1、A级基础巩固1.下列各图中,表示以x为自变量的奇函数的图象是() A B C D答案:B2.若f(x)为偶函数,且当x0时,f(x)2,则当x0时()A.f(x)2 B.f(x)2C.f(x)-2 D.f(x)R答案:B3.若f(x)=ax2+bx+c(c0)是偶函数,则g(x)=ax3+bx2+cx()A.是奇函数但不是偶函数B.是偶函数但不是奇函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数答案:A4.已知f(x)=(k-2)x2+(k-3)x+3是偶函数,则f(x)的递减区间为(-,0.5.判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)=x3+x5;(2)f(x)=|x+1|+|x-1|;
2、(3)f(x)=2x2+2xx+1.解: (1)函数的定义域为R,关于原点对称.因为f(-x)=(-x)3+(-x)5=-(x3+x5)=-f(x),所以f(x)是奇函数.(2)f(x)的定义域是R,关于原点对称.因为f(-x)=|-x+1|+|-x-1|=|x-1|+|x+1|=f(x),所以f(x)是偶函数.(3)函数f(x)的定义域是(-,-1)(-1,+),不关于原点对称,所以f(x)是非奇非偶函数.B级能力提升6.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)=()A.-3 B.-1 C.1 D.3解析:用“-x”代
3、替“x”,得f(-x)-g(-x)=(-x)3+(-x)2+1,化简得f(x)+g(x)=-x3+x2+1,令x=1,得f(1)+g(1)=1,故选C.答案:C7.已知函数f(x)=x2+x+1x2+1,若f(a)=23,则f(-a)=43.解析:根据题意,知f(x)=x2+x+1x2+1=1+xx2+1,令h(x)=xx2+1,则h(x)是奇函数,故f(-a)=1+h(-a)=1-h(a)=2-1+h(a)=2-f(a)=2-23=43.8.已知函数f(x)=ax2+1bx+c(a,b,cZ)是奇函数,又f(1)=2,f(2)3,求a,b,c的值.解:因为函数f(x)=ax2+1bx+c是奇
4、函数,所以f(-x)=-f(x),因此,有ax2+1-bx+c=-ax2+1bx+c,所以c=-c,即c=0.所以f(x)=ax2+1bx.又因为f(1)=2,所以a+1=2b,由f(2)3,得4a+1a+13,解得-1a2 .因为a,b,cZ,所以a=0或a=1,当a=0时,b=12Z,故舍去;当a=1时,b=1.综上可知,a=1,b=1,c=0.C级挑战创新9.多选题下列说法正确的是()A.f(x)=|x+1|-|x-1|是奇函数B.g(x)=1-x2|x+2|-2既不是奇函数也不是偶函数C.F(x)=f(x)f(-x)(xR)是偶函数D.h(x)=x2-1+1-x2既是奇函数,又是偶函数
5、解析:对于A项,因为f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x),所以f(x)=|x+1|-|x-1|是奇函数,A正确.对于B项,由1-x20,得-1x1,关于原点对称.所以g(x)=1-x2|x+2|-2=1-x2x+2-2=1-x2x,满足g(-x)=-g(x),故y=g(x)是奇函数,B项错误.对于C项,因为F(x)=f(x)f(-x),所以F(-x)=f(-x)f(x)=F(x)(xR),所以F(x)=f(x)f(-x)是偶函数,C项正确.对于D项,由x2-10,1-x20,解得x=1,故函数h(x)的定义域为-1,1,且h(x)=0,所以h(x)既是奇函数,又是偶函数,D项正确.答案:ACD10.多空题设函数f(x)(xR)为奇函数,f(1)=12,f(x+2)=f(x)+f(2),则f(3)=32,f(5)=52.解析:因为f(1)=12,f(x+2)=f(x)+f(2),令x=-1,得f(1)=f(-1)+f(2).又因为f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1).于是f(2)=2f(1)=1;令x=1,得f(3)=f(1)+f(2)=32,于是f(5)=f(3)+f(2)=52.
