1、福建师大附中2019-2020学年上学期期末考试高二数学试卷第卷（选择题，共70分）一、单项选择题：每小题5分，共50分.在每小题给出的选项中，只有一个选项是正确的.1.已知空间向量，共线，则实数的值是（ ）A. -3B. 2C. -3或2D. 3或-2【答案】C【解析】【分析】由向量共线定理求解【详解】由题意存在实数，使得，即，解得或故选：C.【点睛】本题考查空间向量共线，掌握空间向量共线定理是解题基础2.设是可导函数，且，则（ ）A. 2B. -1C. 1D. -2【答案】A【解析】【分析】根据导数的定义求解【详解】故选：A.【点睛】本题考查导数的定义，注意极限中形式的一致性3.正方体中，
2、是的中点，是底面的中心，是棱上任意一点，则直线与直线所成的角是（ ）A. B. C. D. 与点的位置有关【答案】C【解析】【分析】建立空间直角坐标系，用向量法求解【详解】如图，以为轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则，设，即直线与直线所成的角为故选：C.【点睛】本题考查异面直线所成的角，解题关键是建立空间直角坐标系，用空间向量法求解4.已知正四面体的各棱长为1，点是的中点，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】把表示为，然后再求数量积【详解】由题意，四面体是正四面体，每个面都是正三角形，故选：A.【点睛】本题考查向量的数量积，解题关键是把表示为，然后计算即可5
3、.在长方体中，则与平面所成角的正弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】做出线面角，在直角三角形中解角的正弦值.【详解】做于H点，连接AH，因为，又因为，根据线面角的定义得到为所求角，在中，由等面积法得到，线面角的正弦值为： 故答案为B.【点睛】这个题目考查了空间中的直线和平面的位置关系，线面角的求法求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可6.函数y=2x2e|x|在2,2的图像大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：函数f（x）
4、=2x2e|x|在2,2上是偶函数，其图象关于轴对称，因为，所以排除选项；当时，有一零点，设为，当时，为减函数，当时，为增函数故选D7.若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析】在恒成立，再转化为求函数最值【详解】，由题意在恒成立，即在恒成立，时，所以，所以故选：D.【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，函数在区间上单调递增，转化为在区间上恒成立，不等式恒成立又可转化为求函数最值本题对学生的转化与化归能力有一定的要求8.在空间直角坐标系中，四面体的顶点坐标分别是，.则点到面的距离是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出平
5、面的一个法向量，再求出在方向上的投影的绝对值即可【详解】由题意,设平面的一个法向量为，则，取，则，即到平面的距离是故选：A.【点睛】本题考查用空间向量法求点到平面的距离设是平面的一个法向量，是平面内任一点，则到平面的距离是9.已知函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分别讨论时，的零点个数，时，的零点个数，综合后可得结论【详解】时， ，当，递减，因此在上有且只有一个零点当时，递增，因此在在上有且只有一个零点，时，时，递减，时，递增， 时，在上有一个零点，在上有一个零点，时，若或，有一个零点，若，无零点，若，有两个零点因此满足题意的的取值范围
6、是 故选：C.【点睛】本题考查函数的零点个数，对分段函数来讲要分段讨论，对于复杂的函数一般可通过导数研究函数的单调性与最值，结合零点存在定理确定零点个数10.已知是定义在上的偶函数，且当时，有，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】构造新函数，确定它的单调性后结合偶函数性质可解题中不等式【详解】设，则，当时，有，在上单调递增又是定义在上的偶函数，也是定义在上的偶函数（因为），不等式可化为，即，或故选：C.【点睛】本题考查用导数解不等式，解题关键是构造新函数，确定它的奇偶性和单调性二、多项选择题：每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全
7、部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.11.定义在上的可导函数的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是（ ）A. -3是的一个极小值点；B. -2和-1都是的极大值点；C. 的单调递增区间是；D. 单调递减区间是【答案】ACD【解析】【分析】由导函数与单调性、极值的关系判断【详解】当时，时，是极小值点，无极大值点，增区间是，减区间是故选：ACD.【点睛】本题考查导数与函数单调性、极值的关系，一定要注意极值点两侧导数的符号相反12.定义在的函数，已知是它的极大值点，则以下结论正确的是（ ）A. 是的一个极大值点B. 是的一个极小值点C. 是的一个极大值点D. 是的一个极小值点【答案】
8、AD【解析】【分析】由确定的导数的性质，从而可确定的性质再根据与的图象关于轴对称作答【详解】是的极大值点，就是存在正数，使得在上，在上，设，当时，同理时，是的一个极大值点，从而是的一个极小值点，是的一个极小值点不能判定是不是的极值点故选：AD.【点睛】本题考查导数与函数单调性、极值的关系，一定要注意极值点两侧导数的符号相反13.设，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】BCD【解析】【分析】把各选项代入函数式检验，能求出实根的解出实根，不能求出实根的用函数的性质判断详解】记，时，或，不满足题意；，时，在和是递增，在上递减，而，只有一个零点，即只
9、有一个实根，同理，时，在和是递增，在上递减，而，只有一个零点，即只有一个实根，时，只有一个实根，故选：BCD.【点睛】本题考查方程实根个数问题，对于方程根无法解出的情况可以通过研究函数的极值与单调性确定函数零点即方程根的个数14.如图，矩形中，为边的中点.将沿直线翻折成（点不落在底面内).若为线段的中点，则在翻转过程中，以下命题正确的是（ ）A. 四棱锥体积最大值为B. 线段长度是定值；C. 平面一定成立；D. 存在某个位置，使；【答案】ABC【解析】【分析】平面平面时，到平面的距离最大，求出这个最大值，即能求出最大体积知A是否正确，取中点，连接，可得，平面平面，从而可得B、C是否正确，对D，
10、假设有，推导出矛盾结论，说明D错误【详解】是等腰直角三角形，到的距离是，当平面平面时，到平面的距离最大为，又，A正确；取中点，连接，是的中点，而平面，平面，平面，由与平行且相等得是平行四边形，同理得平面，而，平面平面，平面，平面，C正确，在上述过程中得，又，为定值，B正确；假设存在某个位置，使，取中点，连接，显然，而，平面，平面， ，则，但，不可能相等，所以不可能有D错故选：ABC.【点睛】本题考查空间折叠问题，考查空间线面的位置关系，解题时对体积，平行、垂直都要有充分的认识对一个命题说明它为假时可以通过反证法证明第卷（非选择题，共80分）三、填空题：每小题5分，共20分. 15.已知函数，则
11、_.【答案】3【解析】【分析】先求出导函数，令，求出后再求【详解】由题意，即，故答案为：3.【点睛】本题考查导数的运算，属于基础题16.过原点与曲线相切的直线方程为_.【答案】【解析】【分析】设切点坐标，写出切线方程，由切线过原点，再求出切点坐标，从而得切线方程【详解】设切点为，由于， 切线斜率为，切线方程为，切线过原点，所以切线方程为，即故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义求过某点的切线，应先设切点坐标，由导数的几何意义写出切线方程，代入所过点的坐标求出切点坐标，从而得出切线方程17.若函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】先求的极小值点，的极小值点在区间上
12、，由此可得的范围【详解】，当或时，当时，是函数的极小值点函数在区间上有最小值，即为极小值，解得故答案为：【点睛】本题考查导数与最值的关系连续函数在的最小值就是极小值，最大值就是极大值但在是的最值不一定是极值18.已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是_，该几何体的外接球半径为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】由正视图知三棱锥两个面垂直，如图平面平面，是中点，则，这样体积易求，然后寻找和的外心，由三角形的外心找到三棱锥外接球球心【详解】由正视图，知平面平面，如图，是中点，则为三棱锥的高，分别延长至，使，则可得分别是的外心，作平面，
13、作平面，交于点（这两条直线都在平面内，因此它们相交，也可作得结论），则为三棱锥外接球球心是正方形，故答案为：；【点睛】本题考查三视图，考查棱锥的体积及棱锥的外接球解题关键是由正视图得出三棱锥中的线面间的位置关系及线段长度难点是寻找外接球球心掌握如下结论就容易找到球心：多面体的外接球球心一定在过各面外心且与此面垂直的直线上四、解答题：5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19.已知函数在处有极值（1）求a,b的值；（2）求的单调区间【答案】(1),(2) 单调减区间是,单调增区间是【解析】【分析】（1）先对函数求导，得到，再由题意，列出方程组，求解，即可得出结果；（2）由（1
14、）的结果，得到，对其求导，解对应的不等式，即可得出单调区间.【详解】解：（1）又在处有极值,即解得,（2）由（1）可知,其定义域是,由得；由,得函数的单调减区间是,单调增区间是【点睛】本题主要考查由函数极值求参数，以及导数的方法求单调区间的问题，通常需要对函数求导，利用导数的方法求解即可，属于常考题型.20.如图，三棱柱中，四边形是矩形，是的中点，平面平面（1）求证：平面；（2）求锐二面角的平面角的大小【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）先由已知面面垂直证明平面，得，再在矩形中由勾股定理逆定理证明，从而可得线面垂直；（2）由（1）知，两两垂直，以它们为坐标轴建立空间直角坐标系，写出
15、各点坐标，求出平面的法向量，用向量法求二面角【详解】解：（1）证明：平面平面，平面平面，又由四边形是矩形知，平面，平面，平面，在中，即，又，平面（2）由（1）知，两两垂直，分别以，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，设为平面的法向量，则，即，令，得，即，取为平面的一个法向量，锐二面角的平面角的大小是【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查向量法求二面角掌握证明线面垂直的判定定理及面面垂直的性质定理是解答本题的关键在求空间角时，一般都是建立空间直角坐标系，用空间向量法求角21.如图，有一块半径为20米，圆心角的扇形展示台，展示台分成了四个区域：三角形，弓形，扇形和扇形（其中）.某次菊花展依次
16、在这四个区域摆放：泥金香、紫龙卧雪、朱砂红霜、朱砂红霜.预计这三种菊花展示带来的日效益分别是：泥金香50元/米，紫龙卧雪30元/米，朱砂红霜40元/米.（1）设，试建立日效益总量关于的函数关系式；（2）试探求为何值时，日效益总量达到最大值.【答案】（1），其中，.（2）当时，日效益总量可取得最大值.【解析】【分析】（1）利用扇形面积公式可求出四个区域的面积，从而可计算出日收益（2）利用导数可求得日收益的最大值【详解】（1）依题意得，则，其中，.（2），令，得，当，当时，所以，是函数的极大值点，且唯一；从而当时，日效益总量可取得最大值.【点睛】本题考查三角函数模型的应用，考查导数在实际问题中的应
17、用解题关键是根据题意列式，求出函数表达式，然后再利用导数知识可求得最大值22.在如图所示的六面体中，面是边长为的正方形，面是直角梯形，.（）求证：/平面；（）若二面角为，求直线和平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析.(2) .【解析】试题分析：（1）连接相交于点,取的中点为,连接，易证四边形是平行四边形，从而可得结论；（2）以为坐标原点,为轴、为轴、为轴建立空间直角坐标系.则,计算法向量，根据公式即可求出.试题解析：(1):连接相交于点,取的中点为,连接.是正方形,是的中点,又因为,所以且,所以四边形是平行四边形,又因为平面平面平面(2)是正方形,是直角梯形,平面,同理可得平面.又平面
18、,所以平面平面,又因为二面角为60，所以,由余弦定理得,所以，因为半面，,所以平面,以为坐标原点,为轴、为轴、为轴建立空间直角坐标系.则,所以设平面的一个法向量为,则即令，则，所以设直线和平面所成角为，则23.已知函数，.（1）当时，试讨论方程的解的个数；（2）若曲线和上分别存在点，使得是以原点为直角顶点的直角三角形，且斜边的中点在轴上，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）求出导函数，由导函数确定函数的单调性，作出函数的大致图象，通过图象确定方程解的个数；（2）设，由，题意说明，代入得，化简后有，从而，只要求得（）的值域即得的范围【详解】（1）当，；又的定义域为；当时，恒成立.所以，在上单调递减，在也单调递减，图象如图所示.因此，当即时，方程无解；当即时，方程有唯一解.（2）设，则，.，由题意，即，则.设，则，即函数在上为增函数，则，即.实数的取值范围是.【点睛】本题考查用导数研究方程根的个数，求函数值域问题解题关键是问题的转化方程根的个数可通过函数图象与直线的交点个数来研究，而题中第（2）个问题，通过两点的关系，转化为，即有解，然后再转化为求函数值域本题对学生的转化与化归能力要求较高，对运算求解能力要求较高