1、2020级高二上期半期联合考试 理 科 数 学 满分：150分 考试时间：120分钟第卷（选择题 共60分）一 选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1质检机构为检测一大型超市某商品的质量情况，从编号为1120的该商品中利用系统抽样的方法抽12件进行质检，若所抽样本中含有编号67的商品，则下列编号一定被抽到的是A55B57C59D612若直线与以，为端点的线段有公共点，则实数的取值范围是A B CD3更相减损术是出自中国古代数学专著九章算术的一种求最大公约数算法，下图是该算法的程序框图，如果输入，则输出的值是A17 B34C36 D684圆截直线的最短弦长为A B CD5已知A（0，
2、0，1），B（3，0，0），C（0，2，0），则原点到平面ABC的距离是A B C1 D6已知平行六面体的各棱长均为，则A B CD7过点且与两坐标轴围成的三角形面积为4的直线的条数为A1B2C3D48l1，l2是分别经过两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程为A B C D9直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是A B CD10某校将举办秋季体育文化节，为了解该校学生的身体状况，抽取部分男生和女生的体重，将男生体重数据整理后，作出了频率分布直方图，已知图中从左到右前三个小组频率之比为，第二小组频数为13，若全校男、女生比例为，则全校抽取的学生人数为A
3、32 B80 C45 D100 11已知 ，圆上有且仅有一个点 P满足，则r的取值可以为A1 B2 C3 D412如图，在长方体中，是侧面上的动点，且，记点到平面为，则的最大值为A B C D第卷（非选择题 共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13某学校高一高二高三年级的学生人数之比为234，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为54的样本，则应从高三年级抽取_名学生.14有一组数据：，1，2，3，4，其平均数是2，则其标准差是_.15. 已知空间直角坐标系中三点，则三角形的面积为 . 16.直线 与圆相交于两点，点为圆心，且则 .三.解答题：解答应写出文
4、字说明，证明过程或演算步骤（本题共6小题，17题10分，其余每题12分，共70分）17过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：和l2：截得的线段恰好被点P平分，求直线l的方程.18某种产品的广告费支出与销售额（单位：百万元）之间有如表对应数据：245683040605070参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式：，.（1）画出散点图；（2）求线性回归方程；（3）预测当广告费支出7（百万元）时的销售额.19已知圆的方程为：.（1）试求的值，使圆的周长最小；（2）求与满足（1）中条件的圆相切，且过点的直线方程.20如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，是上一点，且.（1）求点到平面的距离；（
5、2）求异面直线与的夹角余弦.21如图所示，在四棱锥中，平面，为的中点（1）求证平面；（2）若点为的中点，点在线段上，且，当平面平面时，求的值22 已知过的直线与圆：相交于不同两点，且点在轴下方，点（1）求直线的斜率的取值范围;（2）证明：;（3）求三角形面积的最大值.2020级高二上期半期联合考试 理 科 数 学 答 案 二 选择题BCBCB ACABD AD二、填空题13 14 15 16.三.解答题（本题共6小题，17题10分，其余每题12分，共70分）.17过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：和l2：截得的线段恰好被点P平分，求直线l的方程.【答案】【详解】设l1与l的交点为A(a
6、，8-2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(-a，2a-6)在l2上，代入l2的方程得:-a-3(2a-6)100，解得a4， 5分即点A(4，0)在直线l上，直线l的方程为即x4y-40 .10分18某种产品的广告费支出与销售额（单位：百万元）之间有如表对应数据：245683040605070参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式：，.（1）画出散点图；（2）求线性回归方程；（3）预测当广告费支出7（百万元）时的销售额.【答案】（1）答案见解析；（2）；（3）销售额为百万元.【详解】（1）画出散点图如图所示：3分（2）由表中数据，计算，则，所以关于的线性回归方程是；8分（3）当时
7、，所以预测当广告费支出7百万元时，销售额为63百万元.12分19已知圆的方程为：.（1）试求的值，使圆的周长最小；（2）求与满足（1）中条件的圆相切，且过点的直线方程.【答案】（1）；（2）或.【详解】（1），配方得：，当时，圆的半径有最小值2，此时圆的周长最小 .5分（2）由（1）得，圆的方程为：.当直线与轴垂直时，此时直线与圆相切，符合条件； .7分当直线与轴不垂直时，设为，由直线与圆相切得：，解得，所以切线方程为，即.综上，直线方程为或 .12分20如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，是上一点，且.（1）求点到平面的距离；（2）求异面直线与的夹角余弦.【答案】（1）；（2）【详解】（1）
8、以A为原点建立空间直角坐标系如图所示：则B（2，0，0），P（0，0，4），C（2，4，0），D（0，4，0），面，且面，又，面，又面，又，面，又面，又，则点为中点，故点，设面的一个法向量为，即，不妨设，得，所以点到平面的距离为； .8分（2），则，则异面直线与的夹角余弦为 . .12分21如图所示，在四棱锥中，平面，为的中点（1）求证平面；（2）若点为的中点，点在线段上，且，当平面平面时，求的值【答案】（1）证明见解析；（2）【详解】（1）因为平面，所以，又，所以平面，又，所以面，面，又，为的中点，所以，而，所以平面 .5 分（2）以A为坐标原点，所在方向分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系，如图，则，所以，设（），所以，则，所以，设平面的法向量为，则，即，令，则，由（1）可知为平面的一个法向量，因为平面平面，则，即，解得 . .12分23 已知过的直线与圆：相交于不同两点，且点在轴下方，点（1）求直线的斜率的取值范围;（2）证明：;（3）求三角形面积的最大值.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）【详解】解:（）由题知，故设直线的方程为 由 得 直线与圆：相交于不同两点，即直线的斜率的取值范围为 . .3分（）设则 . .7分（）设，则由（）知 设，则，当且仅当时取等号三角形面积的最大值为 . .12分