1、2014-2015学年湖南省常德市澧县一中特色班高二（上）第一次段考数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分共50分，请将答案填写在答卷上）1某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是( )A抽签法B随机数法C系统抽样法D分层抽样法2一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s=t3t2+2t，那么速度为零的时刻是( )A0秒B1秒末C2秒末D1秒末和2秒末3已知函数，程序框图如图所示，若输出的结果S=10，则判断框中可以填入的关于n的判断条件是( )An100？Bn99？Cn100？
2、Dn99？4已知双曲线的方程为（a0，b0），双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为（c为双曲线的半焦距长），则双曲线的离心率为( )ABCD5使不等式2x25x30成立的一个充分不必要条件是( )Ax0Bx0或x2CD或x36已知等差数列an的前n项和为Sn，若且P，A，B，C四点共面（该面不过点O），则S2014=( )A503BC1006D10077已知函数，则函数f（x）在点（0，f（0）处的切线方程为( )Axy+1=0Bx+y1=0Ccosx+y1=0D8已知椭圆C：+=1（ab0）的离心率为，双曲线=1的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为
3、( )A+=1B+=1C+=1D+=19已知二面角l为60，AB，ABl，A为垂足，CD，Cl，ACD=135，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为( )ABCD10椭圆的右焦点F，直线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是( )ABCD二、填空题（每小题5分共25分，请将答案填写在答卷上）11135（8）=_（2）12命题“xR，2x23ax+90”为假命题，则实数a的取值范围为_13已知F1、F2分别为双曲线C：的左、右焦点，点AC，点M的坐标为（2，0），AM为F1AF2的平分线，则|AF2|=_14在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=
4、ax2+bx（a，b为常数）过点P（2，5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是_15若f（x）=lnx+x2f（1），则方程f（x）=0的解集为_（请用列举法表示）三、解答题（共75分，要有必要的文字说明，步骤，请将答案填写在答卷上）16已知函数（ I）求时x取值的集合；（ II）已知ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=3，f（C）=0，若向量共线，求a，b的值17如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，P为线段EF上一点（I）若P为EF的中点，求证：APDF；（）是否存在点P，使直线AP与平面BDF所成的角为？若存在，确定P点
5、的位置；若不存在，说明理由18在数列an中，a1=1，an=（c为常数，nN*，n2），又a1，a2，a5成公比不为l的等比数列（I）求证：为等差数列，并求c的值；（）设bn满足b1=，bn=an1an+1（n2，nN*），求数列bn的前n项和Sn19（13分）以F1（0，1），F2（0，1）为焦点的椭圆C过点（）求椭圆C的方程；（）过点的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由20（13分）如图所示，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E是CD的中点，O为AE的中点，以AE
6、为折痕将ADE向上折起，使D到P点位置，且PC=PB（）求证：PO面ABCE；（）求二面角EAPB的余弦值21（13分）已知椭圆C1：=1（ab0）的左右焦点分别为F1，F2，抛物线C2：y=的顶点为B，且经过F1，F2，椭圆C1的上顶点A满足2（I）求椭圆C1的方程；（II）设点M满足2，点N为抛物线C2上一动点，抛物线C2在N处的切线与椭圆交于P，Q两点，求MPQ面积的最大值2014-2015学年湖南省常德市澧县一中特色班高二（上）第一次段考数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分共50分，请将答案填写在答卷上）1某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在
7、显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是( )A抽签法B随机数法C系统抽样法D分层抽样法【考点】分层抽样方法 【专题】概率与统计【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样【解答】解：总体由男生和女生组成，比例为500：500=1：1，所抽取的比例也是1：1故拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是分层抽样法故选：D【点评】本小题主要考查抽样方法，属基本题2一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s=t3t2+2t，那么速度为零的时刻是( )A0秒B1秒末C2秒末D1秒末和2秒末【考点】导数的几何意义 【分析】
8、位移对时间求导数即是速度，求出位移的导数令其等于零解之【解答】解：s=t3t2+2t，v=s（t）=t23t+2，令v=0得，t23t+2=0，t1=1或t2=2故选项为D【点评】考查导数的几何意义导数的几何意义常在高考题的小题中或在大题的第一问中，属容易题3已知函数，程序框图如图所示，若输出的结果S=10，则判断框中可以填入的关于n的判断条件是( )An100？Bn99？Cn100？Dn99？【考点】程序框图 【专题】对应思想；数学模型法；算法和程序框图【分析】模拟程序框图的运行过程，找出此框图的算法功能，由条件S=10得出n的值，从而确定判断框内的条件【解答】解：f（x）=，模拟程序框图的
9、运行过程，得；n=1时，S=0+f（1）=1，n=2时，S=1+（1）=，n=3时，S=+（）=，以此类推，S=10，得n=100，故判断框中应填“n100？”故选：A【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，是基础题目4已知双曲线的方程为（a0，b0），双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为（c为双曲线的半焦距长），则双曲线的离心率为( )A BCD【考点】双曲线的简单性质 【专题】计算题；概率与统计【分析】确定双曲线的焦点坐标，一条渐近线方程，利用点到直线的距离公式，及双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为，建立方程，即可求得双曲线的离心率【解答】解：双曲线的一个焦
10、点为（c，0），一条渐近线方程为，即bxay=0，所以焦点到渐近线的方程为，整理得，所以有，即，离心率，故选B【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查点到直线距离公式，属于中档题5使不等式2x25x30成立的一个充分不必要条件是( )Ax0Bx0或x2CD或x3【考点】充要条件 【专题】计算题【分析】首先解不等式2x25x30，得解集为A=x|x或x3，再根据充分必要条件的含义，可得使不等式2x25x30成立的充分不必要条件对应的x范围应该是集合A的真子集，再对照各个选项就不难得到正确选项了【解答】解：不等式2x25x30整理，得（2x+1）（x3）0不等式的解集为A=x|x或x3，因此，不等式
11、2x25x30成立的一个充分不必要条件，对应的x范围应该是集合A的真子集集合B=x|恰好是集合A的真子集是使不等式2x25x30成立的一个充分不必要条件故选C【点评】本题以一个不等式成立为例，通过讨论其解集，着重考查了充分必要条件的判定与证明和一元二次不等式的解法等知识点，属于基础题6已知等差数列an的前n项和为Sn，若且P，A，B，C四点共面（该面不过点O），则S2014=( )A503BC1006D1007【考点】等差数列的前n项和 【专题】计算题；转化思想；向量法；等差数列与等比数列；空间向量及应用【分析】根据向量的共面定理，得出a1007+a1008=1，再求等差数列的前n项和S201
12、4的值【解答】解：根据向量的共面定理，得；当时，a1007+a1008=1，a1007+a1008=；等差数列an的前n项和S2014=1007（a1007+a1008）=1007=故选：B【点评】本题考查了空间向量的基本定理与等差数列前n项和公式的应用问题，是基础题目7已知函数，则函数f（x）在点（0，f（0）处的切线方程为( )Axy+1=0Bx+y1=0Ccosx+y1=0D【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【专题】导数的综合应用【分析】先求出f（x），欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，从而问题解决【解
13、答】解：，f（x）=ex（sinx+cosx），f（0）=1，f（0）=1，函数f（x）的图象在点A（0，1）处的切线方程为y1=1（x0），即x+y1=0故选B【点评】本小题主要考查直线的斜率与导数的几何意义关系、利用导数求曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力属于基础题8已知椭圆C：+=1（ab0）的离心率为，双曲线=1的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为( )A+=1B+=1C+=1D+=1【考点】椭圆的简单性质 【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由题意，双曲线=1的渐近线方程为y=x，根据以这四个交点为顶点的四边形的面
14、积为16，可得（2，2）在椭圆C：+=1（ab0），利用e=，即可求得椭圆方程【解答】解：由题意，双曲线=1的渐近线方程为y=x以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，故边长为4，（2，2）在椭圆C：+=1（ab0）上，e=，a2=4b2a2=20，b2=5椭圆方程为+=1故选D【点评】本题考查双曲线的性质，考查椭圆的标准方程与性质，正确运用双曲线的性质是关键9已知二面角l为60，AB，ABl，A为垂足，CD，Cl，ACD=135，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为( )ABCD【考点】异面直线及其所成的角 【专题】空间角【分析】首先作出二面角的平面角，然后再构造出异面直线AB与CD所成角，
15、利用解直角三角形和余弦定理，求出问题的答案【解答】解：如图，过A点做AEl，使BE，垂足为E，过点A做AFCD，过点E做EFAE，连接BF，AEl EAC=90CDAF又ACD=135FAC=45EAF=45在RtBEA中，设AE=a，则AB=2a，BE=a，在RtAEF中，则EF=a，AF=a，在RtBEF中，则BF=2a，异面直线AB与CD所成的角即是BAF，cosBAF=故选：B【点评】本题主要考查了二面角和异面直线所成的角，关键是构造二面角的平面角和异面直线所成的角，考查了学生的空间想想能力和作图能力，属于难题10椭圆的右焦点F，直线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直
16、平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是( )ABCD【考点】椭圆的简单性质 【分析】由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等，根据|PF|的范围求得|FA|的范围，进而求得 的范围即离心率e的范围【解答】解：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等而|FA|=|PF|ac，a+c于是 ac，a+c即acc2b2ac+c2又e（0，1）故e故选D【点评】本题主要考查椭圆的基本性质，注意在解不等式过程中将看作整体，属基础题二、填空题（每小题5分共25分，请将答案填写在答卷上）11135（8）=1011101（2
17、）【考点】进位制 【专题】计算题；算法和程序框图【分析】先把“8进制”数转化为“十进制”数，再利用“除2取余法”把：“十进制”数化为“2进制”数【解答】解：135（8）=182+381+580=93（10）利用“除2取余法”可得：93（10）=1011101（2）故答案为：1011101【点评】本题考查了利用“除2取余法”把：“十进制”数化为“2进制”数、不同“进位制”之间的转化方法，属于基础题12命题“xR，2x23ax+90”为假命题，则实数a的取值范围为2，2【考点】命题的真假判断与应用；函数恒成立问题 【分析】根据题意，原命题的否定“xR，2x23ax+90”为真命题，也就是常见的“恒
18、成立”问题，只需0【解答】解：原命题的否定为“xR，2x23ax+90”，且为真命题，则开口向上的二次函数值要想大于等于0恒成立，只需=9a24290，解得：2a2故答案为：2，2【点评】存在性问题在解决问题时一般不好掌握，若考虑不周全、或稍有不慎就会出错所以，可以采用数学上正难则反的思想，去从它的反面即否命题去判定注意“恒成立”条件的使用13已知F1、F2分别为双曲线C：的左、右焦点，点AC，点M的坐标为（2，0），AM为F1AF2的平分线，则|AF2|=6【考点】双曲线的简单性质 【专题】压轴题【分析】利用双曲线的方程求出双曲线的参数值；利用内角平分线定理得到两条焦半径的关系，再利用双曲线
19、的定义得到两条焦半径的另一条关系，联立求出焦半径【解答】解：不妨设A在双曲线的右支上AM为F1AF2的平分线=又|AF1|AF2|=2a=6解得|AF2|=6故答案为6【点评】本题考查内角平分线定理；考查双曲线的定义：解有关焦半径问题常用双曲线的定义14在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+bx（a，b为常数）过点P（2，5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【专题】导数的概念及应用；直线与圆【分析】由曲线y=ax2+bx（a，b为常数）过点P（2，5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，可得y
20、|x=2=5，且y|x=2=，解方程可得答案【解答】解：直线7x+2y+3=0的斜率k=，曲线y=ax2+bx（a，b为常数）过点P（2，5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，y=2ax+b，即有，解得：，故a+b=2，故答案为：2【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，其中根据已知得到切线的斜率是解答的关键15若f（x）=lnx+x2f（1），则方程f（x）=0的解集为（请用列举法表示）【考点】导数的运算 【专题】计算题；方程思想；综合法；导数的概念及应用【分析】由求导公式和法则求出f（x），把x=1代入求出f（1）的值，再求出程f（x）=0的解集【解答
21、】解：由题意得，f（x）=+2xf（1），则f（1）=1+2f（1），解得f（1）=1，所以f（x）=2x，由f（x）=2x=0得，则x=，又x=0舍去，所以方程f（x）=0的解集为，故答案为：【点评】本题考查导数的运算，以及方程思想，属于基础题三、解答题（共75分，要有必要的文字说明，步骤，请将答案填写在答卷上）16已知函数（ I）求时x取值的集合；（ II）已知ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=3，f（C）=0，若向量共线，求a，b的值【考点】正弦定理；平行向量与共线向量 【专题】三角函数的图像与性质；解三角形；平面向量及应用【分析】（I）利用三角函数恒等变换的应用化简函数
22、解析式可得f（x）=，可得，解得x取值的集合（II）由题意可得，结合C的范围，可求C的值，由m与n共线得sinB2sinA=0，由正弦定理可得b=2a 由余弦定理，得 ，解组成的方程组，即可得解【解答】（本题满分为12分）解：（I）=由得，故，所以x取值的集合为：（II），即，m与n共线，sinB2sinA=0，由正弦定理，得b=2a c=3，由余弦定理，得 解组成的方程组，得【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，考查了正弦定理，余弦定理，平面向量与共线向量的应用，属于中档题17如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，P为线段EF上一点（I）若P
23、为EF的中点，求证：APDF；（）是否存在点P，使直线AP与平面BDF所成的角为？若存在，确定P点的位置；若不存在，说明理由【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系 【专题】综合题；转化思想；向量法；空间向量及应用【分析】（I）建立空间坐标系，由条件求得点P的坐标，再根据向量与向量的数量级等于零，可得APDF（II）设平面BDF的法向量为，由 ，取，设，再根据与的夹角的余弦值的绝对值为，求得的值，可得结论【解答】解：（I）以CD，CB，CE分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图则P为EF的中点，（II）由（I）得，设平面BDF的法向量为，由 ，取，设，则，而，即所以存在P点
24、（），使直线AP与平面BDF成60【点评】本题主要考查直线和平面所成的角，空间向量的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题18在数列an中，a1=1，an=（c为常数，nN*，n2），又a1，a2，a5成公比不为l的等比数列（I）求证：为等差数列，并求c的值；（）设bn满足b1=，bn=an1an+1（n2，nN*），求数列bn的前n项和Sn【考点】数列的求和；等差数列的性质 【专题】方程思想；作差法；等差数列与等比数列【分析】（）由题意可得 an0，化简条件可得=c，可得为等差数列，由等差数列的定义求出的通项公式，由 a22=a1a5 解得c的值；（）先求出bn的通项公式为bn=（n2），用
25、裂项法求出bn的前n项和sn【解答】解：（）证明：由题意可得 an0否则，若存在an=0（n1）由递增式必有an1=0，从而导致a1=0，这与a1=1矛盾=c，故是以c为公差，=1为首项的等差数列故=1+（n1）c，an=从而a2=，a5=，由 a22=a1a5 解得c=2或c=0当c=0时，a1=a2=a5，舍去故取c=2（）an=，故对bn：b1=，bn=（n2），Sn=b1+b2+b3+bn，当n2时，Sn=+（1）+（）+（）+（）+（）+（）=+（1+）=1（+）=1当n=1时，所以【点评】本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质，求等差数列的通项公式，用裂项法对数列进行求和，求出
26、Sn的值，是解题的难点，属于中档题19（13分）以F1（0，1），F2（0，1）为焦点的椭圆C过点（）求椭圆C的方程；（）过点的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由【考点】椭圆的应用；直线与圆锥曲线的综合问题 【专题】计算题；存在型【分析】（I）椭圆过点P，则由椭圆的定义知2a=|PF1|+|PF2|=，由此可求出椭圆C的方程（II）解法一：若直线l与x轴重合，则以AB为直径的圆是x2+y2=1；若直线l垂直于x轴时，则以AB为直径的圆是由，由此可求出点T的坐标解法二：如果
27、存在定点T（u，v）满足条件若直线l垂直于x轴时，则以AB为直径的圆经过点（1，0）；若直线l不垂直于x轴时，可设直线l：由，整理得，然后利用根与系数的关系进行求解【解答】解：（I）设椭圆方程为（ab0），椭圆过点P，则由椭圆的定义知2a=|PF1|+|PF2|=所以，b2=a2c2=1，椭圆C的方程为（II）解法一：若直线l与x轴重合，则以AB为直径的圆是x2+y2=1；若直线l垂直于x轴时，则以AB为直径的圆是由解得，所以两圆相切于点（1，0）因此，如果存在点T满足条件，则该点只能是（1，0）下面证明T（1，0）就是所求的点若直线l垂直于x轴时，则以AB为直径的圆经过点（1，0）；若直线l
28、不垂直于x轴时，可设直线l：由，整理得记A（x1，y1）、B（x2，y2），则又因为，则=（x11）（x21）+y1y2=所以，TATB，即以AB为直径的圆恒过定点T（1，0），故平面上存在一个定点T（1，0）满足题设条件解法二：（I）由已知c=1，设椭圆方程为因为点P在椭圆上，则，解得a2=2，所以椭圆方程为（II）如果存在定点T（u，v）满足条件若直线l垂直于x轴时，则以AB为直径的圆经过点（1，0）；若直线l不垂直于x轴时，可设直线l：由，整理得记A（x1，y1）、B（x2，y2），则又因为，则=（x1u）（x2u）+（y1v）（y2v）=当且仅当恒成立时，以AB为直径的圆恒过点T（u，
29、v）恒成立等价于，解得u=1，v=0所以当u=1，v=0时，无论直线l如何转动，以AB为直径的圆恒过定点T（1，0）故平面上存在一个定点T（1，0）满足题目条件【点评】本题考查椭圆方程的求法和直线与椭圆位置关系，解题要注意挖掘隐含条件，合理选用公式20（13分）如图所示，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E是CD的中点，O为AE的中点，以AE为折痕将ADE向上折起，使D到P点位置，且PC=PB（）求证：PO面ABCE；（）求二面角EAPB的余弦值【考点】直线与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角；二面角的平面角及求法 【专题】计算题；证明题【分析】（I）由已知中AB=4，AD=2，E是
30、CD的中点，O为AE的中点， D到折起到P点位置，且PC=PB，取BC的中点F，连OF，PF，结合等腰三角形三线合一的性质，我们易得到BC面POF，POAE，进而根据线面垂直的判定定理得到答案（II）以O点为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求出平面EAP和平面BAP的法向量，然后利用向量法易求出二面角EAPB的余弦值【解答】解：（I）PA=PE，OA=OEPOAE取BC的中点F，连OF，PF，OFAB，OFBC因为PB=PCBCPF，所以BC面POF从而BCPO，又BC与PO相交，可得PO面ABCE（II）作OGBC交AB于G，OGOF如图，建立直角坐标系，A（1，1，0），B（1，3，0）
31、，C（1，3，0），P（0，0，）设平面PAB的法向量为，同理平面PAE的法向量为，二面角EAPB的余弦值为【点评】本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，用空间向量求平面间的夹角，二面角的平面角及求法，其中选择恰当的点建立空间坐标系，将空间点线面的夹角转化为向量的夹角是解答本题的关键21（13分）已知椭圆C1：=1（ab0）的左右焦点分别为F1，F2，抛物线C2：y=的顶点为B，且经过F1，F2，椭圆C1的上顶点A满足2（I）求椭圆C1的方程；（II）设点M满足2，点N为抛物线C2上一动点，抛物线C2在N处的切线与椭圆交于P，Q两点，求MPQ面积的最大值【考点】椭圆的简单性质 【专题】综合题
32、；方程思想；待定系数法；平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（I）求得抛物线的顶点，求得F1，可得c=1，再由向量共线的坐标表示，可得b=1，进而得到a，即有椭圆方程；（II）运用向量共线的坐标表示，求得PQ的斜率，设出PQ的方程，联立椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，结合点到直线的距离公式，由三角形的面积公式，运用二次函数的最值求法，可得最大值【解答】解：（I）由抛物线C2：，可得，F1（1，0），设椭圆的焦距为2c，则有c=1，又由可得A（0，1），b=1，故椭圆C1的方程为 （）由知，点M为OB中点， 设点，由得，则kPQ=y|x=t=t，联立，消去y整理得，由0，得，设P（x1，y1），Q（x2，y2），由韦达定理可得，而点到直线PQ的距离为，所以，故当t2=3时，【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用抛物线的顶点和向量共线的坐标表示，考查三角形的面积的最大值的求法，注意运用联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，面积公式，化简整理，属于中档题