函数，f(x2)f(x)，所以f(x4)f(x2)f(x)，故f(x)的周期为4.所以f(2 017)f(50441)f(1)4，所以f(2 016)f(2 018)f(2 014)f(2
22、0144)f(2 014)f(2 014)0，所以f(2 016)f(2 017)f(2 018)4.答案4基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.下列函数中，既是偶函数，又在(0，1)上单调递增的函数是()A.y|log3x| B.yx3C.ye|x| D.ycos |x|解析对于A选项，函数定义域是(0，)，故是非奇非偶函数，显然B项中，yx3是奇函数.对于C选项，函数的定义域是R，是偶函数，且当x(0，)时，函数是增函数，故在(0，1)上单调递增，正确.对于D选项，ycos |x|在(0，1)上单调递减.答案C2.(一题多解)(2019河北“五个一”名校联盟二模)设函数f(x)是
23、定义在R上的奇函数，且f(x) 则g(8)()A.2 B.3 C.2 D.3解析法一当x0，且f(x)为奇函数，则f(x)log3(1x)，所以f(x)log3(1x).因此g(x)log3(1x)，x0，故g(8)log392.法二由题意知，g(8)f(8)f(8)log392.答案A3.已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x4)f(x)，当x(2，0)时，f(x)2x2，则f(2 019)等于()A.2 B.2 C.98 D.98解析由f(x4)f(x)知，f(x)是周期为4的函数，f(2 019)f(50443)f(3)，又f(x4)f(x)，f(3)f(1)，由1(2，0)得f(1)
24、2，f(2 019)2.答案B4.(一题多解)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)xf(x).若ag(log25.1)，bg(20.8)，cg(3)，则a，b，c的大小关系为()A.abc B.cbaC.bac D.bclog25.1220.8，且ag(log25.1)g(log25.1)，g(3)g(log25.1)g(20.8)，则cab.法二(特殊化)取f(x)x，则g(x)x2为偶函数且在(0，)上单调递增，又3log25.120.8，从而可得cab.答案C5.(2019山东、湖北部分重点中学模拟)已知定义在R上的函数f(x)在1，)上单调递减，且f(x1)是偶函数，不等式f(m
25、2)f(x1)对任意的x1，0恒成立，则实数m的取值范围是()A.3，1 B.4，2C.(，31，) D.(，42，)解析因为f(x1)是偶函数，所以f(x1)f(x1)，所以f(x)的图象关于x1对称，由f(m2)f(x1)得|(m2)1|(x1)1|，即|m1|x2|在x1，0恒成立，所以|m1|x2|min，所以|m1|2，解得3m1.答案A二、填空题6.若函数f(x)xln(x)为偶函数，则a_.解析f(x)为偶函数，则yln(x)为奇函数，所以ln(x)ln(x)0，则ln(ax2x2)0，a1.答案17.若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)4x，则ff
26、(2)_.解析f(x)是定义在R上的奇函数，f(0)0，又f(x)在R上的周期为2，f(2)f(0)0.又fff42，ff(2)2.答案28.设函数f(x)ln(1|x|)，则使得f(x)f(2x1)成立的x的取值范围是_.解析由f(x)ln(1|x|)，知f(x)为R上的偶函数，于是f(x)f(2x1)即为f(|x|)f(|2x1|).当x0时，f(x)ln(1x)，所以f(x)为0，)上的增函数，则由f(|x|)f(|2x1|)得|x|2x1|，两边平方得3x24x10，解得x1.答案三、解答题9.已知函数f(x)是奇函数.(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间1，a2上单调递增，
27、求实数a的取值范围.解(1)设x0，所以f(x)(x)22(x)x22x.又f(x)为奇函数，所以f(x)f(x).于是x0时，f(x)x22xx2mx，所以m2.(2)要使f(x)在1，a2上单调递增，结合f(x)的图象知所以10，则x的取值范围为()A.x|0x2B.x|x2C.x|x3D.x|x1解析由题意知函数f(x)在(，0)上单调递增，且f(1)0，不等式f(x1)0f(x1)f(1)或f(x1)f(1).x11或0x11，解之得x2或0x1.答案A12.(2018合肥调研)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x2)f(x)，且在0，1上是减函数，则有()A.fffB.fffC.ff
28、fD.fff解析由题设知：f(x)f(x2)f(2x)，所以函数f(x)的图象关于直线x1对称；函数f(x)是奇函数，其图象关于坐标原点对称，由于函数f(x)在0，1上是减函数，所以f(x)在1，0上也是减函数，综上函数f(x)在1，1上是减函数；又f=f=f，fff，即fff.答案C13.设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的xR恒有f(x1)f(x1)，已知当x0，1时，f(x)2x，则有2是函数f(x)的周期；函数f(x)在(1，2)上是减函数，在(2，3)上是增函数；函数f(x)的最大值是1，最小值是0.其中所有正确命题的序号是_.解析在f(x1)f(x1)中，令x1t，则有f
29、(t2)f(t)，因此2是函数f(x)的周期，故正确；当x0，1时，f(x)2x是增函数，根据函数的奇偶性知，f(x)在1，0上是减函数，根据函数的周期性知，函数f(x)在(1，2)上是减函数，在(2，3)上是增函数，故正确；由知，f(x)在0，2上的最大值f(x)maxf(1)2，f(x)的最小值f(x)minf(0)f(2)201且f(x)是周期为2的周期函数，f(x)的最大值是2，最小值是1，故错误.答案14.设f(x)是(，)上的奇函数，f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x.(1)求f()的值；(2)当4x4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积.解(1)由f(x2)f(x)得，f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，所以f()f(14)f(4)f(4)(4)4.(2)由f(x)是奇函数且f(x2)f(x)，得f(x1)2f(x1)f(x1)，即f(1x)f(1x).故知函数yf(x)的图象关于直线x1对称.又当0x1时，f(x)x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如下图所示.当4x4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S4SOAB44.
