1、开卷速查(十一)函数与方程A级基础巩固练12014北京已知函数f(x)log2x.在下列区间中，包含f(x)零点的区间是()A(0,1)B(1,2)C(2,4)D.(4，)解析：因为f(1)6log2160，f(2)3log2220，f(4)log240，所以函数f(x)的零点所在区间为(2,4)，故选C.答案：C2若f(x)是奇函数，且x0是yf(x)ex的一个零点，则x0一定是下列哪个函数的零点()Ayf(x)ex1B.yf(x)ex1Cyexf(x)1D.yexf(x)1解析：答案：C3函数f(x)|x5|2x1的零点所在的区间是()A(0,1)B.(1,2)C(2,3)D.(3,4)解
2、析：依题意得f(0)f(1)0，f(1)f(2)0，f(2)f(3)0，f(3)f(4)0，故f(x)的零点所在区间是(2,3)，故选C.答案：C4已知函数yf(x)的图像是连续不间断的曲线，且有如下的对应值：x123456y124.4357414.556.7123.6则函数yf(x)在区间1,6上的零点至少有()A2个B.3个C4个D.5个解析：依题意，f(2)f(3)0，f(3)f(4)0，f(4)f(5)0，故函数yf(x)在区间1,6上的零点至少有3个，故选B.答案：B5若方程lnxx50在区间(a，b)(a，bZ，且ba1)上有一实根，则a的值为()A5B.4C3D.2解析：设函数f
3、(x)lnxx5(x0)，则f(x)10，所以函数f(x)在(0，)上单调递增，因为f(3)f(4)(ln335)(ln445)(ln32)(ln41)0，故函数f(x)在区间(3,4)上有一零点，即方程lnxx50在区间(3,4)上有一实根，所以a3.答案：C6x表示不超过x的最大整数，例如2.92，4.15，已知f(x)xx(xR)、g(x)log4(x1)，则函数h(x)f(x)g(x)的零点个数是()A1B.2C3D.4解析：作出函数f(x)与g(x)的图像如图所示，发现有2个不同的交点，故选B.答案：B7用二分法研究函数f(x)x33x1的零点时，第一次经计算f(0)0，f(0.5)
4、0可得其中一个零点x0_，第二次应计算_解析：因为f(x)x33x1是R上的连续函数，且f(0)0，f(0.5)0，则f(x)在x(0,0.5)上存在零点，且第二次验证时需验证f(0.25)的符号答案：(0,0.5)f(0.25)8已知函数f(x)若函数g(x)f(x)m有3个零点，则实数m的取值范围是_解析：画出f(x)的图像，如图由函数g(x)f(x)m有3个零点，结合图像得：0m0时，f(x)2 014xlog2 014x，则在R上，函数f(x)零点的个数为_解析：函数f(x)为R上的奇函数，因此f(0)0，当x0时，f(x)2 014xlog2 014x在区间内存在一个零点，又f(x)
5、为增函数，因此在(0，)内有且仅有一个零点根据对称性可知函数在(，0)内有且仅有一解，从而函数在R上的零点的个数为3.答案：310是否存在这样的实数a，使函数f(x)x2(3a2)xa1在区间1,3上与x轴恒有一个交点，且只有一个零点若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由解析：(3a2)24(a1)9a216a8920，若实数a满足条件，则只需f(1)f(3)0即可f(1)f(3)(13a2a1)(99a6a1)4(1a)(5a1)0.所以a或a1.检验：(1)当f(1)0时，a1.所以f(x)x2x.令f(x)0，即x2x0，得x0或x1，方程在1,3上有两根，不合题意，故a1.(2)
6、当f(3)0时，a，此时f(x)x2x.令f(x)0，即x2x0，解之得x或x3，方程在1,3上有两根，不合题意，故a.综上所述，存在实数a，其范围是a或a1.B级能力提升练112014湖北已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x23x，则函数g(x)f(x)x3的零点的集合为()A1,3B.3，1,1,3C2，1,3D.2，1,3解析：当x0时，函数g(x)的零点即方程f(x)x3的根，由x23xx3，解得x1或3；当x0时，由f(x)是奇函数得f(x)f(x)x23(x)，即f(x)x23x.由f(x)x3得x2(正根舍去)故选D.答案：D122014天津已知函数f(x)若函
7、数yf(x)a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为_解析：由题意，函数yf(x)a|x|恰有4个零点，得函数y1f(x)与y2a|x|的图像有4个不同的交点在同一坐标系中作出两个函数的图像如图所示(a显然大于0)由图可知，当y2ax(x0)与y1x25x4(4x1)相切时，x2(5a)x40有两个相等的实数根，则(5a)2160，解得a1(a9舍去)，所以当x0时，y1与y2的图像恰有3个不同的交点显然，当1a2时，两个函数的图像恰有4个不同的交点，即函数yf(x)a|x|恰有4个零点答案：(1,2)13已知二次函数f(x)的最小值为4，且关于x的不等式f(x)0的解集为x|1x3，xR(
8、1)求函数f(x)的解的式；(2)求函数g(x)4lnx的零点个数解析：(1)f(x)是二次函数，且关于x的不等式f(x)0的解集为x|1x3，xR，f(x)a(x1)(x3)ax22ax3a，且a0.f(x)minf(1)4a4，a1.故函数f(x)的解析式为f(x)x22x3.(2)g(x)4lnxx4lnx2(x0)，g(x)1.当x变化时，g(x)，g(x)的取值变化情况如下：x(0,1)1(1,3)3(3，)g(x)00g(x)极大值极小值当0x3时，g(x)g(1)40.又因为g(x)在(3，)单调递增，因而g(x)在(3，)上只有1个零点，故g(x)在(0，)只有1个零点14已知
9、函数f(x)x22exm1，g(x)x(x0)(1)若g(x)m有零点，求m的取值范围；(2)确定m的取值范围，使得g(x)f(x)0有两个相异实根解析：(1)方法一：g(x)x22e，等号成立的条件是xe，g(x)的值域是2e，)，因而只需m2e，则g(x)m就有零点方法二：作出g(x)x(x0)的图像如图所示，可知若使g(x)m有零点，则只需m2e.方法三：由g(x)m得x2mxe20.此方程有大于零的根，故等价于故m2e.(2)方法一：若g(x)f(x)0有两相异的实根，即g(x)与f(x)的图像有两个不同的交点，作出g(x)x(x0)的图像f(x)x22exm1(xe)2m1e2.其对称轴为xe，开口向下，最大值为m1e2.故当m1e22e，即me22e1时，g(x)与f(x)的图像有两个交点，即g(x)f(x)0有两个相异实根m的取值范围是(e22e1，)方法二：令F(x)g(x)f(x)，则由已知F(x)g(x)f(x)有两个零点又F(x)g(x)f(x)12x2e，x20恒成立，2x2xe0恒成立，当xe时F(x)0，xe时F(x)0，故F(x)在(0，e)上为减函数，在(e，)上为增函数F(x)g(x)f(x)在xe处取得极小值，若F(x)g(x)f(x)有两个零点，则F(e)0.即ee22eem10，即me22e1.