1、开卷速查(六十六)几何概型A级基础巩固练1在区间上随机取一个数x，使得0tanx1成立的概率是()A. B. C. D.解析：由0tanx1，得0x，故所求概率为.答案：C2已知函数f(x)kx1，其中实数k随机选自区间2,1x0,1，f(x)0的概率是()A. B C. D.解析：由x0,1，f(x)0得有1k1，所以所求概率为.答案：C3设不等式组表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是()A. B C. D.解析：坐标系中到原点距离不大于2的点在以原点为圆心，2为半径的圆内及圆上，表示的区域D为边长为2的正方形及其内部，所以所求的概率为.答案：D4
2、在区间0,1上任取两个数a，b，则函数f(x)x2axb2无零点的概率为()A. B C. D.解析：要使该函数无零点，只需a24b20，即(a2b)(a2b)0.a，b0,1，a2b0，a2b0.作出的可行域，易得该函数无零点的概率P.答案：C5在区间0，上随机取一个数x，则事件“sinxcosx1”发生的概率为()A. B. C. D.解析：由sinxcosx1得2sin1，即sin.由于x0，故x，因此当sin时，x，于是x.由几何概型公式知事件“sinxcosx1”发生的概率为P.答案：C6如图，ABC和DEF都是圆内接正三角形，且BCEF.将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆
3、子落在ABC内”，B表示事件“豆子落在DEF内”，则P(B|A)()A. B C. D.解析：设AGH的面积为S，则S正六边形GHIJKM6S，S正DEF9S，所以P(B|A)，故选D.答案：D7若不等式组表示的平面区域为M，x2y21所表示的平面区域为N，现随机向区域M内抛一粒豆子，则豆子落在区域N内的概率为_解析：yx与yx互相垂直，M的面积为3，而N的面积为，所以概率为.答案：8在6,9内任取一个实数m，设f(x)x2mxm，则函数f(x)的图像与x轴有公共点的概率等于_解析：函数f(x)的图像与x轴有公共点应满足m24m0，解得m4或m0，又m6,9，故6m4或0m9，因此所求概率P.
4、答案：9如图所示，图2中实线围成的部分是长方体(图1)的平面展开图，其中四边形ABCD是边长为1的正方形若向图2中虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是，则此长方体的体积是_图1图2解析：设题图1长方体的高为h，由几何概型的概率计算公式可知，质点落在长方体的平面展开图内的概率P，解得h3或h(舍去)，故长方体的体积为1133.答案：310已知集合A2,2，B1,1，设M(x，y)|xA，yB，在集合M内随机取出一个元素(x，y)(1)求以(x，y)为坐标的点落在圆x2y21内的概率；(2)求以(x，y)为坐标的点到直线xy0的距离不大于的概率解析：(1)集合M内的点
5、形成的区域面积S8.因x2y21的面积S1，故所求概率为P1.(2)由题意即1xy1，形成的区域如图中阴影部分，面积S24，所求概率为P.B级能力提升练11设不等式组表示的平面区域为D，在D内任取一点P(x，y)，若满足2xyb的概率大于，则实数b的取值范围是()A(0,1) B(0,2)C(1，)D(2，)解析：区域D表示以点O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)为顶点的正方形，其面积S11.根据题意，b0，设正方形OABC位于直线2xyb下方部分面积为S2，因为直线2xyb在x轴，y轴上的截距分别为，b，则当0b1时，S2.故题设，PS2，则b1，故选C.答案：C12设集合
6、A(x，y)|x|y|2，B(x，y)A|yx2，从集合A中随机地取出一个元素P(x，y)，则PB的概率是_解析：在直角坐标系中分别作出集合A，B所表示的区域，从集合A中随机地取出一个元素P(x，y)，则PB的区域为图中阴影部分，由定积分知识可求得阴影部分的面积为2，则从集合A中随机地取出一个元素P(x，y)，则PB的概率为.答案：13投掷一个质地均匀的、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面中，有两个面标的数字是0，两个面标的数字是2，两个面标的数字是4，将此玩具连续抛掷两次，以两次朝上一面的数字分别作为点P的横坐标和纵坐标(1)求点P落在区域C：x2y210内的概率；(2)若以落在区
7、域C上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域M，在区域C上随机撒一粒豆子，求豆子落在区域M上的概率解析：(1)以0、2、4为横、纵坐标的点P共有(0,0)、(0,2)、(0,4)、(2,0)、(2,2)、(2,4)、(4,0)、(4,2)、(4,4)共9个，而这些点中，落在区域C内的点有：(0,0)、(0,2)、(2,0)、(2,2)共4个，故所求概率为P.(2)区域M的面积为4，而区域C的面积为10，所求概率为P.14甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的(1)如果甲船和乙船的停泊时间都是4小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率；(2)如果甲船的停泊时间为4小时，乙船的停泊时间为2小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率解析：(1)设甲、乙两船到达时间分别为x、y，则0x24,0y24且yx4或yx4.作出区域设“两船无需等待码头空出”为事件A，则P(A).(2)当甲船的停泊时间为4小时，乙船的停泊时间为2小时，两船不需等待码头空出，则满足xy2或yx4.设在上述条件时“两船不需等待码头空出”为事件B，画出区域P(B).