1、2016-2017学年辽宁省沈阳市铁路试验中学高三（上）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共计60分）1已知集合A=x|x24x+30，B=y|y=x2，xR，则AB=（）AB0，1）（3，+）C（0，3）D（1，3）2若z=（1+i）i（i为虚数单位），则z的虚部是（）A1B1CiDi3下列函数中是偶函数且值域为（0，+）的函数是（）Ay=|tanx|By=lgCy=xDy=x24已知、为互不重合的三个平面，命题p：若，则；命题q：若上不共线的三点到的距离相等，则对以上两个命题，下列结论中正确的是（）A命题“p且q”为真B命题“p或q”为假C命题“p或q”为假D命
2、题“p且q”为假5若3cos（）+cos（+）=0，则cos2的值为（）ABCD6若n=2xdx，则（x）n的展开式中常数项为（）ABCD7已知平面向量，的夹角为，且|=，|=2，在ABC中， =2+2， =26，D为BC中点，则|=（）A2B4C6D88如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=1，AC=2，BC=，D，E分别是AC1和BB1的中点，则直线DE与平面BB1C1C所成的角为（）ABCD9已知正三棱锥PABC的外接球的半径为2，且球心在点A，B，C所确定的平面上，则该正三棱锥的表面积是（）A3+3B3（+）C3+3D3（+）10有4名优秀的大学毕业生被某公司录用，该公司共有5个
3、部门，由公司人事部分安排他们去其中任意3各部门上班，每个部门至少安排一人，则不同的安排方法为（）A120B240C360D48011若为单位向量，且=0，则的最大值为（）A1B1CD212已知定义在R上的奇函数f（x）满足：当x0时，f（x）=xsinx，若不等式f（4t）f（2m+mt2）对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是（）A（，）B（，0）C（，0）（，+）D（，）（，+）二、填空题（共4小题，每小题5分，共计20分）13设等比数列an中，前n项和为Sn，已知S3=8，S6=7，则a2=14某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是cm315如图是判断“实验数”的流
4、程图，在30，80内的所有整数中，“实验数”的个数是16函数f（x）的定义域为实数集R，f（x）=对于任意的xR都有f（x+2）=f（x2）若在区间5，3上函数g（x）=f（x）mx+m恰有三个不同的零点，则实数m的取值范围是三、解答题（共6题，1721每题12分，选修10分，总计70分）17已知an是等差数列，bn是等比数列，Sn为数列an的前n项和，a1=b1=1，且b3S3=36，b2S2=8（nN+）（1）求an和bn；（2）若anan+1，求数列的前n项和Tn18在ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin2+sinAsinB=（1）求角C的大小； （2）若b=4，ABC的
5、面积为6，求边c的值19如图是一几何体的直观图、正视图、侧视图、俯视图（1）若F为PD的中点，求证：AF平面PCD；（2）证明：BD平面PEC；（3）求二面角EPCD的大小20众所周知，乒乓球是中国的国球，乒乓球队内部也有着很严格的竞争机制，为了参加国际大赛，种子选手甲与三位非种子选手乙、丙、丁分别进行一场内部对抗赛，按以往多次比赛的统计，甲获胜的概率分别为，且各场比赛互不影响（1）若甲至少获胜两场的概率大于，则甲入选参加国际大赛参赛名单，否则不予入选，问甲是否会入选最终的大名单？（2）求甲获胜场次X的分布列和数学期望21已知函数f（x）=a（x21）lnx（1）若y=f（x）在x=2处取得极
6、小值，求a的值；（2）若f（x）0在1，+）上恒成立，求a的取值范围；（3）求证：当n2时，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.选修4-4：坐标系与参数方程22在极坐标系中，已知射线C1：=（0），动圆C2：22x0cos+x024=0（x0R）（1）求C1，C2的直角坐标方程；（2）若射线C1与动圆C2相交于M与N两个不同点，求x0的取值范围选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）=|2x+2|+|2x3|（）若xR，使得不等式f（x）m成立，求m的取值范围；（）求使得等式f（x）|4x1|成立的x的取值范围2016-2017学年辽宁省沈
7、阳市铁路试验中学高三（上）第二次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共计60分）1已知集合A=x|x24x+30，B=y|y=x2，xR，则AB=（）AB0，1）（3，+）C（0，3）D（1，3）【考点】交集及其运算【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可【解答】解：由A中不等式变形得：（x1）（x3）0，解得：1x3，即A=（1，3），由B中y=x20，得到B=0，+），则AB=（1，3），故选：D2若z=（1+i）i（i为虚数单位），则z的虚部是（）A1B1CiDi【考点】复数的基本概念【分析】利用复数的运算法则和虚部的定义即可得出【
8、解答】解：z=（1+i）ii+i2=1+i，z的虚部为1故选A3下列函数中是偶函数且值域为（0，+）的函数是（）Ay=|tanx|By=lgCy=xDy=x2【考点】函数奇偶性的判断；函数的值域【分析】根据y=|tanx|的图象便可得出该函数的值域为0，+），从而选项A错误，而容易判断B，C函数都是奇函数，从而B，C错误，对于D，容易判断y=x2为偶函数，并且值域为（0，+），从而便得出正确选项【解答】解：Ay=|tanx|的值域为0，+），该选项错误；B解得，x1，或x1；且；为奇函数，该选项错误；C.的定义域为R，且；该函数为奇函数，该选项错误；Dy=x2的定义域为x|x0，且（x）2=x
9、2；该函数为偶函数；且x20，即该函数的值域为（0，+），该选项正确故选：D4已知、为互不重合的三个平面，命题p：若，则；命题q：若上不共线的三点到的距离相等，则对以上两个命题，下列结论中正确的是（）A命题“p且q”为真B命题“p或q”为假C命题“p或q”为假D命题“p且q”为假【考点】平面与平面之间的位置关系【分析】根据平面平行的判断方法，我们对已知中的两个命题p，q进行判断，根据判断结合和复合命题真值表，我们对四个答案逐一进行判断，即可得到结论【解答】解：当，时，与可能平行与可能垂直故命题p为假命题又若上不共线的三点到的距离相等时与可能平行也可能相交，故命题q也为假命题故命题“p且q”为假
10、，命题“p或q”为真，命题“p或q”为假，命题“p且q”为真故选C5若3cos（）+cos（+）=0，则cos2的值为（）ABCD【考点】三角函数的化简求值【分析】先利用诱导公式化简，求得tan的值，再利用二倍角公式，即可求得结论【解答】解：3cos（）+cos（+）=0，3cos（）+cos（+）=3sincos=0，则cos=3sin，tan=，cos2=cos2sin2=故选：A6若n=2xdx，则（x）n的展开式中常数项为（）ABCD【考点】定积分【分析】求定积分得n的值，写出二项式的通项，由x的指数为0求得r值，则常数项可求【解答】解：n=2xdx=，（x）n=其通项为=由42r=0
11、，得r=2展开式中常数项为故选：C7已知平面向量，的夹角为，且|=，|=2，在ABC中， =2+2， =26，D为BC中点，则|=（）A2B4C6D8【考点】平面向量数量积的运算【分析】由已知中平面向量，的夹角为，且|=，|=2， =3，再由D为边BC的中点， =2，利用平方法可求出2=4，进而得到答案【解答】解：平面向量，的夹角为，且|=，|=2，=|cos=3，由D为边BC的中点，=2，2=（2）2=4，=2；故选：A8如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=1，AC=2，BC=，D，E分别是AC1和BB1的中点，则直线DE与平面BB1C1C所成的角为（）ABCD【考点】直线与平面所成
12、的角【分析】根据题意得EDBF，进而得到直线DE与平面BB1C1C所成的角等于直线BF与平面BB1C1C所成的角利用几何体的结构特征得到FBG=即可得到答案【解答】解：取AC的中点为F，连接BF、DF因为在直三棱柱ABCA1B1C1中，CC1BB1，又因为DF是三角形ACC1的中位线，故DF=CC1=BB1=BE，故四边形BEDF是平行四边形，所以EDBF过点F作FG垂直与BC交BC与点G，由题意得FBG即为所求的角因为AB=1，AC=2，BC=，所以ABC=，BCA=，直角三角形斜边中线BF是斜边AC的一半，故BF=AC=CF，所以FBG=BCA=故选A9已知正三棱锥PABC的外接球的半径为
13、2，且球心在点A，B，C所确定的平面上，则该正三棱锥的表面积是（）A3+3B3（+）C3+3D3（+）【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【分析】画出图形，求出正三棱锥的底面边长，侧棱长以及斜高，然后求解正三棱锥的表面积【解答】解：正三棱锥PABC的四个顶点都在同一球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上所以ABC的中心就是球心O，PO是球的半径，也是正三棱锥的高，则R=2，由题意可知：OA=OB=OC=2，底面三角形ABC的高为：3则AB=3，AB=2，PA=3，则该正三棱锥的表面积是： +3=3+3故选：B10有4名优秀的大学毕业生被某公司录用，该公司共有5个部门，由公司人事部分安
14、排他们去其中任意3各部门上班，每个部门至少安排一人，则不同的安排方法为（）A120B240C360D480【考点】计数原理的应用【分析】先从5个个部门任选三个，再从4人中选2人做为一个元素，和另外两人到分配到三个部门，根据分步计数原理可得答案【解答】解：先从5个个部门任选三个，有C53=10种，再从4人中选2人做为一个元素，和另外两人到分配到三个部门，故有C53C42A33=360，故答案为：36011若为单位向量，且=0，则的最大值为（）A1B1CD2【考点】平面向量数量积的运算；向量的模【分析】根据及为单位向量，可以得到，要求的最大值，只需求的最大值即可，然后根据数量积的运算法则展开即可求
15、得【解答】解：，即+0，又为单位向量，且=0，而=3232=1的最大值为1故选B12已知定义在R上的奇函数f（x）满足：当x0时，f（x）=xsinx，若不等式f（4t）f（2m+mt2）对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是（）A（，）B（，0）C（，0）（，+）D（，）（，+）【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的性质【分析】求函数的导数，判断函数的单调性，利用函数单调性将不等式恒成立进行转化，结合一元二次不等式恒成立的性质进行求解即可【解答】解：定义在R上的奇函数f（x）满足：当x0时，f（x）=xsinx，f（0）=0，且f（x）=1cosx0，即函数f（x）在0，+）上为增函数，f（
16、x）是奇函数，函数f（x）在（，0上也是增函数，即函数f（x）在（，+）上为增函数，则不等式f（4t）f（2m+mt2）等价为4t2m+mt2对任意实数t恒成立即mt2+4t+2m0对任意实数t恒成立，若m=0，则不等式等价为4t0，即t0，不满足条件，若m0，则要使mt2+4t+2m0对任意实数t恒成立，则，即，得m，故选：A二、填空题（共4小题，每小题5分，共计20分）13设等比数列an中，前n项和为Sn，已知S3=8，S6=7，则a2=【考点】等比数列的前n项和【分析】根据等比数列的求和公式即可求出答案【解答】解：由题意可得，公比q1，=8， =7相除可得 1+q3=，q=，a1=故 a
17、2=a1q=（）=故答案为14某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是cm3【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥和三棱柱的组合体，代入棱锥和棱柱的体积公式，可得答案【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥和三棱柱的组合体，它们的底面面积为：22=2cm2，它们的高为：2cm，故体积V=22+22=cm3，故答案为：15如图是判断“实验数”的流程图，在30，80内的所有整数中，“实验数”的个数是12【考点】程序框图【分析】从程序框图中得到实验数的定义，找出区间中被3整
18、除的数；找出被12整除的数；找出不能被6整除的数得到答案【解答】解：由程序框图知实验数是满足：能被3整除不能被6整除或能被12整除的数，在30，80内的所有整数中，所有的能被3整除数有：30，33，36，39，42，45，48，51，54，57，60，63，66，69，72，75，78共有17个数，在这17个数中能被12 整除的有36，48，60，72，共4个数，在这17个数中不能被6 整除的有33，39，45，51，57，63，69，75，共计8个数，所以在30，80内的所有整数中“试验数”的个数是12个故答案为：1216函数f（x）的定义域为实数集R，f（x）=对于任意的xR都有f（x+2
19、）=f（x2）若在区间5，3上函数g（x）=f（x）mx+m恰有三个不同的零点，则实数m的取值范围是【考点】函数零点的判定定理【分析】求出f（x）的周期，问题转化为f（x）和y=m（x1）在5，3上有3个不同的交点，画出f（x）的图象，结合图象求出m的范围即可【解答】解：f（x+2）=f（x2），f（x）=f（x+4），f（x）是以4为周期的函数，若在区间5，3上函数g（x）=f（x）mx+m恰有三个不同的零点，则f（x）和y=m（x1）在5，3上有3个不同的交点，画出函数函数f（x）在5，3上的图象，如图示：，由KAC=，KBC=，结合图象得：m，故答案为：三、解答题（共6题，1721每题1
20、2分，选修10分，总计70分）17已知an是等差数列，bn是等比数列，Sn为数列an的前n项和，a1=b1=1，且b3S3=36，b2S2=8（nN+）（1）求an和bn；（2）若anan+1，求数列的前n项和Tn【考点】数列的求和；等差数列与等比数列的综合【分析】（1）设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q，由题意，a1=b1=1，利用通项公式可 得 解出即可；（2）由anan+1，可知d0由（1）可知：an=2n1可得=，利用裂项求和即可得到Tn【解答】解：（1）设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q，由题意，a1=b1=1，得 解得或所以，an=2n1，或，（2）因为
21、anan+1，所以d0，故an=2n1所以， =，故Tn=18在ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin2+sinAsinB=（1）求角C的大小； （2）若b=4，ABC的面积为6，求边c的值【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用【分析】（1）利用降幂公式，两角和与差的余弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式化简已知等式，可求cosC的值，结合C的范围可求C的值（2）利用三角形面积公式可求a的值，结合余弦定理即可求得c的值【解答】解：（1）sin2+sinAsinB=，（2），c2=a2+b22abcosC=10，19如图是一几何体的直观图、正视图、侧视图、俯视图（1）若F为P
22、D的中点，求证：AF平面PCD；（2）证明：BD平面PEC；（3）求二面角EPCD的大小【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定【分析】（1）由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形，推导出PDAF，CDAF由此能证明AF平面PCD（2）以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明BD平面PEC（3）求出平面PCD的法向量和平面PEC的法向量，利用向量法能求出二面角EPCD的大小【解答】证明：（1）由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形，PA平面ABCD，PAEB，PA=2EB=4PA=AD，F为
23、PD的中点，PDAF又CDDA，CDPA，CDAFCDPD=D，AF平面PCD（2）以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BE为z轴，建立空间直角坐标系，B（0，0，0），D（4，4，0），C（4，0，0），E（0，0，2），P（0，4，4），=（4，4，0），=（4，0，2），=（0，4，2），设平面PEC的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，1，2），=44+0=0，BD平面PEC，BD平面PEC（3）=（4，4，4），=（0，4，0），设平面PCD的法向量=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，0，1），设二面角EPCD的大小为，则cos=，=30，二面角EPCD的大小为30
24、20众所周知，乒乓球是中国的国球，乒乓球队内部也有着很严格的竞争机制，为了参加国际大赛，种子选手甲与三位非种子选手乙、丙、丁分别进行一场内部对抗赛，按以往多次比赛的统计，甲获胜的概率分别为，且各场比赛互不影响（1）若甲至少获胜两场的概率大于，则甲入选参加国际大赛参赛名单，否则不予入选，问甲是否会入选最终的大名单？（2）求甲获胜场次X的分布列和数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【分析】（1）记M与B1，B2，B3进行对抗赛获胜的事件分别为A，B，C，M至少获胜两场的事件为D，则，由于事件A，B，C相互独立，可得，比较即可得出（2）M获胜场数X的可能取值为0，1，
25、2，3，利用相互独立与互斥事件的概率计算公式即可得出【解答】解：（1）记M与B1，B2，B3进行对抗赛获胜的事件分别为A，B，C，M至少获胜两场的事件为D，则，由于事件A，B，C相互独立，=，由于，M会入选最终的大名单（2）M获胜场数X的可能取值为0，1，2，3，则， ，所以M获胜场数X的分布列为：数学期望为21已知函数f（x）=a（x21）lnx（1）若y=f（x）在x=2处取得极小值，求a的值；（2）若f（x）0在1，+）上恒成立，求a的取值范围；（3）求证：当n2时，【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值【分析】（1）求出函数的导数，得到f（2）=0，求出a的值，检
26、验即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调性，结合题意确定a的范围即可；（3）令a=，当x=1时，分别取x=2，3，4，n，累加即可【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+），f（x）在x=2处取得极小值，f（2）=0，即，此时，经验证x=2是f（x）的极小值点，故（2），当a0时，f（x）0，f（x）在1，+）上单调递减，当x1时，f（x）f（1）=0矛盾当a0时，令f（x）0，得；f（x）0，得（i）当，即时，时，f（x）0，即f（x）递减，f（x）f（1）=0矛盾（ii）当，即时，x1，+）时，f（x）0，即f（x）递增，f（x）f（1）=0满足题意综上，（3）证
27、明：由（2）知令，当x1，+）时，（当且仅当x=1时取“=”）当x=1时，即当x=2，3，4，n，有：=请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.选修4-4：坐标系与参数方程22在极坐标系中，已知射线C1：=（0），动圆C2：22x0cos+x024=0（x0R）（1）求C1，C2的直角坐标方程；（2）若射线C1与动圆C2相交于M与N两个不同点，求x0的取值范围【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】（1）利用tan =，=（0），即可得出C1的直角坐标方程利用，即可得出C2的直角坐标方程（2）联立，由于关于的一元二次方程2x0+x024=0（x0R）
28、在0，+）内有两个实根可得，解出即可得出【解答】解：（1）tan =，=（0），y=x（x0）C1的直角坐标方程为y=x（x0），C2的直角坐标方程x2+y22x0x+x024=0（2）联立关于的一元二次方程2x0+x024=0（x0R）在0，+）内有两个实根即，得，解得2x04选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）=|2x+2|+|2x3|（）若xR，使得不等式f（x）m成立，求m的取值范围；（）求使得等式f（x）|4x1|成立的x的取值范围【考点】绝对值不等式的解法【分析】（）根据 f（x）=|2x+2|+|2x3|=5，从而求得得不等式f（x）m成立的m的取值范围（）由f（x）=|2x+2|+|2x3|4x1|，可得不等式即|2x+2|+|2x3|=|4x1|，此时（2x+2）（2x3）0，由此求得x的取值范围【解答】解：（）f（x）=|2x+2|+|2x3|=2|（x+1）（x）|=5，使得不等式f（x）m成立的m的取值范围是 （5，+）（）由f（x）=|2x+2|+|2x3|2x+2+2x3|=|4x1|，不等式f（x）|4x1|即|2x+2|+|2x3|=|4x1|，当且仅当（2x+2）（2x3）0时取等号，即当x1，或x时，|2x+2|+|2x3|=|4x1|，x的取值范围是2017年1月20日
