1、课时跟踪检测（六十）几何概型 一抓基础，多练小题做到眼疾手快1利用计算机产生 01 之间的均匀随机数 a，则使关于 x 的一元二次方程 x2xa0 无实根的概率为_解析：要使 x2xa0 无实根，则 14a14，则所求的概率等于1141034.答案：342设不等式组0 x2，0y2表示的平面区域为 D，在区域 D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是_解析：如图所示，区域 D 为正方形 OABC 及其内部，且区域 D的面积 S4.又阴影部分表示的是区域 D 内到坐标原点的距离大于 2的区域易知该阴影部分的面积 S 阴4，所求事件的概率 P44.答案：443在区间1,2上随机
2、取一个数 x，则|x|1 的概率为_解析：因为|x|1，所以1x1，所以所求的概率为112123.答案：234已知平面区域 D(x，y)|1x1，1y1，在区域 D 内任取一点，则取到的点位于直线 ykx(kR)下方的概率为_解析：由题设知，区域 D 是以原点为中心的正方形，直线 ykx 将其面积平分，如图，所求概率为12.答案：125某单位甲、乙两人在 19：0024：00 之间选择时间段加班，已知甲连续加班 2 小时，乙连续加班 3 小时，则 23：00 时甲、乙都在加班的概率是_解析：设甲开始加班的时刻为 x，乙开始加班的时刻为 y，试验的全部结果所构成的区域为 M(x，y)|19x22
3、，19y21，面积 SM236.事件 A 表示“23：00 甲、乙都在加班”，所构成的区域为 A(x，y)|21x22,20y21，面积 SA111，所以所求的概率为 P(A)SASM16.答案：16二保高考，全练题型做到高考达标1从集合 A2,3，4中随机选取一个数，记为 k，从集合 B2，3,4中随机选取一个数，记为 b，则直线 ykxb 不经过第二象限的概率为_解析：将 k 和 b 的取法记为(k，b)，则有(2，2)，(2，3)，(2,4)，(3，2)，(3，3)，(3,4)，(4，2)，(4，3)，(4,4)，共 9 种，因为 kb0，所以当直线 ykxb不经过第二象限时应有 k0，
4、b0，有(2，2)，(2，3)，(3，2)，(3，3)，共 4 种，所以所求概率为49.答案：492(2016石家庄一模)在区间0,1上任取两个数，则这两个数之和小于65的概率是_解析：设这两个数分别是 x，y，则总的基本事件构成的区域是0 x1，0y1确定的平面区域，所求事件包含的基本事件构成的区域是0 x1，0y1，xy65确定的平面区域，如图所示，阴影部分的面积是 112 4521725，所以这两个数之和小于65的概率是1725.答案：17253(2016海门中学模拟)在面积为 S 的ABC 内部任取一点 P，则PBC 的面积大于S4的概率为_解析：设 AB，AC 上分别有点 D，E 满
5、足 AD34AB 且 AE34AC，则ADEABC，DEBC 且 DE34BC.点 A 到 DE 的距离等于点 A 到 BC 的距离的34，DE 到 BC 的距离等于ABC 高的14.当动点 P 在ADE 内时，P到 BC 的距离大于 DE 到 BC 的距离，当 P 在ADE 内部运动时，PBC 的面积大于S4，所求概率为SADESABC 342 916.答案：9164已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1，在正方体内随机取一点 M，则四棱锥 M-ABCD 的体积小于16的概率为_解析：正方体 ABCD-A1B1C1D1 如图所示设四棱锥 M-ABCD 的高为 h，由13S 四边
6、形 ABCDh16，且 S 四边形 ABCD1，得 h12，即点 M 在正方体的下半部分(不包括底面)故所求概率 P12 V1111ABCD A B C D-方体正V1111ABCD A B C D-方体正12.答案：125(2015徐州、宿迁质检)由不等式组x0，y0，yx20确定的平面区域记为 1，不等式组xy1，xy2 确定的平面区域记为 2，在 1 中随机取一点，则该点恰好在 2 内的概率为_解析：平面区域 1 的面积为12222，平面区域 2为一个条形区域，画出图形如图所示，其中 C(0,1)由yx20，xy1，解得x12，y32，即 D12，32，则ACD 的面积为 S121121
7、4，则四边形 BDCO 的面积 SSOABSACD21474.在 1 中随机取一点，则该点恰好在 2 内的概率为74278.答案：786一只昆虫在边分别为 5,12,13 的三角形区域内随机爬行，则其到三角形顶点的距离小于 2 的地方的概率为_解析：如图所示，该三角形为直角三角形，其面积为1251230，阴影部分的面积为12222，所以所求概率为230 15.答案：157(2016苏锡常镇一模)AB 是半径为 1 的圆的直径，M 为直径 AB 上任意一点，过点M 作垂直于直径 AB 的弦，则弦长大于 3的概率是_解析：依题意知，当相应的弦长大于 3时，圆心到弦的距离小于1232212，因此相应
8、的点 M 应位于线段 AB 上与圆心的距离小于12的地方，所求的概率等于12.答案：128已知在圆(x2)2(y2)28 内有一平面区域 E：x40，y0，mxy0，m0，点 P 是圆内的任意一点，而且点 P 出现在任何一点处是等可能的若使点 P 落在平面区域 E 内的概率最大，则 m_.解析：如图所示，当 m0 时，平面区域 E(阴影部分)的面积最大，此时点 P 落在平面区域 E 内的概率最大答案：09甲、乙两辆车去同一货场装货物，货场每次只能给一辆车装货物，所以若两辆车同时到达，则需要有一车等待已知甲、乙两车装货物需要的时间都为 20 分钟，倘若甲、乙两车都在某 1 小时内到达该货场(在此
9、期间货场没有其他车辆)，求至少有一辆车需要等待装货物的概率解：设甲、乙货车到达的时间分别为 x，y 分钟，据题意基本事件空间可表示为x，y0 x60，0y60，而事件“有一辆车等待装货”可表示为Ax，y0 x60，0y60，|xy|20，如图，据几何概型可知其概率等于 P(A)S阴影S正方形60602124040606059.10已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为 0 的小球 1 个，标号为 1的小球 1 个，标号为 2 的小球 n 个若从袋子中随机抽取 1 个小球，取到标号为 2 的小球的概率是12.(1)求 n 的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取 2 个小球，记第一次取出
10、的小球标号为 a，第二次取出的小球标号为 b.记“ab2”为事件 A，求事件 A 的概率；在区间0,2内任取 2 个实数 x，y，求事件“x2y2(ab)2 恒成立”的概率解：(1)依题意 nn212，得 n2.(2)记标号为 0 的小球为 s，标号为 1 的小球为 t，标号为 2 的小球为 k，h，则取出 2个小球的可能情况有：(s，t)，(s，k)，(s，h)，(t，s)，(t，k)，(t，h)，(k，s)，(k，t)，(k，h)，(h，s)，(h，t)，(h，k)，共 12 种，其中满足“ab2”的有 4 种：(s，k)，(s，h)(k，s)，(h，s)所以所求概率为 P(A)41213
11、.记“x2y2(ab)2 恒成立”为事件 B，则事件 B 等价于“x2y24 恒成立”，(x，y)可以看成平面中的点的坐标，则全部结果所构成的区域为(x，y)|0 x2,0y2，x，yR，而事件 B 构成的区域为 B(x，y)|x2y24，(x，y)所以所求的概率为 P(B)14.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1(2016徐州质检)在区间，内随机取两个数分别记为 a，b，则使得函数 f(x)x22axb2 有零点的概率为_解析：若函数 f(x)有零点，则 4a24(b2)0，即 a2b2.所有事件是(a，b)|a，b，S(2)242，而满足条件的事件是(a，b)|a2b2，s422 32，则概
12、率 P3242 34.答案：342在区间0,10上任取一个实数 a，使得不等式 2x2ax80 在(0，)上恒成立的概率为_解析：要使 2x2ax80 在(0，)上恒成立，只需 ax2x28，即 a2x8x在(0，)上恒成立又 2x8x2 168，当且仅当 x2 时等号成立，故只需 a8，因此 0a8.由几何概型的概率计算公式可知所求概率为 8010045.答案：453已知向量 a(2,1)，b(x，y)(1)若 x1,0,1,2，y1,0,1，求向量 ab 的概率；(2)若 x1,2，y1,1，求向量 a，b 的夹角是钝角的概率解：(1)设“ab”为事件 A，由 ab，得 x2y.基本事件空
13、间为(1，1)，(1,0)，(1,1)，(0，1)，(0,0)，(0,1)，(1，1)，(1,0)，(1,1)，(2，1)，(2,0)，(2,1)，共包含 12 个基本事件；其中 A(0,0)，(2,1)，包含2 个基本事件则 P(A)21216，即向量 ab 的概率为16.(2)因为 x1,2，y1,1，则满足条件的所有基本事件所构成的区域如图为矩形 ABCD，面积为 S1326.设“a，b 的夹角是钝角”为事件 B，由 a，b 的夹角是钝角，可得ab0，即 2xy0，且 x2y.事件 B 包含的基本事件所构成的区域为图中四边形 AEFD，面积 S2121232 22，则 P(B)S2S12613.即向量 a，b 的夹角是钝角的概率是13.