1、第5节根式、指数、对数考试要求1.了解指数幂的含义，掌握有理指数幂的运算；2.理解对数的概念，掌握对数的运算，会用换底公式.知 识 梳 理1.根式与指数幂的运算(1)根式概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.性质：()na(a使有意义)；当n为奇数时，a，当n为偶数时，|a|(2)分数指数幂规定：正数的正分数指数幂的意义是a(a0，m，nN*，且n1)；正数的负分数指数幂的意义是a(a0，m，nN*，且n1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.有理指数幂的运算性质：arasars；(ar)sars；(ab)rarbr，其中a0，b0，r，sQ.2.对数与对数的运
2、算(1)对数的概念如果axN(a0，且a1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.(2)对数的性质loga10；logaa1；alogaNN；logaabb(a0，且a1).(3)对数的运算法则如果a0且a1，M0，N0，那么loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM(nR)；(4)换底公式logbN(a，b均大于零且不等于1).常用结论与易错提醒已知a，b，c，d，M，N都满足条件，则：(1)logamMnlogaM(m，nR，且m0).(2)logab，推广logablogbclogcdlogad
3、.基 础 自 测1.(必修1P52例5改编)化简(2)6(1)0的结果为()A.9 B.7 C.10 D.9解析原式(26)1817.答案B2.若loga2logb20，则()A.0ab1 B.0bab1 D.ba1解析loga2logb200lg blg a0，故0baln 20，所以ab，且ab1.答案ab1考点一指数幂的运算【例1】 化简：(1)(a0，b0)；(2)(0.002)10(2)1()0.解(1)原式a1b12ab1.(2)原式150010(2)11010201.规律方法(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：必须同底数幂相乘，指
4、数才能相加；运算的先后顺序.(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.【训练1】 化简求值：(1)22(0.01)0.5；(2).解(1)原式111.(2)原式ab.考点二对数的运算【例2】 (1)设2a5bm，且2，则m等于()A. B.10 C.20 D.100(2)计算：100_.解析(1)由已知，得alog2m，blog5m，则logm2logm5logm102.解得m.(2)原式(lg 22lg 52)100lg10lg 1021021020.答案(1)A(2)20规律方法(1)在对数运算中，先利用幂的运
5、算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.(3)abNblogaN(a0，且a1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.【训练2】 (1)(2017全国卷)设x，y，z为正数，且2x3y5z，则()A.2x3y5z B.5z2x3yC.3y5z2x D.3y2x(由ln 32ln 23可得)，又x，y为正数，2x3y.xln 2zln 5，则(由ln 52ln 25可得)，又x，z为正数，2x5z，3y2x5z，故选
6、D.(2)由ab1，得0logab1，又因为logablogbalogab，解得logab，所以ab，即b2a，所以1.答案(1)D(2)1基础巩固题组一、选择题1.化简(x0，y0)得()A.2x2y B.2xyC.4x2y D.2x2y解析x0，y0)()A.lg(x2y)(lg x)2lg yB.lg(x2y)2lg x2lg y2lg zC.lg(x2y)2lg xlg y2lg zD.lg(x2y)2lg xlg ylg z解析x，y，zR.lg(x2y)lg x2lg ylg 2lg xlg ylg z.答案D9.已知m0且m1，则logmn0是(1m)(1n)0的()A.充分不必
7、要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析m0且m1，由logmn0得或(1m)(1n)0，反过来，当(1m)(1n)0时，不妨取m，n1，此时logmn无意义，故选A.答案A二、填空题10.若log2xlog43，则x_.解析由等式可得log2xlog23，解得x.答案11.(lg 2)2lg 2lg 50lg 25_.解析(lg 2)2lg 2lg 50lg 25lg 2(lg 2lg 50)lg 252(lg 2lg 5)2.答案212.若xlog43，则(2x2x)2_.解析xlog43，4x3，4x，(2x2x)24x24x32.答案13.已知aa3，则aa1_
8、，a2a2_.解析aa3，两边平方得aa129，aa17，对上式两边平方得a22a249，a2a247.答案74714.已知a0且a1，若a，则a_；loga_.解析a0且a1，由a得a；logalog2.答案2能力提升题组15.(2019衢州二中二模)已知a0，b0，则下列等式不正确的是()A.alg bblg a1 B.alg bblg a2alg bC.alg bblg a(alg b)2 D.alg bblg ablg a2解析由于a0，b0，故当ab时，有alg bblg a(alg b)2，alg bblg aalg balg b2alg b，alg bblg a(blg a)2b
9、2lg ablg a2，故选A.答案A16.函数f(x)的图象为()解析f(x)故选D.答案D17.(2018全国卷)设alog0.20.3，blog20.3，则()A.abab0 B.abab0C.ab0ab D.ab0ab解析由alog0.20.3得log0.30.2，由blog20.3得log0.32，所以log0.30.2log0.32log0.30.4，所以01，得00，b0，所以ab0，所以abab0，y0，lg 2xlg 8ylg 2，则xy的最大值是_.解析由题意得lg 2xlg 8ylg(2x23y)lg 2x3ylg 2(x0，y0)，所以x3y1，则xyx3y，当且仅当x3y时，等号成立，所以xy的最大值为.答案19.(2019湖州适应性考试)若实数ab1，且loga blogb a2，则logb a_，_.解析因为ab1，所以logb a1，则由loga blogb a22logb a，解得logb a3，即b3a，则1.答案3120.已知a2x，b4，则log2b_，满足logab1的实数x的取值范围是_.解析b42，所以log2blog22；由log2xb1，得log2x21，即0，解得x或x0，即x的取值范围为(，0).答案(，0)