1、 数学（理）试卷第卷（共60分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A B C D2. 展开式中含项的系数为（ ）A B C112 D11203.已知某几何体的正（主）视图与侧（左）视图都是直角边长为1的等腰直角三角形，且体积为，则该几何体的俯视图可以是（ ）ABCD4.过点的直线交抛物线于两点，且，则（为坐标原点）的面积为（ ）A B C D5.设实数，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件6.回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如2，11
2、，242，6776，83238等，设位回文数个数为（为正整数），如11是2位回文数，则下列说法正确的是（ ）A B C D以上说法都不正确7.如图，已知直线与曲线相切于两点，则有（ ）A1个极大值点，2个极小值点 B2个极大值点，1个极小值点C3个极大值点，无极小值点 D3个极小值点，无极大值点8.已知为平面上三个不共线的定点，平面上点满足（是实数），且是单位向量，则这样的点有（ ）A0个 B1个 C2个 D无数个第卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）9.在数列中，则_，_10.设，若复数（为虚数单位）的实部和虚部相等，则_，_11.若实数满足，则的取值范围是_12.若函数
3、的最小正周期为1，则_，函数在区间上的值域为_13.甲、乙两人进行5局乒乓球挑战赛，甲在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立设甲赢的局数为，则_，_，_14.如图，已知矩形为边上的点，现将沿翻折至，使得点在平面上的投影在上，且直线与平面所成角为30，则线段的长为_15.设，若定义域为的函数满足，则的最大值为_三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16.（本小题14分）在中，内角所对的边分别为，（1）证明：；（2）若，求的面积17.（本小题15分）如图，已知四棱锥的底面为菱形，且是中点（1）证明：平面；（2）若，求二面角的余弦值18.（本小题15分
4、）已知数列的各项都不为零，其前项为，且满足：（1）若，求数列的通项公式；（2）是否存在满足题意的无穷数列，使得？若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，请说明理由19.（本小题15分）已知椭圆的离心率为，为圆上任意一点，过作椭圆的切线，设切点分别为（1）证明：切线的方程为；（2）设为坐标原点，求面积的最大值20.（本小题15分）已知函数（1）若为正实数，求函数上的最大值和最小值；（2）若对任意的实数，都有，求实数的取值范围参考答案一、选择题 ：12345678二、填空题：9. 9，121 10. 0， 11 12 13 14 15三、解答题17.解：（1），由正弦定理得，解得，10
5、分由余弦定理有，即，解得13分15分17解：（1）证：连结，连接，四棱锥的底面为菱形，为中点，又是中点，在中，是中位线，又平面，而平面，平面；6分（2）取的中点，连结、，菱形，且，正，且等腰直角，即平面，且，如图，建立空间直角坐标系：以点为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，则9分平面上，；设平面的法向量为，则有，即；11分设平面的法向量为，因为，则有可取13分， 二面角的余弦值为15分18（1）数列 的各项都不为零且满足，解得2分，-得，整理得到，5分是以1为首项，以1为公差的等差数列，7分（2）根据（1），可得或，11分所以从第二项开始每一项都有两个分支，因此通项为的数列满足题意，使得（其他符合的答案类似给分）15分19解：（1）由题，解得2分当时， ，直线，代入椭圆方程得到，切线的方程是当时，联立，消，得到，即，5分所以切线的方程为8分（2）根据（1）可得切线的方程为，切线 的方程为，所以直线方程为9分，消得到，11分又原点到直线的距离，13分又为圆上任意一点，令，则在上单调递减，所以15分20解：（1），又，在上递减，在上递增，5分令，8分（2）由题得：问题等价于当时，10分令，则11分下面证明：当时，成立，故只需证，即，令，则又，所以在上递减，在上递增，所以所以实数的取值范围为15分