1、22平面向量中的线性问题1已知点A(1,3),B(4,1),则与向量同方向的单位向量为_答案(,)解析由题意知(3,4),所以与同方向的单位向量为(,)2(2014课标全国改编)设D,E,F分别为ABC的三边BC,CA,AB的中点,则化简:_.答案解析如图,()2.3(2014北京)已知向量a,b满足|a|1,b(2,1),且ab0(R),则|_.答案解析ab0,ab,|a|b|b|,|a|.又|a|1,|.4(2014福建改编)设M为平行四边形ABCD对角线的交点,O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点,则化简:_.答案4解析因为点M为平行四边形ABCD对角线的交点,所以点M是AC和BD的
2、中点,由平行四边形法则知2,2,故4.5.如图,平面内有三个向量,其中与的夹角为120,与的夹角为30,且|2,|,|2,若(,R),则和的值分别为_答案2,解析设与,同方向的单位向量分别为a,b,依题意有4a2b,又2a,b,则2,所以2,.6(2013四川)在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,则_.答案2解析由于ABCD为平行四边形,对角线AC与BD交于点O,2,2.7(2013江苏)设D,E分别是ABC的边AB,BC上的点,ADAB,BEBC.若12(1,2为实数),则12的值为_答案解析如图,(),则1,2,12.8如图所示,在ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别
3、交直线AB,AC于不同的两点M,N,若m,n (m,n0),则的最小值为_答案解析.同理,M,O,N三点共线,故,即0,由于,不共线,根据平面向量基本定理得0且0,消掉即得mn2,故(mn)(54).9(2014天津改编)已知菱形ABCD的边长为2,BAD120,点E,F分别在边BC,DC上,BEBC,DFDC.若1,则_.答案解析,()()22()4422()24()21.2().(1)(1)(1)22()(1)2()1,()1,即().由解得.10在平面内,已知|1,|,0,AOC30,设mn(m,nR),则_.答案3解析因为AOC30,所以,30.因为mn,0,所以|2(mn)2m2|2
4、n2|2m23n2,即|.又(mn)m2m,则|cos 30m,即1m,平方得m29n2,即9,所以3.11已知非零向量e1,e2不共线(1)如果e1e2,2e18e2,3(e1e2),求证:A、B、D三点共线;(2)欲使ke1e2和e1ke2共线,试确定实数k的值(1)证明e1e2,2e18e23e13e25(e1e2)5,与共线,且有公共点B,A、B、D三点共线(2)解ke1e2与e1ke2共线,存在,使ke1e2(e1ke2),则(k)e1(k1)e2.由于e1与e2不共线,只能有k1.12已知点O为坐标原点,A(0,2),B(4,6),t1t2.(1)求点M在第二或第三象限的充要条件;
5、(2)求证:当t11时,不论t2为何实数,A、B、M三点都共线;(3)若t1a2,求当且ABM的面积为12时a的值(1)解t1t2t1(0,2)t2(4,4)(4t2,2t14t2)当点M在第二或第三象限时,有故所求的充要条件为t20且t12t20.(2)证明当t11时,由(1)知(4t2,4t22)(4,4),(4t2,4t2)t2(4,4)t2,不论t2为何实数,A、B、M三点共线(3)解当t1a2时,(4t2,4t22a2)又(4,4),4t24(4t22a2)40,t2a2,故(a2,a2)又|4,点M到直线AB:xy20的距离d|a21|.SABM12,|AB|d4|a21|12,解得a2,故所求a的值为2.