1、高考压轴题训练(四)1.(2014嘉兴高三期末)已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,P是抛物线C上异于原点的任一点,直线PF与抛物线的另一交点为Q.设l是过点P的抛物线C的切线,l与直线y=-1和x轴的交点分别为A、B,(1)求证:AFPQ;(2)过B作BCPQ于C,若|PC|=|QF|,求|PQ|.(1)证明:设P（m,）,则过P的切线方程为:y=x-,得A的坐标（-,-1）,又F(0,1),所以=（m,-1）,=（,-2）,所以=m+(-1)(-2)=0,所以AFPQ.(2)解:分别过B、P作直线y=-1的垂线,垂足为D、E,因为BCAF,所以=,因为|FP|=|PE|,所以|FC|=|B
2、D|=1,设直线PQ的方程为y=kx+1,代入C:x2=4y得x2-4kx-4=0,所以mxQ=-4,所以xQ=-,所以yQ=,|PF|=+1,|QF|=+1,所以|PC|=,由|PC|=|QF|得+1=,得m4-4m2-16=0,得m2=2+2,所以|PQ|=+2=+2.2.某企业接到生产3000台某产品的A、B、C三种部件的订单,每台产品需要这三种部件的数量分别为2,2,1(单位:件).已知每个工人每天可生产A部件6件,或B部件3件,或C部件2件.该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件,生产B部件的人数与生产A部件的人数成正比,比例系数为k(k为正整数).(1)设生产A部件的
3、人数为x,分别写出完成A、B、C三种部件生产需要的时间;(2)假设这三种部件的生产同时开工,试确定正整数k的值,使完成订单任务的时间最短,并给出时间最短时具体的人数分组方案.解:(1)设完成A,B,C三种部件的生产任务需要的时间(单位:天)分别为T1(x),T2(x),T3(x),由题设有T1(x)=,T2(x)=,T3(x)=,其中x,kx,200-(1+k)x均为1到200之间的正整数.(2)完成订单任务的时间为f(x)=maxT1(x),T2(x),T3(x),其定义域为x0x,xN*.易知,T1(x),T2(x)为减函数,T3(x)为增函数.注意到T2(x)=T1(x),于是当k=2时
4、,T1(x)=T2(x),此时f(x)=maxT1(x),T3(x)=max,.由函数T1(x),T3(x)的单调性知,当=时,f(x)取得最小值,解得x=.由于4445,而f(44)=T1(44)=,f(45)=T3(45)=,f(44)2时,T1(x)T2(x),由于k为正整数,故k3,此时=.记T(x)=,(x)=maxT1(x),T(x),易知T(x)是增函数,则f(x)=maxT1(x),T3(x)maxT1(x),T(x)=(x)=max,.由函数T1(x),T(x)的单调性知,当=时(x)取最小值,解得x=.由于36,(37)=T(37)=.此时完成订单任务的最短时间大于.当k2时,T1(x)T2(x),由于k为正整数,故k=1,此时f(x)=maxT2(x),T3(x)=max,.由函数T2(x),T3(x)的单调性知,当=时,f(x)取最小值,解得x=,类似的讨论,此时完成订单任务的最短时间为,大于.综上所述,当k=2时,完成订单任务的时间最短,此时,生产A,B,C三种部件的人数分别为44,88,68.
