1、第8节函数与方程最新考纲结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.知 识 梳 理1.函数的零点(1)函数零点的概念对于函数yf(x)，把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点.(2)函数零点与方程根的关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点.(3)零点存在性定理如果函数yf(x)满足：在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线；f(a)f(b)0)的图象与零点的关系b24ac000)的图象与x轴的交点(x1，0)，(x2，0)(x1，0)无交点零点个数210微点提醒1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单
2、调函数，则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)0的实根.2.由函数yf(x)(图象是连续不断的)在闭区间a，b上有零点不一定能推出f(a)f(b)0，如图所示，所以f(a)f(b)0是yf(x)在闭区间a，b上有零点的充分不必要条件.基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)函数f(x)lg x的零点是(1，0).()(2)图象连续的函数yf(x)(xD)在区间(a，b)D内有零点，则f(a)f(b)0.()(3)二次函数yax2bxc(a0)在b24ac0时没有零点.()解析(1)f(x)lg x的零点是1，故(1)错.(2)f(a)f(b
3、)0是连续函数yf(x)在(a，b)内有零点的充分不必要条件，故(2)错.答案(1)(2)(3)2.(必修1P92A2改编)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x12345f(x)42147在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为()A.(1，2) B.(2，3) C.(3，4) D.(4，5)解析由所给的函数值的表格可以看出，x2与x3这两个数字对应的函数值的符号不同，即f(2)f(3)0，所以函数在(2，3)内有零点.答案B3.(必修1P112T1改编)若函数f(x)唯一的零点同时在区间(0，16)，(0，8)，(0，4)，(0，2)内，那么下列命题正确的是()A.函数
4、f(x)在区间(0，1)内有零点B.函数f(x)在区间(0，1)或(1，2)内有零点C.函数f(x)在区间2，16)上无零点D.函数f(x)在区间(1，16)内无零点解析由题意可确定f(x)唯一的零点在区间(0，2)内，故在区间2，16)内无零点.答案C4.(2018济南月考)若函数f(x)x22xa没有零点，则实数a的取值范围是()A.(，1) B.(1，)C.(，1 D.1，)解析因为函数f(x)x22xa没有零点，所以方程x22xa0无实根，即44a1.答案B5.(2018全国卷)函数f(x)cos在0，的零点个数是_.解析由题意知，cos0，所以3xk，kZ，所以x，kZ，当k0时，x
5、；当k1时，x；当k2时，x，均满足题意，所以函数f(x)在0，的零点个数为3.答案36.(2019西安调研)方程2x3xk的解在1，2)内，则k的取值范围是_.解析令函数f(x)2x3xk，则f(x)在R上是增函数.当方程2x3xk的解在(1，2)内时，f(1)f(2)0，即(5k)(10k)0，解得5k10.又当f(1)0时，k5.则方程2x3xk的解在1，2)内，k的取值范围是5，10).答案5，10)考点一函数零点所在区间的判定【例1】 (1)设f(x)ln xx2，则函数f(x)零点所在的区间为()A.(0，1) B.(1，2)C.(2，3) D.(3，4)(2)设函数yx3与y的图
6、象的交点为(x0，y0)，若x0(n，n1)，nN，则x0所在的区间是_.解析(1)因为yln x与yx2在(0，)上都是增函数，所以f(x)ln xx2在(0，)上是增函数，又f(1)ln 11210，根据零点存在性定理，可知函数f(x)ln xx2有唯一零点，且零点在区间(1，2)内.(2)设f(x)x3，则x0是函数f(x)的零点，在同一坐标系下画出函数yx3与y的图象如图所示.因为f(1)110，所以f(1)f(2)0，所以x0(1，2).答案(1)B(2)(1，2)规律方法确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法：(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数yf(x)在区间a，b上的图
7、象是否连续，再看是否有f(a)f(b)0.若有，则函数yf(x)在区间(a，b)内必有零点.(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.【训练1】 (1)若abc，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间()A.(a，b)和(b，c)内 B.(，a)和(a，b)内C.(b，c)和(c，)内 D.(，a)和(c，)(2)函数f(x)ln x的零点所在的区间为()A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4)解析(1)ab0，f(b)(bc)(ba)0，由函数零点存在性定理可知：在区间(a，b)，(b，c
8、)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点；因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内.(2)易知f(x)ln x在定义域(0，)上是增函数，又f(1)20.根据零点存在性定理，可知函数f(x)ln x有唯一零点，且在区间(1，2)内.答案(1)A(2)B考点二确定函数零点的个数【例2】 (1)(一题多解)函数f(x)的零点个数为()A.3 B.2 C.1 D.0(2)(2019安庆二模)定义在R上的函数f(x)，满足f(x)且f(x1)f(x1)，若g(x)3log2x，则函数F(x)f(x)g(x)在(0，)内的零点有()A.3个 B.2个 C.1个 D
9、.0个解析(1)法一由f(x)0得或解得x2或xe.因此函数f(x)共有2个零点.法二函数f(x)的图象如图1所示，由图象知函数f(x)共有2个零点.图1(2)由f(x1)f(x1)，即f(x2)f(x)，知yf(x)的周期T2.在同一坐标系中作出yf(x)与yg(x)的图象(如图2).图2由于两函数图象有2个交点.所以函数F(x)f(x)g(x)在(0，)内有2个零点.答案(1)B(2)B规律方法函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点，令f(x)0，有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理，要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0时，f(x)3x1有一个零点x.因此当
10、x0时，f(x)exa0只有一个实根，aex(x0)，则1a0.(2)函数g(x)f(x)xa存在2个零点，即关于x的方程f(x)xa有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线yxa有2个交点.作出直线yxa与函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，a1，解得a1，故选C.答案(1)D(2)C规律方法1.已知函数的零点求参数，主要方法有：(1)直接求方程的根，构建方程(不等式)求参数；(2)数形结合；(3)分离参数，转化为求函数的最值.2.已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点个数问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围.【训练3】
11、 (2018浙江卷)已知R，函数f(x)(1)当2时，不等式f(x)0的解集是_.(2)若函数f(x)恰有2个零点，则的取值范围是_.解析(1)若2，当x2时，令x40，得2x4；当x2时，令x24x30，解得1x2.综上可知，1x4，所以不等式f(x)0的解集为(1，4).(2)令f(x)0，当x时，x4，当x时，x24x30，解得x1或x3.因为函数f(x)恰有2个零点，结合如图函数的图象知，14. 答案(1)(1，4)(2)(1，3(4，)思维升华1.转化思想在函数零点问题中的应用方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题.2.判断
12、函数零点个数的常用方法(1)通过解方程来判断.(2)根据零点存在性定理，结合函数性质来判断.(3)将函数yf(x)g(x)的零点个数转化为函数yf(x)与yg(x)图象公共点的个数来判断.易错防范1.函数的零点不是点，是方程f(x)0的实根.2.函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件.基础巩固题组(建议用时：35分钟)一、选择题1.已知函数f(x)则函数f(x)的零点为()A.，0 B.2，0 C. D.0解析当x1时，令f(x)2x10，解得x0；当x1时，令f
13、(x)1log2x0，解得x，又因为x1，所以此时方程无解.综上函数f(x)的零点只有0.答案D2.(2019岳阳二模)已知函数f(x)则函数yf(x)3x的零点个数是()A.0 B.1 C.2 D.3解析函数yf(x)3x的零点个数就是yf(x)与y3x两个函数图象的交点个数，如图所示，由函数的图象可知，零点个数为2.答案C3.函数f(x)2xa的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是()A.(1，3) B.(1，2)C.(0，3) D.(0，2)解析因为函数f(x)2xa在区间(1，2)上单调递增，又函数f(x)2xa的一个零点在区间(1，2)内，则有f(1)f(2)0，所以(a
14、)(41a)0，即a(a3)0，所以0a3.答案C4.函数f(x)ln xx2的零点所在的区间是()A. B.(1，2) C.(2，e) D.(e，3)解析易知f(x)在(0，)上单调递增，且f(2)ln 20.f(2)f(e)0，故f(x)的零点在区间(2，e)内.答案C5.(2019湖北七校联考)已知f(x)是奇函数且是R上的单调函数，若函数yf(2x21)f(x)只有一个零点，则实数的值是()A. B. C. D.解析令yf(2x21)f(x)0，则f(2x21)f(x)f(x)，因为f(x)是R上的单调函数，所以2x21x，只有一个实根，即2x2x10只有一个实根，则18(1)0，解得
15、.答案C6.已知函数f(x)2xx1，g(x)log2xx1，h(x)log2x1的零点依次为a，b，c，则()A.abc B.acbC.bca D.bac解析令函数f(x)2xx10，可知x0，即a0；令g(x)log2xx10，则0x1，即0b1；令h(x)log2x10，可知x2，即c2.显然ab0时，xf(x)m，即xm，解得m2，即实数m的取值范围是(，12，).答案D8.(2019北京燕博园联考)已知函数f(x)若函数yf(x)k有三个不同的零点，则实数k的取值范围是()A.(2，2) B.(2，1) C.(0，2) D.(1，3)解析当x0，函数f(x)若关于x的方程f(x)ax
16、恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是_.解析当x0时，由x22axaax，得ax2ax；当x0时，由x22ax2aax，得2ax2ax.令g(x)作出ya(x0)，y2a(x0)，函数g(x)的图象如图所示，g(x)的最大值为，由图象可知，若f(x)ax恰有2个互异的实数解，则a2a，解得4a0)的最小值为8，则实数a的取值范围是()A.(5，6) B.(7，8) C.(8，9) D.(9，10)解析由于f(x)在0，)上是增函数，在(，0)上是减函数，f(x)minf(0)alog2a8.令g(a)alog2a8，a0.则g(5)log2530，又g(a)在(0，)上是增函数，实数a所在的
17、区间为(5，6).答案A14.(2018郑州一模)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x2)f(x)，且当x1，1时，f(x)x2.令g(x)f(x)kxk，若在区间1，3内，函数g(x)0有4个不相等实根，则实数k的取值范围是()A.(0，) B.C. D.解析令g(x)0，得f(x)k(x1)，由f(x)的周期性，作出yf(x)在1，3上的图象如图所示.设直线yk1(x1)经过点(3，1)，则k1.直线yk(x1)经过定点(1，0)，且由题意知直线yk(x1)与yf(x)的图象有4个交点，00)有三个不同的实根x1，x2，x3，则x1x2x3_.解析易知yexex为奇函数，且其图象向上平移4个单位，得yf(x)的图象.所以yf(x)的图象关于点(0，4)对称，又ykx4过点(0，4)且关于(0，4)对称.方程f(x)kx4的三个根中有一个为0，且另两根之和为0.因此x1x2x30.答案016.(2019邯郸模拟)若曲线ylog2(2xm)(x2)上至少存在一点与直线yx1上的一点关于原点对称，则m的取值范围为_.解析因为直线yx1关于原点对称的直线为yx1，依题意方程log2(2xm)x1在(2，)上有解，即m2x1在x(2，)上有解，m2.又2xm0恒成立，则m(2x)min4，所以实数m的取值范围为(2，4.答案(2，4