1、第3讲基本初等函数、函数与方程及函数的应用基本初等函数的图象与性质学生用书P13自主练透夯实双基1指数与对数式的七个运算公式(1)amanamn；(2)(am)namn；(3)loga(MN)logaMlogaN；(4)logalogaMlogaN；(5)logaMnnlogaM；(6)alogaNN；(7)logaN.注：a0且a1，b0且b1，M0，N0.2指数函数与对数函数的图象和性质指数函数yax(a0，a1)与对数函数ylogax(a0，a1)的图象和性质，分0a1两种情况，当a1时，两函数在定义域内都为增函数，当0a0，且a1，函数ylogax，yax，yxa在同一坐标系中的图象可
2、能是()C解析 根据直线yxa在y轴上的截距的大小与1的关系，结合指数函数、对数函数的单调性可知为选项C的情况2已知函数f(x)ln，则f(x)是()A非奇非偶函数，且在(0，)上单调递增B奇函数，且在R上单调递增C非奇非偶函数，且在(0，)上单调递减D偶函数，且在R上单调递减A解析 要使函数有意义，则exex，解得x0，即函数的定义域是(0，)，故函数是非奇非偶函数又y在(0，)上递增，所以f(x)在(0，)上递增，故选A.3已知函数f(x)a2x4n(a0且a1)的图象恒过定点P(m，2)，则mn_解析 当2x40，即x2时，y1n，即函数图象恒过点(2，1n)，又函数图象恒过定点P(m，
3、2)，所以m2，1n2，即m2，n1，所以mn3.答案 34若函数yloga(x2ax1)(a0，a1)有最小值，则实数a的取值范围是_解析 当a1时，若函数yloga(x2ax1)(a0，a1)有最小值，则(a)240，得1a2；当0a0的限制条件函数的零点问题学生用书P14数学思想活学活用1函数的零点的定义对于函数f(x)，我们把使f(x)0的实数x叫做函数f(x)的零点2确定函数零点的常用方法(1)解方程法；(2)利用零点存在性定理；(3)数形结合，利用两个函数图象的交点求解 (1)(2016长春第二次质量检测)函数yln xx2的零点所在的区间为()A.B(1，2)C(2，e) D(e
4、，3)(2)若函数f(x)|2x1|ax5(a是常数，且aR)恰有两个不同的零点，则a的取值范围为_【解析】(1)由题意，求函数yln xx2的零点，即为求曲线yln x与yx2的交点，可知yln x在(0，)上为单调递增函数，而yx2在(0，)上为单调递减函数，故交点只有一个，当x2时，ln xx2, 因此函数yln xx2的零点在(2，e)内故选C.(2)由f(x)0，得|2x1|ax5.作出y|2x1|和yax5的图象，观察可以知道，当2a2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，即函数yf(x)有两个不同的零点故a的取值范围是(2，2)【答案】(1)C(2)(2，2)(1)判断函数零点个
5、数的方法直接求零点：令f(x)0，则方程解的个数即为零点的个数零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在(a，b)上是连续的曲线，且f(a)f(b)0，函数y1(10m)x20在0，200上是增函数，所以当x200时，生产A产品有最大利润，且y1max(10m)200201 980200m(万美元)又y20.05(x100)2460(xN，0x120)，所以当x100时，生产B产品有最大利润，且y2max460(万美元)因为y1maxy2max1 980200m4601 520200m所以当6m7.6时，可投资生产A产品200件；当m7.6时，生产A产品或生产B产品均可(投资生产A产品200件或
6、生产B产品100件)；当7.6m8时，可投资生产B产品100件解决函数实际应用题的两个关键点(1)认真读题，缜密审题，准确理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学地抽象概括，将实际问题归纳为相应的数学问题(2)要合理选取参变量，设定变量之后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数模型，最终求解数学模型使实际问题获解题组通关1某电脑公司在甲、乙两地各有一个分公司，甲分公司现有某型号电脑6台，乙分公司现有同一型号的电脑12台现A地某单位向该公司购买该型号的电脑10台，B地某单位向该公司购买该型号的电脑8台已知从甲地运往A、B两地每台电脑的运费分别是40元和3
7、0元，从乙地运往A、B两地每台电脑的运费分别是80元和50元若总运费不超过1 000元，则调运方案的种数为()A1B2C3 D4C解析 设甲地调运x台电脑至B地，则剩下(6x)台电脑调运至A地；乙地应调运(8x)台电脑至B地，运往A地12(8x)(x4)台电脑(0x6，xN)则总运费y30x40(6x)50(8x)80(x4)20x960，所以y20x960(xN，0x6)若y1 000，则20x9601 000，得x2.又0x6，xN，所以0x2，xN，所以x0，1，2，即有3种调运方案2.A、B两艘船分别从东西方向上相距145 km的甲、乙两地同时开出A船从甲地自东向西行驶，B船从乙地自北
8、向南行驶，A船的速度是40 km/h，B船的速度是16 km/h，经过_h，A、B两艘船之间的距离最短解析 设经过x h，A、B两艘船之间的距离为y km，由题意可得y，易知当x时，y取得最小值，即A、B两艘船之间的距离最短答案 课时作业学生用书P109(独立成册)1已知幂函数f(x)x的图象过点(4，2)，若f(m)3，则实数m的值为()A.BC9 D9D解析 由幂函数f(x)x过点(4，2)可得4222，所以，所以f(x)x，故f(m)3m9.2函数y的定义域为()A. B.C(1，) D.(1，)A解析 使函数有意义需满足解得xcb BabcCcab DbcaA解析 比较b与c，考察函数
9、y，因为0，所以，即b0，所以幂函数yx在第一象限是增函数，所以，即ac，所以acb.4已知函数f(x)log2x，在下列区间中，包括f(x)零点的区间是()A(0，1) B(1，2)C(2，4) D(4，)C解析 因为f(1)6log2160，f(2)3log2220，f(4)log24bc BbacCcab DacbB解析 由函数yf(x2)的图象关于直线x2对称，得函数yf(x)的图象关于y轴对称，即yf(x)是偶函数，当x(0，)时，f(x)f|log2x|，且当x1，)时，f(x)log2x单调递增，又af(3)f(3)，bff(4)，所以bac，选项B正确6函数f(x)(x1)ln
10、 x1的零点有()A0个 B1个C2个 D3个B解析 由f(x)(x1)ln x10得ln x，作出函数yln x，y的图象如图，由图象可知交点个数为1，即函数的零点个数为1，选B.7若函数f(x)kaxax(a0且a1)在(，)上既是奇函数又是增函数，则g(x)loga(xk)的大致图象是()C解析 因为f(x)kaxaxkax是奇函数，所以f(0)0，即k10，所以k1，即f(x)ax，又函数yax，y在定义域上单调性相同，由函数是增函数可知a1，所以函数g(x)loga(xk)loga(x1)，选C.8已知f(x)ax2，g(x)loga|x|(a0，a1)，若f(4)g(4)0，则yf
11、(x)，yg(x)在同一坐标系内的大致图象是()B解析 由f(4)g(4)0知a2loga40，所以loga40，所以0a0时也为减函数，故选B.9已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x23x.则函数g(x)f(x)x3的零点的集合为()A1，3 B3，1，1，3C2，1，3 D2，1，3D解析 当x0时，函数g(x)的零点即方程f(x)x3的根，由x23xx3，解得x1或3；当x0时，由f(x)是奇函数得f(x)f(x)x23(x)，即f(x)x23x.由f(x)x3得x2(正根舍去)10已知函数f(x)ln x2x3，其中x表示不大于x的最大整数(如1.61，2.13)，则
12、函数f(x)的零点个数是()A1 B2C3 D4B解析 设g(x)ln x，h(x)2x3，当0x1时，h(x)3，作出图象，两函数有一个交点即一个零点；当2x3时，h(x)1，ln 2g(x)ln 3，此时两函数有一交点，即有一零点，共两个零点11(2016山西四校联考)已知函数f(x)满足：定义域为R；xR，都有f(x2)f(x)；当x1，1时，f(x)|x|1，则方程f(x)log2|x|在区间3，5内解的个数是()A5 B6C7 D8A解析 选A.画出y1f(x)，y2log2|x|的图象如图所示，由图象可得所求解的个数为5.12(2016石家庄第二次质量检测)已知在(0，2上的函数f
13、(x)，且g(x)f(x)mx在(0，2内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是()A.B.C.D.A解析 由函数g(x)f(x)mx在(0，2内有且仅有两个不同的零点，得yf(x)，ymx在(0，2内的图象有且仅有两个不同的交点当ymx与y3，x(0，1相切时，mx23x10，94m0，m，由图可得当m2或00，a1)在2，1上的最大值为4，最小值为m，则m的值是_解析 若a1，则有f(1)a4，f(2)a2m，解得m.若0a0)年内，此设备所花费的各种费用总和y(万元)与x满足函数关系y4x264，欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限x为_解析 4x232，当且仅当4x，即
14、x4时等号成立答案 415(2016广州综合测试(一)已知函数f(x)，则函数g(x)2|x|f(x)2的零点个数为_解析 由g(x)2|x|f(x)20得，f(x)，作出yf(x)，y的图象，由图象可知共有2个交点，故函数的零点个数为2.答案 216(2016日照模拟)对于函数f(x)lg|x2|1，有如下三个命题：f(x2)是偶函数；f(x)在区间(，2)上是减函数，在区间(2，)上是增函数；f(x2)f(x)在区间(2，)上是增函数其中正确命题的序号是_(写出所有正确命题的序号)解析 因为f(x)lg|x2|1，所以f(x2)lg|x22|1lg|x|1是偶函数，故正确；因为f(x)lg|x2|1，所以f(x)在区间(，2)上是减函数，在区间(2，)上是增函数，故正确；因为f(x)lg|x2|1，f(x2)lg|x|1，所以f(x2)f(x)lg|x|lg|x2|lglg在区间(2，)上是减函数，故不正确答案
