1、专题五数列第1讲等差数列与等比数列【选题明细表】知识点、方法题号等差、等比数列基本量的运算2、7、8、14等差、等比数列性质及其应用1、3、10、13等差、等比数列判定及应用4、6、11、12、16等差、等比数列的综合5、9、15基础把关1.等差数列an中,a2+a8=4,则它的前9项和S9等于(B)(A)9(B)18(C)36(D)72解析:在等差数列an中,a2+a8=a1+a9=4,所以S9=18,故选B.2.记Sn为等差数列an的前n项和.若-=1,则其公差d等于(C)(A)(B)-2(C)2(D)3解析:由题意得,-=1,解得d=2.故选C.3.设数列an为等差数列,其前n项和为Sn
2、,已知a1+a4+a7=99,a2+a5+a8=93,若对任意nN*都有SnSk成立,则k的值为(C)(A)22(B)21(C)20(D)19解析:设公差为d,由题意得所以d=-2,a1=39,所以an=41-2n,显然当n20时,an0,当n21时,an0,S180,a10a2a3a90a10a11故当n9时,0,当10n17时,0,S3n=Sn+(S2n-Sn)+(S3n-S2n)=2+2q+2q2=14,q2+q-6=0,q=2,S4n-S3n=2q3=16,S4n=30.答案:3011.数列an中,a1=5,an=2an-1+2n-1(nN*,n2),若存在实数,使得数列为等差数列,则
3、=.解析:a1=5,a2=25+22-1=13,a3=213+23-1=33,若存在,使得成等差数列,则,成等差数列,即2=+,解得=-1.此时,-=1(n2),故=-1适合题意.答案:-112.(2014温州中学月考)设数列an的前n项和为Sn,已知a1=2,a2=8,Sn+1+4Sn-1=5Sn(n2),Tn是数列log2an的前n项和.(1)求数列an的通项公式;(2)求Tn.解:(1)当n2时,Sn+1+4Sn-1=5Sn,Sn+1-Sn=4(Sn-Sn-1),an+1=4an,a1=2,a2=8,a2=4a1,数列an是以a1=2为首项,公比为4的等比数列.an=24n-1=22n-
4、1.(2)由(1)得log2an=log222n-1=2n-1,Tn=log2a1+log2a2+log2an=1+3+(2n-1)=n2.能力提升13.在等比数列an中,a1+an=34,a2an-1=64(n2),且前n项和Sn=62,则项数n等于(B)(A)4(B)5(C)6(D)7解析:在等比数列an中,a2an-1=a1an=64(n2),又a1+an=34,解得a1=2,an=32或a1=32,an=2.当a1=2,an=32时,Sn=62,解得q=2,又an=a1qn-1,所以22n-1=2n=32,解得n=5.同理当a1=32,an=2时,由Sn=62解得q=,由an=a1qn
5、-1=32()n-1=2,得()n-1=()4,即n-1=4,n=5,综上项数n等于5,故选B.14.已知实数a1,a2,a3,a4依次构成公差不为零的等差数列,若去掉其中一个数后,其余三个数按原来顺序构成一个等比数列,则此等比数列的公比为.解析:设公差为d,公比为q,若去掉a1,则=a2a4(a1+2d)2=(a1+d)(a1+3d)d=0(舍去);若去掉a2,则=a1a4(a1+2d)2=a1(a1+3d)a1=-4d.则q=;若去掉a3,则=a1a4(a1+d)2=a1(a1+3d)a1=d,则q=2;若去掉a4,则=a1a3(a1+d)2=a1(a1+2d)d=0(舍去).答案:或21
6、5.(2014浙江建人高复月考)已知数列an为等比数列,其中a7=1,且a4,a5+1,a6成等差数列.(1)求数列an的通项公式;(2)是否存在正整数m,使得当nm时,|an|恒成立?若存在,求出m的值构成的集合.解:(1)设等比数列an的公比为q(q0),由a7=a1q6=1,得a1=q-6,从而a4=a1q3=q-3,a5=a1q4=q-2,a6=a1q5=q-1.因为a4,a5+1,a6成等差数列,所以a4+a6=2(a5+1),即q-3+q-1=2(q-2+1),q-1(q-2+1)=2(q-2+1),所以q=.故an=a1qn-1=q-6qn-1=64()n-1.(2)由|an|=
7、64()n-1201426,而210201416,即n17,故m17.故存在正整数m,当nm时,|an|恒成立,所求m的值构成的集合为m|m17,mN*.16.已知数列an中,a1=,点(n,2an+1-an)(nN*)在直线y=x上.(1)计算a2,a3,a4的值;(2)若bn=an+1-an-1,求证:数列bn是等比数列;(3)求数列an的通项公式.(1)解:由题意2an+1-an=n,又a1=,所以2a2-a1=1,解得a2=,同理a3=,a4=.(2)证明:因为2an+1-an=n,所以bn+1=an+2-an+1-1=-an+1-1=,bn=an+1-an-1=an+1-(2an+1-n)-1=n-an+1-1=2bn+1,又b1=a2-a1-1=-,所以数列bn是以-为首项,为公比的等比数列.(3)解:由(2)得bn=-()n-1=-3()n+1(nN*),则an+1=n-1-bn=n-1+3()n+1,所以an=n-2+3()n(n2).a1=也适合上式,所以an的通项公式为an=n-2+3()n(nN*).