1、第五节生活中的优化问题举例(数学建模二)A组基础题组1.已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为y=-x3+81x-234,则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为() A.13万件B.11万件C.9万件D.7万件答案C由题意得,y=-x2+81,令y=0,解得x=9或x=-9(舍去).当0x0;当x9时,y0.故当x=9时,y取最大值.2.(2019孝感模拟)某品牌小汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式为y=x3-x+18(0x120).要使该汽车行驶200千米时的油耗最低,则汽车匀速行驶的速度应为()A.60千米/时
2、B.80千米/时C.90千米/时D.100千米/时答案C当速度为x千米/小时时,该汽车行驶200千米时行驶了小时,设耗油量为h(x)升,y=x3-x+18(0x120).依题意得h(x)=x2+-20(0x120),h(x)=x-=(0x120).令h(x)=0,得x=90.当x(0,90)时,h(x)0,h(x)是增函数.所以当x=90时,h(x)取得极小值h(90)=18.因为h(x)在(0,120上只有一个极值,所以当x=90时取得最小值.故选C.3.设底面为正三角形的直棱柱的体积为V,那么其表面积最小时,底面正三角形的边长为()A.B.C.D.2答案C设底面正三角形的边长为x,侧棱长为
3、l,则V=x2sin 60l,l=,S表=2S底+S侧=x2sin 60+3xl=x2+.令S表=x-=0,得x=,又当x(0,)时,S表0,当x=时,表面积最小.4.在半径为r的半圆内作一内接梯形,使其下底为直径,其他三边为圆的弦,则梯形的面积最大时,梯形的上底长为()A.B.rC.rD.r答案D设梯形的上底长为2x,高为h,面积为S,h=,S=(r+x).S=-=.令S=0,得x= (x=-r舍去),h=r.当x时,S0;当x时,S0).设总利润为y万元,则y=x-1 200-x3=500-x3-1 200.y=-x2.令y=0,得x=25.当0x0;当x25时,y0.因此当x=25时,函
4、数y取得极大值,也是最大值.6.要做一个圆锥形的漏斗,其母线长为20 cm,要使其体积最大,则高为cm.答案解析设该漏斗的高为x cm,则其底面半径为 cm,体积V=(202-x2)x=(400x-x3)(0x20),则V=(400-3x2).令V=0,解得x1=,x2=-(舍去).当0x0;当x20时,V0,所以当x=时,V取得最大值.7.统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶过程中的耗油量y(L/h)关于行驶速度x(km/h)的解析式可以表示为y=x3-x+8(0x120).已知甲、乙两地相距100 km.(1)当汽车以40 km/h的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升?(2)当汽车以多
5、大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少?解析(1)汽车以40 km/h的速度从甲地匀速行驶到乙地需=2.5(h),要耗油2.5=17.5(L).(2)当匀速行驶速度为x km/h时,汽车从甲地行驶到乙地需 h,设耗油量为h L,依题意得h(x)=-+(0x120),则h(x)=-=(0x120).令h(x)=0,得x=80.当x(0,80)时,h(x)0,h(x)是增函数.所以当x=80时,h(x)取得极小值h(80)=11.25.因为h (x)在(0,120上只有一个极小值,所以它也是最小值.所以当汽车以80 km/h的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,为11.25 L.8
6、.某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12 000元(为圆周率).(1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域;(2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时,该蓄水池的体积最大.解析(1)因为蓄水池侧面的总成本为1002rh=200rh元,底面的总成本为160r2元,所以蓄水池的总成本为(200rh+160r2)元.又据题意知200rh+160r2=12 000,所以h=(300-4r2),从而V
7、(r)=r2h=(300r-4r3).又由r0,h0可得r0,故V(r)在(0,5)上为增函数;当r(5,5)时,V(r)0,故V(r)在(5,5)上为减函数.由此可知,V(r)在r=5处取得最大值,此时h=8.即当r=5,h=8时,该蓄水池的体积最大.B组提升题组1.某商店经销一种奥运纪念品,每件产品的成本为30元,并且每卖出一件产品需向税务部门上交a(a为常数,4a5)元的税收,设每件产品的日售价为x(35x41)元,根据市场调查,日销售量与ex(e为自然对数的底数)成反比.已知每件产品的日售价为40元时,日销量为10件.(1)求该商店的日利润L(x)元与每件产品的日售价x元的函数关系式;
8、(2)当每件产品的日售价为多少元时,该商品的日利润L(x)最大?并求出L(x)的最大值.解析(1)设日销售量为,则=10,所以k=10e40,则日销售量为件.则日利润L(x)=(x-30-a)=(35x41).(2)由(1)可得L(x)=,因为4a5,所以35a+3136.令L(x)=0,得x=a+31,故L(x)在35,a+31上为增函数,在(a+31,41上为减函数.所以当x=a+31时,L(x)取得最大值,最大值为10e9-a.2.某种商品的成本为5元/件,开始按8元/件销售,销售量为50件,为了获得最大利润,商家先后采取了提价与降价两种措施进行试销.经试销发现:销售单价每上涨1元,每天
9、的销售量就减少10件,而降价后,日销售量Q(单位:件)与实际销售单价x(单位:元)满足关系:Q(x)=(1)试写出该商家的销售利润y与销售单价x的函数关系式;(利润=销售额-成本)(2)当实际销售单价为多少元时,日销售利润最大?并求出最大利润.解析(1)根据题意得y=(2)由(1)得当5x7时,y=39(2x3-39x2+252x-535),y=39(6x2-78x+252),令y=0,则6x2-78x+252=0,解得x=6或x=7(舍去).当5x0;当6x7时,y0,故当x=6时,ymax=195.当7x8时,y=6(33-x),故当x=7时,ymax=156.当8x13时,y=-10x2
10、+180x-650=-10(x-9)2+160,故当x=9时,ymax=160.综上可知,当实际销售单价定为6元时,日销售利润最大,最大利润为195元.3.如图,点C为某沿海城市的高速公路出入口,直线BD为海岸线,CAB=,ABBD,是以A为圆心,半径为1 km的圆弧形小路.该市拟修建一条从C通往海岸的观光专线-PQ,其中P为上异于B,C的一点,PQ与AB平行,设PAB=.(1)证明:观光专线-PQ的总长度随的增大而减小;(2)已知新建道路PQ的单位成本是翻新道路的单位成本的2倍,当取何值时,观光专线-PQ的修建总成本最低?请说明理由.解析(1)证明:由题意,CAP=-,所以=-.又PQ=AB-APcos =1-cos ,所以观光专线的总长度f()=-+1-cos =-cos +1,0.因为当0时, f ()=-1+sin 0),则总成本g()=a=a(-2cos +2),0,g()=a(-1+2sin ),令g()=0,得sin =,因为0,所以=.当0时,g()0;当0.所以,当=时,g()最小,即当=时,观光专线-PQ的修建总成本最低.
